Viena iš matematikos šakų, su kuria moksleiviai susiduria su didžiausiais sunkumais, yra trigonometrija. Nieko nuostabaus: norint laisvai įsisavinti šią žinių sritį, reikia erdvinio mąstymo, gebėjimo pagal formules rasti sinusus, kosinusus, liestines, kotangentus, supaprastinti išraiškas ir mokėti naudoti skaičių pi skaičiavimuose. Be to, įrodinėdami teoremas turite mokėti taikyti trigonometriją, o tam reikia arba išvystytos matematinės atminties, arba gebėjimo išvesti sudėtingas logines grandines.
Trigonometrijos ištakos
Įvadas į šį mokslą turėtų prasidėti kampo sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimu, bet pirmiausia reikia išsiaiškinti, ką apskritai daro trigonometrija.
Istoriškai stačiakampiai trikampiai buvo pagrindinis šios matematikos mokslo skyriaus tyrimo objektas. 90 laipsnių kampo buvimas leidžia atlikti įvairias operacijas, kurios leidžia atlikti dupusės ir vienas kampas arba du kampai ir viena pusė, kad būtų galima nustatyti visų nagrinėjamos figūros parametrų reikšmes. Anksčiau žmonės pastebėjo šį modelį ir pradėjo aktyviai jį naudoti statydami pastatus, naviguodami, astronomijoje ir net mene.
Pradžia
Iš pradžių žmonės kalbėjo apie kampų ir kraštinių ryšį tik stačiųjų trikampių pavyzdžiu. Tada buvo atrastos specialios formulės, kurios leido išplėsti šios matematikos dalies naudojimo kasdieniame gyvenime ribas.
Šiandien trigonometrijos studijos mokykloje pradedamos nuo stačiųjų trikampių, po kurių įgytas žinias mokiniai panaudoja fizikoje ir spręsdami abstrakčias trigonometrines lygtis, su kuriomis darbas prasideda dar vidurinėje mokykloje.
Sferinė trigonometrija
Vėliau, kai mokslas pasiekė kitą išsivystymo lygį, formulės su sinusu, kosinusu, tangentu, kotangentu pradėtos naudoti sferinėje geometrijoje, kur galioja kitos taisyklės, o trikampio kampų suma visada yra didesnė nei 180 laipsnių. Ši dalis mokykloje nėra studijuojama, tačiau būtina žinoti apie jos egzistavimą, bent jau todėl, kad žemės paviršius ir bet kurios kitos planetos paviršius yra išgaubtas, o tai reiškia, kad bet koks paviršiaus žymėjimas bus „lanko formos“. trimatėje erdvėje.
Paimkite gaublį ir siūlą. Pritvirtinkite siūlą prie bet kurių dviejų rutulio taškų, kad jis būtų įtemptas. Atkreipkite dėmesį – jis įgavo lanko formą. Jame kalbama apie tokias formassferinė geometrija, naudojama geodezijoje, astronomijoje ir kitose teorinėse bei taikomosiose srityse.
Dešinysis trikampis
Šiek tiek sužinoję apie trigonometrijos naudojimo būdus, grįžkime prie pagrindinės trigonometrijos, kad geriau suprastume, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė, kokius skaičiavimus galima atlikti jų pagalba ir kokias formules naudoti.
Visų pirma, jūs turite suprasti sąvokas, susijusias su stačiu trikampiu. Pirma, hipotenuzė yra pusė, priešinga 90 laipsnių kampui. Ji pati ilgiausia. Prisimename, kad pagal Pitagoro teoremą jos skaitinė reikšmė yra lygi kitų dviejų kraštinių kvadratų sumos šaknei.
Pavyzdžiui, jei dvi kraštinės yra atitinkamai 3 ir 4 centimetrai, hipotenuzės ilgis bus 5 centimetrai. Beje, senovės egiptiečiai apie tai žinojo maždaug prieš keturis su puse tūkstančio metų.
Dvi likusios kraštinės, sudarančios stačią kampą, vadinamos kojomis. Be to, turime atsiminti, kad trikampio kampų suma stačiakampėje koordinačių sistemoje yra 180 laipsnių.
