Matematiniai uždaviniai naudojami daugelyje mokslų. Tai ne tik fizika, chemija, inžinerija ir ekonomika, bet ir medicina, ekologija ir kitos disciplinos. Viena svarbi sąvoka, kurią reikia įsisavinti, norint rasti svarbių dilemų sprendimus, yra funkcijos išvestinė. Fizinę to prasmę paaiškinti nėra taip sunku, kaip gali atrodyti nesuvokiam iš esmės. Pakanka tik rasti tinkamų pavyzdžių realiame gyvenime ir įprastose kasdienėse situacijose. Tiesą sakant, bet kuris vairuotojas kiekvieną dieną susidoroja su panašia užduotimi, kai žiūri į spidometrą, nustatydamas savo automobilio greitį tam tikru momentu, nustatytu laiku. Juk būtent šiame parametre slypi išvestinės fizinės reikšmės esmė.
Kaip rasti greitį
Nustatykite žmogaus greitį kelyje, žinodami nuvažiuotą atstumą ir kelionės laiką, bet kuris penktos klasės mokinys gali lengvai. Norėdami tai padaryti, pirmoji iš nurodytų verčių padalyta iš antrosios. Betne kiekvienas jaunas matematikas žino, kad šiuo metu randa funkcijos ir argumento prieaugio santykį. Iš tiesų, jei įsivaizduosime judėjimą grafiko pavidalu, nubrėždami kelią išilgai y ašies, o laiką išilgai abscisių, tai bus būtent taip.
Tačiau pėsčiojo ar bet kurio kito objekto greitis, kurį mes nustatome didelėje tako atkarpoje, manydami, kad judėjimas yra vienodas, gali keistis. Fizikoje yra daug judėjimo formų. Tai galima atlikti ne tik nuolat greitėjant, bet ir savavališkai sulėtinti bei didinti. Reikėtų pažymėti, kad šiuo atveju linija, apibūdinanti judėjimą, nebebus tiesi. Grafiškai jis gali turėti sudėtingiausias konfigūracijas. Tačiau bet kuriame grafiko taške visada galime nubrėžti liestinę, pavaizduotą tiesine funkcija.
Norint paaiškinti poslinkio pokyčio parametrą priklausomai nuo laiko, būtina sutrumpinti išmatuotas atkarpas. Kai jie tampa be galo maži, apskaičiuotas greitis bus momentinis. Ši patirtis padeda mums apibrėžti išvestinę. Jo fizinė reikšmė taip pat logiškai išplaukia iš tokio samprotavimo.
Geometrijos atžvilgiu
Žinoma, kad kuo didesnis kūno greitis, tuo statesnis yra poslinkio priklausomybės nuo laiko grafikas, taigi ir grafiko liestinės polinkio kampas tam tikrame taške. Tokių pokyčių indikatorius gali būti kampo tarp x ašies ir liestinės linijos liestinė. Jis tiesiog nustato išvestinės vertės vertę ir apskaičiuojamas pagal ilgių santykįpriešinga gretimai stačiakampio trikampio kojelei, kurią sudaro statmenas, nuleistas iš kurio nors taško į x ašį.
Tai geometrinė pirmosios išvestinės reikšmė. Fizinė atsiskleidžia tuo, kad priešingos kojos reikšmė mūsų atveju yra nuvažiuotas atstumas, o gretimos – laikas. Jų santykis yra greitis. Ir vėl prieiname prie išvados, kad momentinis greitis, nustatomas, kai abu tarpai linkę be galo mažėti, yra išvestinės sąvokos esmė, nurodanti jo fizinę reikšmę. Antroji išvestinė šiame pavyzdyje bus kūno pagreitis, kuris savo ruožtu parodo greičio kitimo greitį.
Išvestinių fizikoje pavyzdžiai
Išvestinė yra bet kurios funkcijos kitimo greičio rodiklis, net kai kalbame ne apie judėjimą tiesiogine to žodžio prasme. Norėdami tai aiškiai parodyti, paimkime keletą konkrečių pavyzdžių. Tarkime, srovės stiprumas, priklausomai nuo laiko, kinta pagal šį dėsnį: I=0, 4t2. Reikia rasti greičio, kuriuo šis parametras keičiasi, reikšmę 8-osios proceso sekundės pabaigoje. Atkreipkite dėmesį, kad pati norima reikšmė, kaip galima spręsti iš lygties, nuolat didėja.
