Gana dažnai matematikos moksle kyla daug sunkumų ir klausimų, o daugelis atsakymų ne visada aiškūs. Ne išimtis buvo tokia tema kaip rinkinių kardinalumas. Tiesą sakant, tai yra ne kas kita, kaip skaitinė objektų skaičiaus išraiška. Bendrąja prasme aibė yra aksioma; ji neturi apibrėžimo. Jis pagrįstas bet kokiais objektais, tiksliau, jų rinkiniu, kuris gali būti tuščias, baigtinis arba begalinis. Be to, jame yra sveikųjų arba natūraliųjų skaičių, matricų, sekų, atkarpų ir linijų.
Apie esamus kintamuosius
Nulinis arba tuščias rinkinys, neturintis vidinės reikšmės, laikomas pagrindiniu elementu, nes jis yra poaibis. Visų netuščios aibės S poaibių rinkinys yra aibių rinkinys. Taigi, duotosios aibės galių aibė laikoma daugybe, įsivaizduojama, bet viena. Ši aibė vadinama S galių aibe ir žymima P (S). Jei S yra N elementų, tai P(S) turi 2^n poaibių, nes P(S) poaibis yra arba ∅, arba poaibis, kuriame yra r elementų iš S, r=1, 2, 3, … Sudarytas iš visko, kas begalybėrinkinys M vadinamas galios dydžiu ir simboliškai žymimas P (M).
Aibės teorijos elementai
Šią žinių sritį sukūrė George'as Cantoras (1845–1918). Šiandien jis naudojamas beveik visose matematikos šakose ir yra pagrindinė jos dalis. Aibių teorijoje elementai vaizduojami sąrašo pavidalu ir pateikiami pagal tipus (tuščia aibė, pavieniai, baigtinės ir begalinės aibės, lygios ir ekvivalentinės, universalios), sąjunga, sankirta, skirtumas ir skaičių sudėjimas. Kasdieniame gyvenime dažnai kalbame apie daiktų rinkinį, pvz., raktų krūvą, paukščių pulką, kortelių paketą ir tt 5 ir vėlesnėje matematikos klasėje yra natūraliųjų, sveikųjų, pirminių ir sudėtinių skaičių.
Galima atsižvelgti į šiuos rinkinius:
- natūralūs skaičiai;
- abėcėlės raidės;
- pirminis šansas;
- trikampiai su skirtingomis kraštinėmis.
Matyti, kad šie nurodyti pavyzdžiai yra gerai apibrėžti objektų rinkiniai. Apsvarstykite dar kelis pavyzdžius:
- penki žinomiausi pasaulio mokslininkai;
- septynios gražios merginos visuomenėje;
- trys geriausi chirurgai.
Šie kardinalumo pavyzdžiai nėra tiksliai apibrėžtos objektų kolekcijos, nes „garsiausio“, „gražiausio“, „geriausio“kriterijai kiekvienam žmogui skiriasi.
Komplektai
Ši reikšmė yra tiksliai apibrėžtas skirtingų objektų skaičius. Darant prielaidą, kad:
- žodžių rinkinys yra sinonimas, visuma, klasė ir yra elementų;
- objektai, nariai yra vienodos sąlygos;
- rinkiniai paprastai žymimi didžiosiomis raidėmis A, B, C;
- rinkinio elementai žymimi mažomis raidėmis a, b, c.
Jei "a" yra aibės A elementas, tada sakoma, kad "a" priklauso A. Pažymėkime frazę "priklauso" su graikišku simboliu "∈" (epsilon). Taigi paaiškėja, kad a ∈ A. Jei 'b' yra elementas, kuris nepriklauso A, tai vaizduojama kaip b ∉ A. Kai kurios svarbios aibės, naudojamos 5 klasės matematikoje, vaizduojamos naudojant tris šiuos metodus:
- programos;
- registrai arba lentelė;
- darinio kūrimo taisyklė.
Atidžiau išnagrinėjus, paraiškos forma yra pagrįsta toliau nurodytais dalykais. Šiuo atveju pateikiamas aiškus rinkinio elementų aprašymas. Visi jie yra uždengti garbanotomis petnešomis. Pavyzdžiui:
- nelyginių skaičių rinkinys, mažesnis nei 7 – parašytas kaip {mažiau nei 7};
- skaičių rinkinys, didesnis nei 30 ir mažesnis nei 55;
- mokinių skaičius klasėje, sveriančių daugiau nei mokytojas.
