Geometrija yra graži, nes, priešingai nei algebra, kur ne visada aišku, ką tu galvoji ir kodėl, ji suteikia objekto matomumą. Šis nuostabus įvairių kūnų pasaulis papuoštas įprastais daugiakampiais.
Bendra informacija apie įprastą daugiakampį
Daugelio nuomone, įprasti daugiakampiai arba, kaip jie dar vadinami platoniškais kietaisiais kūnais, turi unikalių savybių. Su šiais objektais siejamos kelios mokslinės hipotezės. Kai pradedi tyrinėti šiuos geometrinius kūnus, supranti, kad praktiškai nieko nežinai apie tokią sąvoką kaip taisyklingasis daugiakampis. Šių objektų pristatymas mokykloje ne visada įdomus, todėl daugelis net neprisimena, kaip jie vadinasi. Daugelis žmonių prisimena tik kubą. Nė vienas iš geometrijos kūnų nėra toks tobulas kaip įprastas daugiakampis. Visi šių geometrinių kūnų pavadinimai kilę iš senovės Graikijos. Jie reiškia veidų skaičių: tetraedras – keturkampis, šešiakampis – šešiakampis, oktaedras – oktaedras, dodekaedras – dvylikapusis, ikosaedras – dvidešimties. Visi šie geometriniai kūnaiPlatono visatos sampratoje užėmė svarbią vietą. Keturi iš jų suasmenino elementus ar esybes: tetraedras – ugnį, ikosaedras – vandenį, kubas – žemę, oktaedras – orą. Dodekaedras įkūnijo viską, kas egzistuoja. Jis buvo laikomas pagrindiniu, nes tai buvo visatos simbolis.
Daugiakampio sąvokos apibendrinimas
Daugiakampis yra baigtinio skaičiaus daugiakampių rinkinys, toks, kad:
- kiekviena bet kurio daugiakampio kraštinė tuo pačiu metu yra tik vieno kito daugiakampio toje pačioje pusėje kraštinė;
- iš kiekvieno daugiakampio galite patekti į kitus, pravažiuodami šalia jo esančius daugiakampius.
Daugiakampiai, sudarantys daugiakampį, yra jo paviršiai, o jų kraštinės yra briaunos. Daugiakampių viršūnės yra daugiakampių viršūnės. Jei daugiakampio sąvoka suprantama kaip plokščios uždaros trūkinės linijos, tada gaunamas vienas daugiakampio apibrėžimas. Tuo atveju, kai ši sąvoka reiškia plokštumos dalį, kurią riboja trūkinės linijos, tuomet reikia suprasti paviršių, susidedantį iš daugiakampių gabalų. Išgaubtas daugiakampis yra kūnas, esantis vienoje plokštumos, greta jo veido, pusėje.
Kitas daugiakampio ir jo elementų apibrėžimas
Daugiakampis yra paviršius, sudarytas iš daugiakampių, ribojančių geometrinį kūną. Jie yra:
- neišgaubta;
- išgaubta (teisinga ir neteisinga).
Taisyklingas daugiakampis yra išgaubtas daugiakampis su maksimalia simetrija. Įprasto daugiakampio elementai:
- tetraedras: 6 briaunos, 4 paviršiai, 5 viršūnės;
- šešiaedras (kubas): 12, 6, 8;
- dodekaedras: 30, 12, 20;
- oktaedras: 12, 8, 6;
- ikosaedras: 30, 20, 12.
Eulerio teorema
Jis nustato ryšį tarp kraštinių, viršūnių ir paviršių, kurie topologiškai yra lygiaverčiai sferai, skaičiaus. Sudėjus įvairių taisyklingųjų daugiakampių viršūnių ir veidų skaičių (B + D) ir palyginus juos su briaunų skaičiumi, galima nustatyti vieną modelį: veidų ir viršūnių skaičiaus suma lygi padidintų briaunų skaičiui (P). 2. Galite gauti paprastą formulę:
B + D=R + 2
Ši formulė tinka visiems išgaubtiems daugiakampiams.
