Viena iš pagrindinių matematinės analizės dalių yra integralinis skaičiavimas. Jis apima plačiausią objektų lauką, kur pirmasis yra neapibrėžtas integralas. Verta jį pozicionuoti kaip raktą, kuris net vidurinėje mokykloje atskleidžia vis daugiau perspektyvų ir galimybių, kurias apibūdina aukštoji matematika.
Išvaizda
Iš pirmo žvilgsnio integralas atrodo visiškai šiuolaikiškas, aktualus, tačiau praktiškai paaiškėja, kad jis atsirado dar 1800 m. pr. Egiptas oficialiai laikomas tėvyne, nes ankstesni jo egzistavimo įrodymai mūsų nepasiekė. Jis dėl informacijos stokos visą šį laiką buvo pozicionuojamas tiesiog kaip reiškinys. Jis dar kartą patvirtino mokslo išsivystymo lygį tarp tų laikų tautų. Galiausiai buvo rasti senovės graikų matematikų darbai, datuojami IV amžiuje prieš Kristų. Jie aprašė metodą, kai buvo naudojamas neapibrėžtas integralas, kurio esmė buvo rasti kreivinės figūros (trimatės) tūrį arba plotąir atitinkamai dvimatės plokštumos). Skaičiavimo principas buvo pagrįstas pradinės figūros padalijimu į be galo mažus komponentus, jei jų tūris (plotas) jau žinomas. Laikui bėgant metodas išaugo, Archimedas jį panaudojo parabolės plotui surasti. Panašius skaičiavimus tuo pačiu metu atliko senovės Kinijos mokslininkai ir jie buvo visiškai nepriklausomi nuo graikų kolegų mokslo srityje.
Plėtra
Kitas proveržis XI amžiuje buvo arabų mokslininko „universalo“Abu Ali al-Basri darbas, kuris peržengė jau žinomo ribas, išvesdamas formules, pagrįstas sumų skaičiavimo integralu. eilučių ir laipsnių sumos nuo pirmos iki ketvirtos, taikant mums žinomą matematinės indukcijos metodą.
Naujųjų laikų protai žavisi, kaip senovės egiptiečiai be jokių specialių prietaisų, išskyrus galbūt rankas, kūrė nuostabius architektūros paminklus, bet ar to meto mokslininkų proto galia ne mažesnis stebuklas? Palyginti su šiandiena, jų gyvenimas atrodo beveik primityvus, tačiau neapibrėžtųjų integralų sprendimas buvo visur išvestas ir naudojamas praktikoje tolesnei plėtrai.
Kitas žingsnis įvyko XVI amžiuje, kai italų matematikas Cavalieri sukūrė nedalomųjų metodą, kurį pasirinko Pierre'as Fermatas. Būtent šios dvi asmenybės padėjo pagrindus šiuolaikiniam integraliniam skaičiavimui, kuris yra žinomas šiuo metu. Jie sujungė anksčiau buvusias diferenciacijos ir integracijos sąvokastraktuojami kaip savarankiški vienetai. Iš esmės tų laikų matematika buvo suskaidyta, išvadų dalelės egzistavo pačios, turėdamos ribotą apimtį. Vienijimosi ir bendros kalbos paieškos kelias tuo metu buvo vienintelis teisingas, kurio dėka šiuolaikinė matematinė analizė turėjo galimybę augti ir tobulėti.
Laikui bėgant viskas pasikeitė, įskaitant integralo žymėjimą. Apskritai, mokslininkai tai visais būdais pažymėjo, pavyzdžiui, Niutonas panaudojo kvadratinę piktogramą, kurioje įdėjo integruotą funkciją arba tiesiog padėjo ją šalia jos.
Šis nenuoseklumas tęsėsi iki XVII amžiaus, kai mokslininkas Gotfrydas Leibnicas, visos matematinės analizės teorijos orientyras, pristatė mums taip pažįstamą simbolį. Pailginta „S“iš tiesų yra pagrįsta šia lotyniškos abėcėlės raide, nes ji žymi antidarinių sumą. Integralas gavo savo pavadinimą Jacobo Bernoulli dėka po 15 metų.
Oficialus apibrėžimas
Neapibrėžtas integralas tiesiogiai priklauso nuo antidarinio apibrėžimo, todėl pirmiausia apsvarstykime jį.
Antidarinys yra funkcija, kuri yra atvirkštinė išvestinei, praktiškai ji dar vadinama primityviąja. Kitu atveju: funkcijos d antidarinė yra funkcija D, kurios išvestinė lygi v V'=v. Antidarinės paieška yra neapibrėžto integralo apskaičiavimas, o pats procesas vadinamas integravimu.
Pavyzdys:
Funkcija s(y)=y3, o jos antidarinė S(y)=(y4/4).