Regitros (lentelės) formoje rinkinio elementai pateikiami skliausteliuose {} ir atskiriami kableliais. Pavyzdžiui:
- Tegul N žymi pirmųjų penkių natūraliųjų skaičių aibę. Todėl N=→ registracijos forma
- Visų anglų abėcėlės balsių rinkinys. Taigi V={a, e, i, o, u, y} → registracijos forma
- Visų nelyginių skaičių rinkinys yra mažesnis nei 9. Todėl X={1, 3, 5, 7} → formaregistras
- Visų žodžio „Math“raidžių rinkinys. Todėl Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Registro forma
- W yra paskutinių keturių metų mėnesių rinkinys. Todėl W={rugsėjis, spalis, lapkritis, gruodis} → registras.
Atkreipkite dėmesį, kad elementų sąrašo tvarka neturi reikšmės, tačiau jie neturi kartotis. Nustatyta konstrukcijos forma, konkrečiu atveju taisyklė, formulė ar operatorius rašoma skliaustuose, kad aibė būtų teisingai apibrėžta. Rinkinio kūrimo priemonės formoje visi elementai turi turėti tą pačią ypatybę, kad taptų nagrinėjamos vertės nariu.
Šioje rinkinio vaizdavimo formoje aibės elementas apibūdinamas simboliu „x“arba bet kokiu kitu kintamuoju, po kurio rašomas dvitaškis („:“arba „|“naudojami nurodyti). Pavyzdžiui, tegul P yra skaičiuojamų skaičių, didesnių nei 12, aibė. P rinkinio formuotojo formoje rašomas kaip - {skaičiuojamas skaičius ir didesnis nei 12}. Jis bus skaitomas tam tikru būdu. Tai yra, „P yra x elementų rinkinys, kad x būtų skaičiuojamas ir didesnis nei 12“.
Išspręstas pavyzdys naudojant tris aibės vaizdavimo būdus: sveikųjų skaičių skaičius nuo -2 iki 3. Toliau pateikiami skirtingų aibių tipų pavyzdžiai:
- Tuščias arba nulinis rinkinys, kuriame nėra jokių elementų ir yra pažymėtas simboliu ∅ ir skaitomas kaip phi. Sąrašo formoje ∅ rašoma {}. Baigtinė aibė tuščia, nes elementų skaičius yra 0. Pavyzdžiui, sveikųjų skaičių reikšmių rinkinys yra mažesnis nei 0.
- Akivaizdu, kad <0 neturėtų būti. Todėl taituščias rinkinys.
- Aibė, kurioje yra tik vienas kintamasis, vadinamas vienetiniu rinkiniu. Nėra nei paprastas, nei sudėtingas.
Baigtas rinkinys
Aibė, kurioje yra tam tikras elementų skaičius, vadinama baigtine arba begaline aibe. Tuščias reiškia pirmąjį. Pavyzdžiui, visų vaivorykštės spalvų rinkinys.
Begalybė yra rinkinys. Jame esančių elementų neįmanoma išvardyti. Tai yra, turinti panašių kintamųjų, vadinama begaline aibe. Pavyzdžiai:
- visų plokštumos taškų aibės galia;
- visų pirminių skaičių rinkinys.
Bet jūs turėtumėte suprasti, kad visi aibės jungimo kardinalumai negali būti išreikšti sąrašo forma. Pavyzdžiui, realieji skaičiai, nes jų elementai neatitinka jokio konkretaus šablono.
Aibės kardinalus skaičius yra skirtingų elementų skaičius tam tikrame dydžiui A. Jis žymimas n (A).
Pavyzdžiui:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Todėl n (A)=4.
- B=raidžių rinkinys žodyje ALGEBRA.
Ekvivalentiški rinkiniai rinkiniams palyginti
Du aibės A ir B kardinalumai yra tokie, jei jų kardinalus skaičius yra toks pat. Atitinkamo rinkinio simbolis yra „↔“. Pavyzdžiui: A ↔ B.
