Atstumo nuo taško iki plokštumos ir nuo taško iki linijos nustatymo formulės

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-02 17:51

Žinodami atstumą nuo taško iki plokštumos arba tiesės, galite apskaičiuoti erdvėje esančių figūrų tūrį ir paviršiaus plotą. Šis atstumas geometrijoje apskaičiuojamas naudojant atitinkamas nurodytų geometrinių objektų lygtis. Straipsnyje parodysime, kokias formules galima naudoti norint jį nustatyti.

Tiesių ir plokštumų lygtys

Prieš pateikdami formules, kaip nustatyti atstumą nuo taško iki plokštumos ir tiesės, parodykime, kokios lygtys apibūdina šiuos objektus.

Norint apibrėžti tašką, naudojamas koordinačių rinkinys nurodytoje koordinačių ašių sistemoje. Čia nagrinėsime tik Dekarto stačiakampę sistemą, kurioje ašys turi tuos pačius vienetų vektorius ir yra viena kitai statmenos. Plokštumoje savavališkas taškas apibūdinamas dviem koordinatėmis, erdvėje – trimis.

Tiesei apibrėžti naudojamos skirtingų tipų lygtys. Atsižvelgdami į straipsnio temą, pateikiametik du iš jų, kurie naudojami dvimatėje erdvėje linijoms apibrėžti.

Vektoriaus lygtis. Jame yra tokia žyma:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Pirmasis terminas čia reiškia žinomo taško, esančio tiesėje, koordinates. Antrasis terminas yra krypties vektoriaus koordinatės, padaugintos iš savavališko skaičiaus λ.

Bendroji lygtis. Jo žymėjimas yra toks:

Ax + By + C=0;

kur A, B, C yra kai kurie koeficientai.

Bendroji lygtis dažniau naudojama tiesėms plokštumoje nustatyti, tačiau norint rasti atstumą nuo taško iki tiesės plokštumoje, patogiau dirbti su vektorine išraiška.

Plokštuma trimatėje erdvėje taip pat gali būti užrašoma keliais matematiniais būdais. Nepaisant to, dažniausiai uždaviniuose yra bendroji lygtis, kuri parašyta taip:

Ax + By + Cz + D=0.

Šio žymėjimo pranašumas, palyginti su kitais, yra tas, kad jame yra aiškiai nurodytos plokštumai statmeno vektoriaus koordinatės. Šis vektorius vadinamas jo vadovu, jis sutampa su normalaus kryptimi, o jo koordinatės lygios (A; B; C).

Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau pateikta išraiška sutampa su bendrosios tiesės lygties rašymo forma dvimatėje erdvėje, todėl spręsdami uždavinius turėtumėte būti atsargūs, kad nesupainiotumėte šių geometrinių objektų.

Atstumas tarp taško ir linijos

Parodykime, kaip apskaičiuoti atstumą tarp tiesės irtaškas dvimatėje erdvėje.

Tebūna koks nors taškas Q(x₁; y_{1) ir eilutė, nurodyta:}

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Atstumas tarp tiesės ir taško suprantamas kaip atkarpos, statmenos šiai linijai, nuleistos į ją nuo taško Q, ilgis.

Prieš apskaičiuodami šį atstumą, į šią lygtį turėtumėte pakeisti Q koordinates. Jei jie jį tenkina, tai Q priklauso duotai eilutei, o atitinkamas atstumas lygus nuliui. Jei taško koordinatės nesukelia lygybės, tai atstumas tarp geometrinių objektų yra ne lygus nuliui. Jį galima apskaičiuoti naudojant formulę:

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.

Čia P yra savavališkas tiesės taškas, kuris yra vektoriaus PQ¯ pradžia. Vektorius u¯ yra kreipiamoji tiesės atkarpa, ty jo koordinatės yra (a; b).

Naudojant šią formulę reikia turėti galimybę skaitiklyje apskaičiuoti kryžminį sandaugą.

Problema su tašku ir linija

Tarkime, jums reikia rasti atstumą tarp Q(-3; 1) ir tiesės, kuri atitinka lygtį:

y=5x -2.

Pakeitę Q koordinates į išraišką, galime įsitikinti, kad Q nėra tiesėje. Galite taikyti d formulę, pateiktą aukščiau esančioje pastraipoje, jei šią lygtį pavaizduojate vektorine forma. Padarykime tai taip:

(x; y)=(x; 5x -2)=>

(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>

(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>

(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).

Dabar paimkime bet kurį šios linijos tašką, pavyzdžiui (0; -2), ir sukurkime vektorių, pradedant nuo jo ir baigiant Q:

(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).

Dabar taikykite formulę atstumui nustatyti, gausime:

d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.

Atstumas nuo taško iki plokštumos

Kaip ir tiesės atveju, atstumas tarp plokštumos ir erdvės taško suprantamas kaip atkarpos, kuri nuo nurodyto taško yra statmenai nuleista plokštumai ir ją kerta, ilgis.

Erdvėje taškas nurodomas trimis koordinatėmis. Jei jie lygūs (x₁; y₁; z_{1), tada atstumas tarp plokštuma ir tą tašką galima apskaičiuoti naudojant formulę:}

d=|Ax₁ + By₁ + Cz₁+ D|/√(A²+B²+C^2).

Atkreipkite dėmesį, kad naudojant formulę galite rasti tik atstumą nuo plokštumos iki linijos. Norint rasti taško, kuriame statmena atkarpa kerta plokštumą, koordinates, reikia parašyti tiesės, kuriai priklauso ši atkarpa, lygtį, o tada rasti bendrą šios tiesės ir duotosios plokštumos tašką.

Problema dėl plokštumos ir taško

Raskite atstumą nuo taško iki plokštumos, jei žinoma, kad taškas turi koordinates (3; -1; 2) ir plokštuma pateikiama taip:

-y + 3z=0.

Norėdami naudoti atitinkamą formulę, pirmiausia išrašome koeficientusduotas lėktuvas. Kadangi kintamojo x ir laisvojo termino nėra, koeficientai A ir D yra lygūs nuliui. Turime:

A=0; B=-1; C=3; D=0.

Lengva parodyti, kad ši plokštuma eina per pradžios tašką ir jai priklauso x ašis.

Pakeiskite taško koordinates ir plokštumos koeficientus į atstumo d formulę, gausime:

d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.

Atkreipkite dėmesį, kad jei pakeisite taško x koordinatę, atstumas d nepasikeis. Šis faktas reiškia, kad taškų aibė (x; -1; 2) sudaro tiesę, lygiagrečią duotai plokštumai.