Pagrindiniai apibrėžimai
Taisyklingojo daugiakampio sąvokos negalima apibūdinti vienu sakiniu. Jis yra prasmingesnis ir gausesnis. Kad kūnas būtų pripažintas tokiu, jis turi atitikti daugybę apibrėžimų. Taigi geometrinis kūnas bus taisyklingas daugiakampis, jei bus įvykdytos šios sąlygos:
- jis yra išgaubtas;
- tas pats briaunų skaičius susilieja kiekvienoje jos viršūnėje;
- visi jo paviršiai yra taisyklingi daugiakampiai, lygūs vienas kitam;
- visi jo dvikampiai kampai yra lygūs.
Įprasto daugiakampio savybės
Yra 5 skirtingų tipų įprastos daugiakampės:
- Kubas (šešiaedras) – jo viršuje yra plokščias 90° kampas. Jis turi 3 pusių kampą. Plokščių kampų suma viršuje yra 270°.
- Tetraedras – plokščias kampas viršuje – 60°. Jis turi 3 pusių kampą. Plokščių kampų suma viršuje yra 180°.
- Oktaedras – plokščios viršūnės kampas – 60°. Turi 4 pusių kampą. Plokščių kampų suma viršuje yra 240°.
- Dodekaedras – plokščias kampas viršūnėje 108°. Jis turi 3 pusių kampą. Plokščių kampų suma viršuje yra 324°.
- Ikozaedras – jo viršuje yra plokščias kampas – 60°. Jis turi 5 pusių kampą. Plokščių kampų suma viršuje yra 300°.
Įprasto daugiakampio plotas
Šių geometrinių kūnų paviršiaus plotas (S) apskaičiuojamas kaip taisyklingo daugiakampio plotas, padaugintas iš jo paviršių skaičiaus (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Įprasto daugiakampio tūris
Ši reikšmė apskaičiuojama taisyklingosios piramidės, kurios pagrinde yra taisyklingas daugiakampis, tūrį padauginus iš paviršių skaičiaus, o jos aukštis yra įbrėžto rutulio spindulys (r):
V=1: 3rS
Įprastų daugiakampių tūriai
Kaip ir bet kuris kitas geometrinis kūnas, įprastos daugiakampės turi skirtingą tūrį. Žemiau pateikiamos formulės, pagal kurias galite juos apskaičiuoti:
- tetraedras: α x 3√2: 12;
- oktaedras: α x 3√2: 3;
- ikosaedras; α x 3;
- šešiaedras (kubas): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaedras: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Įprasto daugiakampio elementai
Šešaedras ir oktaedras yra dvigubi geometriniai kūnai. Kitaip tariant, juos galima gauti vienas iš kito, jei vieno veido svorio centras yra laikomas kito viršūne, ir atvirkščiai. Ikozaedras ir dodekaedras taip pat yra dvigubi. Tik tetraedras yra dvejopas sau. Pagal Euklido metodą dodekaedrą galite gauti iš šešiaedro, pastatydami „stogus“ant kubo paviršių. Tetraedro viršūnės bus bet kurios 4 kubo viršūnės, kurios nėra gretimos poromis išilgai krašto. Iš šešiakampio (kubo) galite gauti kitų įprastų daugiakampių. Nepaisant to, kad yra begalė taisyklingų daugiakampių, yra tik 5 taisyklingi daugiakampiai.
Taisyklingų daugiakampių spindulys
Su kiekvienu iš šių geometrinių kūnų yra susietos 3 koncentrinės sferos:
- aprašyta, einanti per jo viršūnes;
- įrašyta, liečiant kiekvieną jos veidą centre;
- vidurinė, liečianti visus kraštus viduryje.
Apibūdintos sferos spindulys apskaičiuojamas pagal šią formulę:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Įbrėžto rutulio spindulys apskaičiuojamas pagal formulę:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
kur θ yra dvisienis kampas tarp gretimų paviršių.