Lygios aibės: du aibių A ir B kardinalumai, jei juose yra tie patys elementai. Kiekvienas A koeficientas yra B kintamasis, o kiekvienas B yra nurodyta A reikšmė. Todėl A=B. Skirtingi kardinalumo sąjungų tipai ir jų apibrėžimai paaiškinami naudojant pateiktus pavyzdžius.
Baigtinumo ir begalybės esmė
Kuo skiriasi baigtinės aibės kardinalumas nuo begalinės aibės?
Pirmoji reikšmė turi tokį pavadinimą, jei ji tuščia arba joje yra baigtinis elementų skaičius. Baigtinėje aibėje kintamasis gali būti nurodytas, jei jo skaičius yra ribotas. Pavyzdžiui, naudojant natūralųjį skaičių 1, 2, 3. Ir surašymo procesas baigiasi ties kokiu nors N. Įvairių elementų, suskaičiuotų baigtinėje aibėje S, skaičius žymimas n (S). Jis taip pat vadinamas tvarka arba kardinolu. Simboliškai žymimas pagal standartinį principą. Taigi, jei rinkinys S yra rusų abėcėlė, tada joje yra 33 elementai. Taip pat svarbu atsiminti, kad elementas rinkinyje nepasitaiko daugiau nei vieną kartą.
Begalinis rinkinyje
Aibė vadinama begaline, jei elementų neįmanoma išvardyti. Jei jis turi neribotą (ty nesuskaičiuojamą) natūralųjį skaičių 1, 2, 3, 4 bet kuriam n. Aibė, kuri nėra baigtinė, vadinama begaline. Dabar galime aptarti nagrinėjamų skaitinių reikšmių pavyzdžius. Pabaigos vertės parinktys:
- Tegul Q={natūralūs skaičiai, mažesni nei 25}. Tada Q yra baigtinė aibė ir n (P)=24.
- Tegul R={sveikieji skaičiai nuo 5 iki 45}. Tada R yra baigtinė aibė ir n (R)=38.
- Tegul S={skaičiai modulo 9}. Tada S={-9, 9} yra baigtinė aibė ir n (S)=2.
- Visų žmonių rinkinys.
- Visų paukščių skaičius.
Begalybė pavyzdžių:
- esamų taškų skaičius lėktuve;
- visų taškų skaičius linijos atkarpoje;
- teigiamų sveikųjų skaičių, dalijamų iš 3, aibė yra begalinė;
- visi sveikieji ir natūralieji skaičiai.
Taigi iš aukščiau pateiktų samprotavimų aišku, kaip atskirti baigtines ir begalines aibes.
Tęstinumo rinkinio galia
Jei palyginsime rinkinį ir kitas esamas reikšmes, prie rinkinio pridedamas priedas. Jei ξ yra universalus, o A yra ξ poaibis, tai A papildinys yra visų ξ elementų, kurie nėra A elementai, skaičius. Simboliškai A papildinys ξ atžvilgiu yra A'. Pavyzdžiui, 2, 4, 5, 6 yra vieninteliai ξ elementai, kurie nepriklauso A. Todėl A'={2, 4, 5, 6}
Rinkinys su kardinalumo kontinuumu turi šias savybes:
- universaliojo dydžio papildymas yra tuščia nagrinėjama reikšmė;
- šis nulinio rinkinio kintamasis yra universalus;
- suma ir jos papildymas yra nesusiję.
Pavyzdžiui:
- Tegul natūraliųjų skaičių skaičius yra universalus, o A lyginis. Tada A '{x: x yra nelyginis rinkinys su tais pačiais skaitmenimis}.
- Tegul ξ=abėcėlės raidžių rinkinys. A=priebalsių rinkinys. Tada A '=balsių skaičius.
- Universalaus rinkinio papildymas yra tuščias kiekis. Galima žymėti ξ. Tada ξ '=Aibė tų elementų, kurie neįtraukti į ξ. Tuščioji aibė φ rašoma ir pažymima. Todėl ξ=φ. Taigi universalaus rinkinio papildymas tuščias.