Norėdami tai išspręsti, turite rasti pirmąjį išvestinį, kurio fizinė reikšmė buvo svarstoma anksčiau. Čia dI / dt=0,8t. Toliau randame t \u003d 8, gauname, kad srovės stiprumo kitimo greitis yra 6,4 A / c. Čia manoma, kadsrovė matuojama amperais, o laikas atitinkamai sekundėmis.
Viskas keičiasi
Matomas aplinkinis pasaulis, susidedantis iš materijos, nuolat keičiasi, judėdamas įvairiems jame vykstantiems procesams. Jiems apibūdinti gali būti naudojami įvairūs parametrai. Jei juos vienija priklausomybė, tai jie matematiškai užrašomi kaip funkcija, kuri aiškiai parodo jų pokyčius. O ten, kur yra judėjimas (kad ir kokia forma jis būtų išreikštas), egzistuoja ir darinys, kurio fizinę reikšmę šiuo metu svarstome.
Šia proga toks pavyzdys. Tarkime, kad kūno temperatūra kinta pagal dėsnį T=0, 2 t 2. Jo įkaitimo greitį turėtumėte rasti 10 sekundės pabaigoje. Problema išspręsta panašiai kaip aprašyta ankstesnėje byloje. Tai yra, randame išvestinę ir į ją pakeičiame t \u003d 10 reikšmę, gauname T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Tai reiškia, kad galutinis atsakymas yra 4 laipsniai per sekundę, tai yra šildymo procesas. ir temperatūros pokytis, matuojamas laipsniais, vyksta būtent tokiu greičiu.
Praktinių problemų sprendimas
Žinoma, realiame gyvenime viskas daug sudėtingiau nei teorinėse problemose. Praktikoje dydžių reikšmė dažniausiai nustatoma eksperimento metu. Šiuo atveju naudojami prietaisai, kurie matavimų metu pateikia rodmenis su tam tikra paklaida. Todėl atliekant skaičiavimus reikia atsižvelgti į apytiksles parametrų reikšmes ir apvalinti nepatogius skaičius,taip pat kiti supaprastinimai. Atsižvelgdami į tai, vėl pereisime prie fizinės išvestinės reikšmės problemų, nes tai tik tam tikras matematinis sudėtingiausių gamtoje vykstančių procesų modelis.
Vulkano išsiveržimas
Įsivaizduokime, kad išsiveržia ugnikalnis. Kiek jis gali būti pavojingas? Norint atsakyti į šį klausimą, reikia atsižvelgti į daugybę veiksnių. Mes pasistengsime priimti vieną iš jų.
Iš „ugninio pabaisos“žiočių akmenys svaidomi vertikaliai aukštyn, kurių pradinis greitis nuo jų išėjimo į išorę yra 120 m/s. Būtina apskaičiuoti, kokį aukštį jie gali pasiekti.
Norėdami rasti norimą reikšmę, sudarysime aukščio H, išmatuoto metrais, priklausomybės nuo kitų verčių lygtį. Tai apima pradinį greitį ir laiką. Pagreičio vertė laikoma žinoma ir apytiksliai lygi 10 m/s2.
Dalinė išvestinė priemonė
Dabar panagrinėkime funkcijos išvestinės fizinę reikšmę kiek kitu kampu, nes pačioje lygtyje gali būti ne vienas, o keli kintamieji. Pavyzdžiui, ankstesniame uždavinyje iš ugnikalnio angos išmestų akmenų aukščio priklausomybę lėmė ne tik laiko charakteristikų kitimas, bet ir pradinio greičio reikšmė. Pastaroji buvo laikoma pastovia, pastovia verte. Tačiau kitose užduotyse su visiškai kitomis sąlygomis viskas gali būti kitaip. Jei kiekiai, ant kurių kompleksasfunkcija, keli, skaičiavimai atliekami pagal toliau pateiktas formules.