Visų nagrinėjamos funkcijos antidarinių aibė yra neapibrėžtasis integralas, jis žymimas taip: ∫v(x)dx.
Dėl to, kad V(x) yra tik tam tikra pradinės funkcijos antidarinė, atsiranda išraiška: ∫v(x)dx=V(x) + C, kur C yra konstanta. Savavališka konstanta yra bet kuri konstanta, nes jos išvestinė lygi nuliui.
Ypatybės
Ypatybės, kurias turi neapibrėžtas integralas, yra pagrįstos pagrindiniu apibrėžimu ir išvestinių savybių savybėmis.
Pažvelkime į pagrindinius dalykus:
- integralas iš antidarinės išvestinės yra pati antidarinė ir savavališka konstanta С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- funkcijos integralo išvestinė yra pradinė funkcija (∫v(x)dx)'=v(x);
- konstanta išimama iš po integralo ženklo ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, kur k yra savavališkas;
- iš sumos paimtas integralas yra identiškas integralų ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy sumai.
Iš paskutinių dviejų savybių galime daryti išvadą, kad neapibrėžtas integralas yra tiesinis. Dėl to gauname: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Norėdami konsoliduoti, apsvarstykite neapibrėžtų integralų sprendimo pavyzdžius.
Būtina rasti integralą ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3 (-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx ++ C
Iš pavyzdžio galime daryti išvadą:nežinai kaip išspręsti neapibrėžtuosius integralus? Tiesiog surask visus primityvus! Tačiau paieškos principai bus aptarti toliau.
Metodai ir pavyzdžiai
Norėdami išspręsti integralą, galite naudoti šiuos metodus:
- naudokite paruoštą lentelę;
- integruoti dalimis;
- integruoti keičiant kintamąjį;
- paženklinti diferencialo ženklu.
Stalos
Lengviausias ir maloniausias būdas. Šiuo metu matematinė analizė gali pasigirti gana plačiomis lentelėmis, kuriose surašytos pagrindinės neapibrėžtųjų integralų formulės. Kitaip tariant, yra šablonų, kurie buvo sukurti prieš jus ir jums, belieka juos naudoti. Čia yra pagrindinių lentelės pozicijų sąrašas, iš kurio galite gauti beveik visus pavyzdžius, kurie turi sprendimą:
- ∫0dy=C, kur C yra konstanta;
- ∫dy=y + C, kur C yra konstanta;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, kur C yra konstanta ir n – ne vienas skaičius;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, kur C yra konstanta;
- ∫eydy=ey + C, kur C yra konstanta;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, kur C yra konstanta;
- ∫cosydy=siny + C, kur C yra konstanta;
- ∫sinydy=-cosy + C, kur C yra konstanta;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, kur C yra konstanta;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, kur C yra konstanta;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, kur C yra konstanta;
- ∫chydy=drovus + C, kur C -pastovus;
- ∫shydy=chy + C, kur C yra konstanta.
Jei reikia, atlikite kelis žingsnius, integrandą perkelkite į lentelės formą ir mėgaukitės pergale. Pavyzdys: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Pagal sprendimą aišku, kad lentelės pavyzdyje integrandui trūksta koeficiento 5. Sudedame, lygiagrečiai padaugindami iš 1/5, kad bendra išraiška nepasikeistų.
Integravimas dalimis
Apsvarstykite dvi funkcijas – z(y) ir x(y). Jie turi būti nuolat diferencijuojami visoje apibrėžimo srityje. Pagal vieną iš diferenciacijos savybių turime: d(xz)=xdz + zdx. Integravę abi lygties dalis, gauname: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Perrašydami gautą lygybę, gauname formulę, kuri apibūdina integravimo dalimis būdą: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Kam to reikia? Esmė ta, kad kai kuriuos pavyzdžius galima supaprastinti, sąlygiškai tariant, sumažinti ∫zdx į ∫xdz, jei pastarasis yra artimas lentelės formai. Be to, šią formulę galima taikyti daugiau nei vieną kartą, kad būtų pasiekti optimalūs rezultatai.
Kaip išspręsti neapibrėžtuosius integralus tokiu būdu:
reikia apskaičiuoti ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
reikia apskaičiuoti ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Kintamojo keitimas
Šis neapibrėžtųjų integralų sprendimo principas yra ne mažiau paklausus nei du ankstesni, nors ir sudėtingesnis. Metodas yra toks: tegul V(x) yra kokios nors funkcijos v(x) integralas. Tuo atveju, jei pats integralas pavyzdyje yra sudėtingas, yra didelė tikimybė susipainioti ir pasirinkti klaidingą sprendimo kelią. Siekiant to išvengti, praktikuojamas perėjimas nuo kintamojo x į z, kai bendroji išraiška vizualiai supaprastinama, išlaikant z priklausomybę nuo x.