Apibrėžimas
Galiausiai, gerai suprasdami geometrinį pagrindą, galime pereiti prie kampo sinuso, kosinuso ir liestinės apibrėžimo.
Kampo sinusas yra priešingos kojos (ty pusės, priešingos norimam kampui) santykis su hipotenuze. Kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.
Atminkite, kad nei sinusas, nei kosinusas negali būti didesnis už vienetą! Kodėl?Kadangi hipotenuzė pagal nutylėjimą yra ilgiausia stačiojo trikampio kraštinė. Kad ir kokio ilgio būtų koja, ji bus trumpesnė už hipotenuzą, vadinasi, jų santykis visada bus mažesnis už vieną. Taigi, jei atsakydami į problemą gausite sinusą arba kosinusą, kurio reikšmė didesnė nei 1, ieškokite skaičiavimų ar samprotavimų klaidos. Šis atsakymas yra aiškiai neteisingas.
Galiausiai kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis. Tas pats rezultatas duos sinuso padalijimą iš kosinuso. Žiūrėkite: pagal formulę kraštinės ilgį padaliname iš hipotenuzės, po to dalijame iš antrosios kraštinės ilgio ir padauginame iš hipotenuzės. Taigi gauname tą patį santykį kaip ir liestinės apibrėžime.
Kotangentas yra atitinkamai kraštinės, esančios šalia kampo, ir priešingos pusės santykis. Tą patį rezultatą gauname padalinę vienetą iš liestinės.
Taigi, mes apsvarstėme sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus ir galime nagrinėti formules.
Paprastos formulės
Trigonometrijoje neapsieisite be formulių – kaip be jų rasti sinusą, kosinusą, liestinę, kotangentą? Bet būtent to reikia sprendžiant problemas.
Pirmoji formulė, kurią reikia žinoti pradedant mokytis trigonometrijos, sako, kad kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra lygi vienetui. Ši formulė yra tiesioginė Pitagoro teoremos pasekmė, tačiau ji taupo laiką, jei reikia sužinoti kampo, o ne kraštinės, reikšmę.
Daugelis mokinių neprisimena antrosios formulės, taip pat labaipopuliarus sprendžiant mokyklinius uždavinius: vieneto ir kampo liestinės kvadrato suma lygi vienetui, padalintam iš kampo kosinuso kvadrato. Pažvelkite atidžiau: juk tai tas pats teiginys, kaip ir pirmoje formulėje, tik abi tapatybės pusės buvo padalintos kosinuso kvadratu. Pasirodo, dėl paprasto matematinio veiksmo trigonometrinė formulė tampa visiškai neatpažįstama. Atminkite: žinodami, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, konvertavimo taisykles ir kelias pagrindines formules, bet kuriuo metu galite savarankiškai išvesti reikiamas sudėtingesnes formules ant popieriaus lapo.
Dvigubo kampo formulės ir argumentų pridėjimas
Dar dvi formulės, kurias reikia išmokti, yra susijusios su kampų sumos ir skirtumo sinuso ir kosinuso reikšmėmis. Jie parodyti paveikslėlyje žemiau. Atkreipkite dėmesį, kad pirmuoju atveju sinusas ir kosinusas padauginami abu kartus, o antruoju atveju pridedama porinė sinuso ir kosinuso sandauga.
Taip pat yra formulių, susijusių su dvigubo kampo argumentais. Jie yra visiškai išvesti iš ankstesnių – kaip praktika, pabandykite juos gauti patys, atsižvelgdami į alfa kampą, lygų beta kampui.
Galiausiai atkreipkite dėmesį, kad dvigubo kampo formules galima konvertuoti siekiant sumažinti sinuso, kosinuso, liestinės alfa laipsnį.
Teoremos
Dvi pagrindinės pagrindinės trigonometrijos teoremos yra sinuso teorema ir kosinuso teorema. Naudodami šias teoremas galite lengvai suprasti, kaip rasti sinusą, kosinusą ir liestinę, taigi ir figūros plotą bei dydį.kiekviena pusė ir tt
Sinuso teorema teigia, kad padalijus kiekvienos trikampio kraštinės ilgį iš priešingo kampo vertės, gauname tą patį skaičių. Be to, šis skaičius bus lygus dviem apibrėžtojo apskritimo spinduliams, ty apskritimo, kuriame yra visi nurodyto trikampio taškai.