Vidurinės sferos spindulį galima apskaičiuoti naudojant šią formulę:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
kur h reikšmė=4, 6, 6, 10 arba 10. Apribotų ir įrašytų spindulių santykis yra simetriškas p ir q atžvilgiu. Taiapskaičiuojama pagal formulę:
R/r=tg π/p x tg π/q
Daugiakampio simetrija
Taisyklingų daugiakampių simetrija kelia didžiausią susidomėjimą šiais geometriniais kūnais. Tai suprantama kaip toks kūno judėjimas erdvėje, kuris palieka tiek pat viršūnių, veidų ir briaunų. Kitaip tariant, veikiant simetrijos transformacijai, briauna, viršūnė, paviršius arba išlaiko savo pradinę padėtį, arba pasislenka į pradinę kitos briaunos, viršūnės ar paviršiaus padėtį.
Taisyklingų daugiakampių simetrijos elementai būdingi visiems tokių geometrinių kūnų tipams. Čia kalbame apie identišką transformaciją, kuri palieka bet kurį tašką pradinėje padėtyje. Taigi, kai pasukate daugiakampę prizmę, galite gauti keletą simetrijų. Bet kuris iš jų gali būti pavaizduotas kaip atspindžių produktas. Simetrija, kuri yra lyginio atspindžių skaičiaus sandauga, vadinama tiesia linija. Jei tai nelyginio atspindžių skaičiaus sandauga, tai vadinama atvirkštine. Taigi visi sukimai apie liniją yra tiesioginė simetrija. Bet koks daugiakampio atspindys yra atvirkštinė simetrija.
Norėdami geriau suprasti taisyklingo daugiakampio simetrijos elementus, galime paimti tetraedro pavyzdį. Bet kuri tiesi linija, kuri eis per vieną iš šios geometrinės figūros viršūnių ir centrą, taip pat eis per jai priešingo veido centrą. Kiekvienas iš 120° ir 240° posūkių aplink liniją yra daugiskaita.tetraedro simetrija. Kadangi jis turi 4 viršūnes ir 4 paviršius, yra tik aštuonios tiesioginės simetrijos. Bet kuri iš linijų, einančių per krašto vidurį ir šio kūno centrą, eina per priešingo krašto vidurį. Bet koks 180° pasukimas, vadinamas puse apsisukimo, aplink tiesią liniją yra simetrija. Kadangi tetraedras turi tris briaunų poras, yra dar trys tiesioginės simetrijos. Remdamiesi tuo, kas išdėstyta, galime daryti išvadą, kad bendras tiesioginių simetrijų skaičius, įskaitant identišką transformaciją, pasieks dvylika. Tetraedras neturi kitų tiesioginių simetrijų, tačiau turi 12 atvirkštinių simetrijų. Todėl tetraedrui iš viso būdingos 24 simetrijos. Aiškumo dėlei galite sukurti įprasto tetraedro modelį iš kartono ir įsitikinti, kad šis geometrinis kūnas turi tik 24 simetrijas.
Dodekaedras ir ikosaedras yra arčiausiai kūno sferos. Ikozaedras turi daugiausiai paviršių, didžiausią dvikampį ir gali būti tvirčiausiai prispaustas prie įrašytos sferos. Dodekaedras turi mažiausią kampinį defektą, didžiausią erdvės kampą viršūnėje. Jis gali maksimaliai užpildyti aprašytą sferą.
Daugiakampių šluotų
Įprasti nesuvynioti daugiakampiai, kuriuos visi klijavome vaikystėje, turi daug sąvokų. Jei yra daugiakampių rinkinys, kurių kiekviena kraštinė identifikuojama tik su viena daugiakampio kraštine, tada kraštinių identifikavimas turi atitikti dvi sąlygas:
- iš kiekvieno daugiakampio galite peržiūrėti daugiakampius, kurie turiidentifikuota pusė;
- identifikuotos pusės turi būti vienodo ilgio.
Šias sąlygas tenkinančių daugiakampių rinkinys vadinamas daugiakampio raida. Kiekvienas iš šių kūnų turi keletą jų. Taigi, pavyzdžiui, kube jų yra 11.