Matematiškai tai atrodo taip: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), kur x=y(z) yra pakaitalas. Ir, žinoma, atvirkštinė funkcija z=y-1(x) visiškai apibūdina kintamųjų priklausomybę ir ryšį. Svarbi pastaba - diferencialas dx būtinai pakeičiamas nauju diferencialu dz, nes kintamojo pakeitimas neapibrėžtame integrale reiškia, kad jis turi būti pakeistas visur, o ne tik integrande.
Pavyzdys:
reikia rasti ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Taikykite pakeitimą z=(s+1)/(s2+2s-5). Tada dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Dėl to gauname tokią išraišką, kurią labai lengva apskaičiuoti:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
reikia rasti integralą∫2sesdx
Norėdami išspręsti, perrašome išraišką tokia forma:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Pažymėkite a=2e (šis veiksmas nepakeičia argumento, jis vis tiek yra s), mes pateikiame savo iš pažiūros sudėtingą integralą į elementarią lentelės formą:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Pažymėjimas po diferencialiniu ženklu
Iš esmės šis neapibrėžtųjų integralų metodas yra kintamojo keitimo principo dvynys, tačiau projektavimo procese yra skirtumų. Pažiūrėkime atidžiau.
Jei ∫v(x)dx=V(x) + C ir y=z(x), tada ∫v(y)dy=V(y) + C.
Šiuo atveju nereikėtų pamiršti trivialių integralinių transformacijų, tarp kurių:
- dx=d(x + a), kur a yra bet kokia konstanta;
- dx=(1 / a)d(ax + b), kur a vėl yra konstanta, bet ne lygi nuliui;
- xdx=1/2d (x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Jei apsvarstysime bendrąjį atvejį, kai apskaičiuojame neapibrėžtą integralą, pavyzdžius galima apibendrinti pagal bendrą formulę w'(x)dx=dw(x).
Pavyzdžiai:
reikia rasti ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Internetinė pagalba
Kai kuriais atvejais, dėl kurių k altė gali būti tinginystė arba skubus poreikis, galite pasinaudoti internetiniais patarimais arba, tiksliau, naudoti neapibrėžto laikotarpio integralų skaičiuotuvą. Nepaisant viso akivaizdaus integralų sudėtingumo ir ginčytinumo, jų sprendimui taikomas tam tikras algoritmas, pagrįstas principu „jei ne…, tai…“.
Žinoma, toks skaičiuotuvas neįveiks ypač sudėtingų pavyzdžių, nes pasitaiko atvejų, kai sprendimas turi būti rastas dirbtinai, „per prievartą“įvedant tam tikrus elementus į procesą, nes akivaizdžiai rezultato pasiekti nepavyks. būdai. Nepaisant visų šio teiginio prieštaravimų, tai tiesa, nes matematika iš esmės yra abstraktus mokslas ir savo pagrindiniu uždaviniu laiko poreikį plėsti galimybių ribas. Iš tiesų, labai sunku judėti aukštyn ir tobulėti pagal sklandžias, įsibėgėjusias teorijas, todėl neturėtumėte manyti, kad mūsų pateikti neapibrėžtų integralų sprendimo pavyzdžiai yra galimybių aukštumas. Bet grįžkime prie techninės dalykų pusės. Bent jau norėdami patikrinti skaičiavimus, galite pasinaudoti paslaugomis, kuriose viskas buvo parašyta prieš mus. Jei reikia automatinio sudėtingos išraiškos skaičiavimo, tada jų negalima atsisakyti, turėsite griebtis rimtesnės programinės įrangos. Visų pirma verta atkreipti dėmesį į MatLab aplinką.
Programa
Neapibrėžtų integralų sprendimas iš pirmo žvilgsnio atrodo visiškai neatitinkantis realybės, nes sunku įžvelgti akivaizdžias taikymo sritis. Tiesą sakant, jie negali būti naudojami tiesiogiai bet kur, tačiau jie laikomi būtinu tarpiniu elementu praktikoje naudojamų sprendimų išvedimo procese. Taigi integracija yra atvirkštinė diferenciacijai, todėl ji aktyviai dalyvauja lygčių sprendimo procese.
Sios savo ruožtu šios lygtys turi tiesioginės įtakos sprendžiant mechanines problemas, apskaičiuojant trajektorijas ir šilumos laidumą – trumpai tariant, viską, kas sudaro dabartį ir formuoja ateitį. Neapibrėžtas integralas, kurio pavyzdžius nagrinėjome aukščiau, yra trivialus tik iš pirmo žvilgsnio, nes jis yra pagrindas daryti vis daugiau naujų atradimų.
