Matematika kilusi iš Antikos. Jos dėka architektūra, statybos ir karo mokslas suteikė naują raidos ratą, matematikos pagalba pasiekti pasiekimai paskatino pažangos judėjimą. Iki šiol matematika išlieka pagrindiniu mokslu, kuris randamas visose kitose šakose.
Siekdami lavintis, vaikai nuo pirmos klasės pradeda palaipsniui įsilieti į šią aplinką. Labai svarbu suprasti matematiką, nes ji vienaip ar kitaip pasitaiko kiekvienam žmogui visą gyvenimą. Šiame straipsnyje bus analizuojamas vienas iš pagrindinių elementų – išvestinių priemonių paieška ir taikymas. Ne kiekvienas žmogus gali įsivaizduoti, kaip plačiai naudojama ši sąvoka. Apsvarstykite daugiau nei 10 išvestinių pritaikymų tam tikrose srityse ar moksluose.
Išvestinės taikymas funkcijos tyrimui
Išvestinė yra tokia ribafunkcijos prieaugio ir jos argumento prieaugio santykis, kai argumento eksponentas linkęs į nulį. Išvestinė yra nepakeičiamas dalykas tiriant funkciją. Pavyzdžiui, pagal jį galima nustatyti pastarųjų padidėjimą ir sumažėjimą, ekstremumą, išgaubimą ir įdubimą. Diferencialinis skaičiavimas įtrauktas į privalomą matematikos universitetų 1 ir 2 kurso studentų mokymo programą.
Apimtis ir funkcijos nuliai
Pirmasis bet kokio grafiko tyrimo etapas prasideda išsiaiškinus apibrėžimo sritį, retesniais atvejais - reikšmę. Apibrėžimo sritis nustatoma išilgai abscisių ašies, kitaip tariant, tai yra skaitinės reikšmės OX ašyje. Dažnai apimtis jau yra nustatyta, bet jei taip nėra, reikia įvertinti x argumento reikšmę. Tarkime, jei kai kurioms argumento reikšmėms funkcija neturi prasmės, tada šis argumentas neįtraukiamas į taikymo sritį.
Funkcijos nuliai randami paprastu būdu: funkcija f(x) turi būti prilyginta nuliui, o gauta lygtis turi būti išspręsta vieno kintamojo x atžvilgiu. Gautos lygties šaknys yra funkcijos nuliai, tai yra šiose x funkcija yra 0.
Didinti ir mažinti
Išvestinės naudojimas monotoniškumo funkcijoms tirti gali būti vertinamas iš dviejų pozicijų. Monotoninė funkcija yra kategorija, turinti tik teigiamas išvestinės reikšmes arba tik neigiamas reikšmes. Paprastais žodžiais tariant, funkcija tik didėja arba tik mažėja per visą tiriamą intervalą:
- Padidinti parametrą. Funkcijaf(x) padidės, jei f`(x) išvestinė yra didesnė už nulį.
- Mažėjantis parametras. F(x) funkcija sumažės, jei f`(x) išvestinė yra mažesnė už nulį.
Lilietė ir nuolydis
Išvestinės taikymą funkcijos tyrimui taip pat lemia funkcijos grafiko liestinė (tiesė, nukreipta kampu) tam tikrame taške. Liestinė taške (x0) – tiesė, kuri eina per tašką ir priklauso funkcijai, kurios koordinatės yra (x0, f(x) 0 )) ir su nuolydžiu f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - funkcijos grafiko duoto taško liestinės lygtis.
Geometrinė išvestinės reikšmė: funkcijos f(x) išvestinė lygi šios funkcijos grafiko suformuotos liestinės nuolydžiui duotame taške x. Kampinis koeficientas, savo ruožtu, yra lygus OX ašies (abscisės) polinkio kampo liestei teigiama kryptimi. Ši pasekmė yra labai svarbi taikant išvestinę funkcijos grafikui.
Ekstremalūs taškai
Taikant išvestinę medžiagą tyrimui reikia surasti aukščiausius ir žemesnius taškus.
Norėdami rasti ir nustatyti mažiausią ir didžiausią taškų skaičių, turite:
- Raskite funkcijos f(x) išvestinę.
- Gautąją lygtį nustatykite į nulį.
- Raskite lygties šaknis.
- Raskite aukščiausias ir žemiausias vietas.
Norėdami rasti kraštutinumusfunkcijos:
- Raskite mažiausią ir didžiausią taškų skaičių naudodami aukščiau pateiktą metodą.
- Pakeiskite šiuos taškus į pradinę lygtį ir apskaičiuokite ymax ir ymin
Maksimalus funkcijos taškas yra didžiausia funkcijos f(x) reikšmė intervale, kitaip tariant xmax.
Mažiausias funkcijos taškas yra mažiausia funkcijos f(x) reikšmė intervale, kitaip tariant xname
Ekstremalūs taškai yra tokie patys kaip maksimalus ir mažiausias taškai bei funkcijos ekstremumas (ymaks. ir yminimalus) – funkcijos reikšmės, atitinkančios ekstremumo taškus.
Išgaubtumas ir įdubimas
Galite nustatyti išgaubtą ir įgaubtą braižą naudodami išvestinę:
- Funkcija f(x), išnagrinėta intervale (a, b), yra įgaubta, jei funkcija yra žemiau visų jos liestinių šiame intervale.
- Funkcija f(x), tirta intervale (a, b), yra išgaubta, jei funkcija yra aukščiau visų jos liestinių šiame intervale.