Kosinuso teorema apibendrina Pitagoro teoremą, projektuodama ją į bet kokius trikampius. Pasirodo, iš dviejų kraštinių kvadratų sumos atimkite jų sandaugą, padaugintą iš greta esančio kampo dvigubo kosinuso - gauta vertė bus lygi trečiosios kraštinės kvadratui. Taigi Pitagoro teorema pasirodo esanti ypatingas kosinuso teoremos atvejis.
Klaidos dėl neatidumo
Net žinant, kas yra sinusas, kosinusas ir liestinė, lengva padaryti klaidą dėl neblaivumo ar paprasčiausių skaičiavimų klaidos. Norėdami išvengti tokių klaidų, pažvelkime į populiariausias.
Visų pirma, prieš gaudami galutinį rezultatą, nekonvertuokite bendrųjų trupmenų į dešimtaines – galite palikti atsakymą kaip bendrąją trupmeną, nebent sąlygoje nurodyta kitaip. Tokio transformavimo negalima pavadinti klaida, tačiau reikia atminti, kad kiekviename užduoties etape gali atsirasti naujų šaknų, kurias, pagal autoriaus sumanymą, reikėtų sumažinti. Tokiu atveju sugaišite laiką nereikalingiems matematiniams veiksmams. Tai ypač pasakytina apie tokias vertybes kaip trijų ar dviejų šaknis, nes jos atsiranda atliekant užduotis kiekviename žingsnyje. Tas pats pasakytina ir apie apvalinimą.„Bjaurūs“skaičiai.
Toliau atkreipkite dėmesį, kad kosinuso teorema taikoma bet kuriam trikampiui, bet ne Pitagoro teoremai! Jei per klaidą pamiršite atimti dvigubą kraštinių sandaugą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso, gausite ne tik visiškai neteisingą rezultatą, bet ir parodysite visišką dalyko nesupratimą. Tai blogiau nei neatsargus klaida.
Trečia, nepainiokite sinusų, kosinusų, liestinių, kotangentų 30 ir 60 laipsnių kampų verčių. Atsiminkite šias reikšmes, nes 30 laipsnių sinusas yra lygus 60 kosinusui ir atvirkščiai. Juos lengva sumaišyti ir neišvengiamai gausite klaidingą rezultatą.
Programa
Daugelis studentų neskuba pradėti studijuoti trigonometrijos, nes nesupranta jos taikomosios reikšmės. Kas yra sinusas, kosinusas, tangentas inžinieriui ar astronomui? Tai sąvokos, kurių dėka galite apskaičiuoti atstumą iki tolimų žvaigždžių, numatyti meteorito kritimą, nusiųsti tyrimo zondą į kitą planetą. Be jų neįmanoma pastatyti pastato, suprojektuoti automobilio, apskaičiuoti paviršiaus apkrovą ar objekto trajektoriją. Ir tai tik ryškiausi pavyzdžiai! Juk vienokia ar kitokia trigonometrija naudojama visur – nuo muzikos iki medicinos.
Pabaigoje
Taigi, jūs žinote, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė. Galite naudoti juos skaičiavimuose ir sėkmingai išspręsti mokyklos uždavinius.
Visa esmėtrigonometrija sumažinama iki to, kad pagal žinomus trikampio parametrus reikia skaičiuoti nežinomuosius. Iš viso yra šeši parametrai: trijų kraštinių ilgiai ir trijų kampų dydžiai. Visas užduočių skirtumas slypi tame, kad pateikiami skirtingi įvesties duomenys.
Kaip rasti sinusą, kosinusą, liestinę pagal žinomus kojų ilgius arba hipotenuzą, dabar žinote. Kadangi šie terminai reiškia ne ką kitą, o santykį, o santykis yra trupmena, pagrindinis trigonometrinės problemos tikslas yra rasti įprastos lygties arba lygčių sistemos šaknis. Ir čia jums padės įprasta mokyklinė matematika.