Fizinė dažno išvestinio reikšmė turėtų būti nustatyta kaip įprastu atveju. Tai greitis, kuriuo funkcija keičiasi tam tikru tašku, kai didėja kintamojo parametras. Jis apskaičiuojamas taip, kad visi kiti komponentai būtų imami kaip konstantos, tik vienas laikomas kintamuoju. Tada viskas vyksta pagal įprastas taisykles.
Nepakeičiamas patarėjas daugeliu klausimų
Suvokus fizinę išvestinės prasmę, nesunku pateikti sudėtingų ir sudėtingų problemų sprendimo pavyzdžių, į kuriuos atsakymą galima rasti tokiomis žiniomis. Jei turime funkciją, kuri nusako kuro sąnaudas priklausomai nuo automobilio greičio, galime paskaičiuoti, prie kokių pastarojo parametrų benzino sąnaudos bus mažiausios.
Medicinoje galite numatyti, kaip žmogaus organizmas reaguos į gydytojo paskirtą vaistą. Vaisto vartojimas paveikia įvairius fiziologinius parametrus. Tai kraujospūdžio, širdies susitraukimų dažnio, kūno temperatūros ir kt. Visi jie priklauso nuo vartojamo vaisto dozės. Šie skaičiavimai padeda numatyti gydymo eigą tiek esant palankioms apraiškoms, tiek nepageidaujamoms avarijoms, galinčioms mirtinai paveikti paciento kūno pokyčius.
Be jokios abejonės, svarbu suprasti fizinę darinio reikšmę techninėjeklausimai, ypač elektrotechnikos, elektronikos, projektavimo ir statybos srityse.
Stabdymo kelias
Panagrinėkime kitą problemą. Važiuodamas pastoviu greičiu, automobilis, artėdamas prie tilto, likus 10 sekundžių iki įvažiavimo turėjo sulėtinti greitį, nes vairuotojas pastebėjo kelio ženklą, draudžiantį važiuoti didesniu nei 36 km/h greičiu. Ar vairuotojas pažeidė taisykles, jei stabdymo kelią galima apibūdinti formule S=26t - t2?
Apskaičiavę pirmąją išvestinę randame greičio formulę, gauname v=28 – 2t. Tada nurodytą išraišką pakeiskite reikšmę t=10.
Kadangi ši vertė buvo išreikšta sekundėmis, greitis yra 8 m/s, o tai reiškia 28,8 km/h. Tai leidžia suprasti, kad vairuotojas pradėjo laiku sulėtinti greitį ir nepažeidė Kelių eismo taisyklių, taigi ir greičio ribos, nurodytos ant greičio ženklo.
Tai įrodo fizinės išvestinės reikšmės svarbą. Šios problemos sprendimo pavyzdys parodo šios sąvokos panaudojimo įvairovę įvairiose gyvenimo srityse. Įskaitant kasdienes situacijas.
Išvestinė priemonė ekonomikoje
Iki XIX amžiaus ekonomistai daugiausia veikė pagal vidurkius, nesvarbu, ar tai būtų darbo našumas, ar produkcijos kaina. Tačiau nuo tam tikro momento ribinės vertės tapo reikalingesnės norint efektyviai prognozuoti šią sritį. Tai apima ribinį naudingumą, pajamas arba išlaidas. To supratimas davė impulsą sukurti visiškai naują ekonominių tyrimų priemonę,kuri egzistuoja ir vystėsi daugiau nei šimtą metų.
Norint atlikti tokius skaičiavimus, kur vyrauja tokios sąvokos kaip minimumas ir maksimumas, tiesiog būtina suprasti išvestinės geometrinę ir fizinę reikšmę. Tarp šių disciplinų teorinio pagrindo kūrėjų galima įvardyti tokius iškilius anglų ir austrų ekonomistus kaip US Jevons, K. Menger ir kt. Žinoma, ekonominių skaičiavimų ribines vertes ne visada patogu naudoti. Ir, pavyzdžiui, ketvirtinės ataskaitos nebūtinai atitinka esamą schemą, bet vis tiek tokios teorijos taikymas daugeliu atvejų yra naudingas ir efektyvus.