Taškas, skiriantis išgaubtą ir įgaubtą, vadinamas funkcijos vingio tašku.
Norėdami rasti vingio taškus:
- Rasti kritinius antrojo tipo taškus (antroji išvestinė).
- Posūkio taškai yra tie kritiniai taškai, kurie skiria du priešingus ženklus.
- Apskaičiuokite funkcijos reikšmes funkcijos vingio taškuose.
Dalinės išvestinės priemonės
Programayra šio tipo išvestinių uždavinių, kai naudojamas daugiau nei vienas nežinomas kintamasis. Dažniausiai su tokiomis išvestinėmis susiduriama braižant funkcijų grafiką, tiksliau, paviršius erdvėje, kur vietoj dviejų ašių yra trys, vadinasi, trys dydžiai (du kintamieji ir viena konstanta).
Pagrindinė taisyklė skaičiuojant dalines išvestines yra pasirinkti vieną kintamąjį, o likusius laikyti konstantomis. Todėl skaičiuojant dalinę išvestinę konstanta tampa tarsi skaitine reikšme (daugelyje išvestinių lentelių jos žymimos C=const). Tokios išvestinės reikšmės yra funkcijos z=f(x, y) kitimo greitis išilgai OX ir OY ašių, tai yra, ji apibūdina statomo paviršiaus įdubimų ir iškilimų statumą.
Išvestinė fizikoje
Išvestinės naudojimas fizikoje yra plačiai paplitęs ir svarbus. Fizinė reikšmė: kelio išvestinė laiko atžvilgiu yra greitis, o pagreitis – greičio išvestinė laiko atžvilgiu. Iš fizinės reikšmės daug šakų gali būti pritrauktos prie įvairių fizikos šakų, visiškai išsaugant išvestinės prasmę.
Išvestinės pagalba randamos šios reikšmės:
- Greitis kinematikoje, kur apskaičiuojama nuvažiuoto atstumo išvestinė. Jei randama antroji kelio išvestinė arba pirmoji greičio išvestinė, tai randamas kūno pagreitis. Be to, galima rasti momentinį materialaus taško greitį, tačiau tam reikia žinoti prieaugį ∆t ir ∆r.
- Elektrodinamika:kintamosios srovės momentinio stiprumo, taip pat elektromagnetinės indukcijos EML apskaičiavimas. Apskaičiavę išvestinę, galite rasti didžiausią galią. Elektros krūvio dydžio išvestinė yra srovės stipris laidininke.
Chemijos ir biologijos darinys
Chemija: darinys naudojamas cheminės reakcijos greičiui nustatyti. Darinio cheminė reikšmė: funkcija p=p(t), šiuo atveju p – medžiagos kiekis, kuris per laiką t patenka į cheminę reakciją. ∆t – laiko prieaugis, ∆p – medžiagos kiekio prieaugis. ∆p ir ∆t santykio riba, kuriai esant ∆t linksta į nulį, vadinama cheminės reakcijos greičiu. Vidutinė cheminės reakcijos reikšmė yra santykis ∆p/∆t. Nustatant greitį būtina tiksliai žinoti visus reikiamus parametrus, sąlygas, žinoti suminę medžiagos ir tėkmės terpės būseną. Tai gana didelis aspektas chemijoje, kuri plačiai naudojama įvairiose pramonės šakose ir žmogaus veikloje.
Biologija: vidutiniam reprodukcijos greičiui apskaičiuoti naudojama darinio sąvoka. Biologinė reikšmė: turime funkciją y=x(t). ∆t – laiko prieaugis. Tada kai kurių transformacijų pagalba gauname funkciją y`=P(t)=x`(t) - laiko t populiacijos gyvybinė veikla (vidutinis dauginimosi greitis). Naudojant šį išvestinį variantą, galima vesti statistiką, sekti dauginimosi greitį ir pan.
Geografijos ir ekonomikos darinys
Išvestinė leidžia geografams nuspręstitokios užduotys kaip populiacijos radimas, seismografijos reikšmių skaičiavimas, branduolinių geofizinių rodiklių radioaktyvumo skaičiavimas, interpoliacijos skaičiavimas.
Ekonomikos moksle svarbi skaičiavimų dalis yra diferencialinis skaičiavimas ir išvestinės apskaičiavimas. Visų pirma, tai leidžia nustatyti būtinų ekonominių verčių ribas. Pavyzdžiui, didžiausias ir mažiausias darbo našumas, kaštai, pelnas. Iš esmės šios reikšmės apskaičiuojamos iš funkcijų grafikų, kur jos randa kraštutinumus, nustato funkcijos monotoniškumą norimoje srityje.
Išvada
Šio diferencialinio skaičiavimo vaidmuo, kaip minėta straipsnyje, yra susijęs su įvairiomis mokslinėmis struktūromis. Išvestinių funkcijų naudojimas yra svarbus elementas praktinėje mokslo ir gamybos dalyje. Ne veltui vidurinėje mokykloje ir universitete buvome mokomi kurti sudėtingus grafikus, tyrinėti ir dirbti su funkcijomis. Kaip matote, be išvestinių ir diferencialinių skaičiavimų būtų neįmanoma apskaičiuoti gyvybiškai svarbių rodiklių ir kiekių. Žmonija išmoko modeliuoti įvairius procesus ir juos tyrinėti, spręsti sudėtingas matematines problemas. Iš tiesų, matematika yra visų mokslų karalienė, nes šis mokslas yra visų kitų gamtos ir techninių disciplinų pagrindas.