Matematikoje „kontinuumas“kartais vartojamas tikrajai linijai pavaizduoti. Ir apskritai, norint apibūdinti panašius objektus:
- kontinuumas (aibių teorijoje) - tikroji eilutė arba atitinkamas kardinalus skaičius;
- linijinis – bet koks sutvarkytas rinkinys, turintis tam tikras tikrosios linijos savybes;
- continuum (topologijoje) – netuščia kompaktiška sujungta metrinė erdvė (kartais Hausdorff);
- hipotezė, kad begalinės aibės nėra didesnės už sveikuosius skaičius, bet mažesnės už tikrus skaičius;
- kontinuumo galia yra kardinalus skaičius, nurodantis realiųjų skaičių aibės dydį.
Iš esmės kontinuumas (matavimas), teorijos arba modeliai, paaiškinantys laipsnišką perėjimą iš vienos būsenos į kitą be jokių staigių pokyčių.
Sąjungos ir susikirtimo problemos
Žinoma, kad dviejų ar daugiau aibių sankirta yra skaičius, kuriame yra visi elementai, kurie yra bendri šiose reikšmėse. Žodinės užduotys aibėse sprendžiamos siekiant gauti pagrindinių idėjų, kaip panaudoti aibių jungties ir sankirtos savybes. Išsprendė pagrindines žodžių problemasrinkiniai atrodo taip:
Tegul A ir B yra dvi baigtinės aibės. Jie yra tokie, kad n (A)=20, n (B)=28 ir n (A ∪ B)=36, raskite n (A ∩ B)
Ryšys rinkiniuose naudojant Venno diagramą:
- Dviejų aibių sąjunga gali būti pavaizduota užtamsintu plotu, vaizduojančiu A ∪ B. A ∪ B, kai A ir B yra nesujungtos aibės.
- Dviejų aibių sankirta gali būti pavaizduota Venno diagrama. Tamsintas plotas reiškia A ∩ B.
- Skirtumas tarp dviejų rinkinių gali būti pavaizduotas Venno diagramomis. Su tamsesniu plotu, vaizduojančiu A - B.
- Ryšys tarp trijų rinkinių naudojant Venno diagramą. Jei ξ reiškia universalų dydį, tai A, B, C yra trys poaibiai. Čia visi trys rinkiniai sutampa.
Rinkinio informacijos apibendrinimas
Aibės kardinalumas apibrėžiamas kaip bendras atskirų rinkinio elementų skaičius. Ir paskutinė nurodyta reikšmė apibūdinama kaip visų poaiikių skaičius. Nagrinėjant tokius klausimus, reikalingi metodai, metodai ir sprendimai. Taigi, siekiant nustatyti rinkinio kardinalumą, šie pavyzdžiai gali būti naudojami kaip:
Tegul A={0, 1, 2, 3}| |=4, kur | A | reiškia aibės A kardinalumą.
Dabar galite rasti savo maitinimo bloką. Tai taip pat gana paprasta. Kaip jau minėta, galios rinkinys nustatomas iš visų tam tikro skaičiaus poaibių. Taigi iš esmės reikėtų apibrėžti visus A kintamuosius, elementus ir kitas reikšmes,kurios yra {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Dabar apskaičiuokite P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}}, kuris turi 16 elementų. Taigi aibės kardinalumas A=16. Akivaizdu, kad tai yra varginantis ir sudėtingas būdas išspręsti šią problemą. Tačiau yra paprasta formulė, pagal kurią galite tiesiogiai sužinoti elementų skaičių tam tikro skaičiaus laipsnio rinkinyje. | P |=2 ^ N, kur N yra tam tikro A elementų skaičius. Šią formulę galima gauti naudojant paprastą kombinatoriką. Taigi klausimas yra 2^11, nes elementų skaičius rinkinyje A yra 11.
Taigi, aibė yra bet koks skaitiniu būdu išreikštas dydis, kuris gali būti bet koks galimas objektas. Pavyzdžiui, automobiliai, žmonės, numeriai. Matematine prasme ši sąvoka yra platesnė ir labiau apibendrinta. Jei pradiniuose etapuose skaičiai ir jų sprendimo variantai yra surikiuoti, tai viduriniuose ir aukštesniuose etapuose sąlygos ir užduotys yra sudėtingos. Iš tikrųjų aibės sąjungos kardinalumą lemia objekto priklausymas bet kuriai grupei. Tai yra, vienas elementas priklauso klasei, bet turi vieną ar daugiau kintamųjų.
