Studentas pirmaisiais metais dažniausiai susiduria su 2 eilės paviršiais. Iš pradžių užduotys šia tema gali atrodyti paprastos, tačiau studijuojant aukštąją matematiką ir gilinantis į mokslinę pusę, pagaliau galima nustoti orientuotis tame, kas vyksta. Kad taip nenutiktų, reikia ne tik įsiminti, bet ir suprasti, kaip gaunamas tas ar kitas paviršius, kaip koeficientų keitimas veikia jį ir jo vietą pirminės koordinačių sistemos atžvilgiu bei kaip rasti naują sistemą. (toks, kurio centras sutampa su pradžios koordinatėmis, o simetrijos ašis lygiagreti vienai iš koordinačių ašių). Pradėkime nuo pradžių.
Apibrėžimas
GMT vadinamas antros eilės paviršiumi, kurio koordinatės atitinka bendrąją šios formos lygtį:
F(x, y, z)=0.
Aišku, kad kiekvienas paviršiui priklausantis taškas tam tikrame pagrinde turi turėti tris koordinates. Nors kai kuriais atvejais taškų lokusas gali išsigimti, pavyzdžiui, į plokštumą. Tai tik reiškia, kad viena iš koordinačių yra pastovi ir lygi nuliui visame priimtinų verčių diapazone.
Visa anksčiau paminėtos lygybės nutapyta forma atrodo taip:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – kai kurios konstantos, x, y, z – kintamieji, atitinkantys kokio nors taško afinines koordinates. Šiuo atveju bent vienas iš pastovių veiksnių neturi būti lygus nuliui, tai yra, joks taškas neatitiks lygties.
Didžiojoje daugumoje pavyzdžių daugelis skaitinių veiksnių vis dar yra identiški nuliui, o lygtis yra labai supaprastinta. Praktikoje nustatyti, ar taškas priklauso paviršiui, nėra sunku (pakanka pakeisti jo koordinates į lygtį ir patikrinti, ar laikomasi tapatybės). Esminis tokio darbo tikslas – pastarąjį paversti kanonine forma.
Aukščiau parašyta lygtis apibrėžia bet kokius (visus toliau išvardytus) antros eilės paviršius. Toliau nagrinėsime pavyzdžius.
Antrojo užsakymo paviršių tipai
Antros eilės paviršių lygtys skiriasi tik koeficientų reikšmėmis Anm. Apskritai, esant tam tikroms konstantų reikšmėms, galima gauti įvairius paviršius, klasifikuojamus taip:
- Cilindrai.
- Eliptinio tipo.
- Hiperbolinis tipas.
- Kūginis tipas.
- Parabolinis tipas.
- Lėktuvai.
Kiekvienas iš išvardytų tipų turi natūralią ir įsivaizduojamą formą: įsivaizduojamoje formoje realių taškų lokusas arba išsigimsta į paprastesnę figūrą, arba jo visai nėra.
Cilindrai
Tai paprasčiausias tipas, nes gana sudėtinga kreivė yra tik prie pagrindo ir veikia kaip orientyras. Generatoriai yra tiesios linijos, statmenos plokštumai, kurioje yra pagrindas.
Diagramoje pavaizduotas apskritas cilindras, ypatingas elipsinio cilindro atvejis. XY plokštumoje jos projekcija bus elipsė (mūsų atveju apskritimas) – kreiptuvas, o XZ – stačiakampis – kadangi generatoriai lygiagretūs Z ašiai. Norint gauti iš bendrosios lygties, reikia kad koeficientams būtų pateiktos šios reikšmės:
Vietoj įprastų simbolių x, y, z, x naudojami su serijos numeriu – nesvarbu.
Tiesą sakant, 1/a2ir kitos čia nurodytos konstantos yra tie patys koeficientai, nurodyti bendrojoje lygtyje, tačiau įprasta juos rašyti tokia forma - tai yra kanoninis vaizdavimas. Be to, bus naudojamas tik toks užrašas.
Štai kaip apibrėžiamas hiperbolinis cilindras. Schema ta pati – nuoroda bus hiperbolė.
y2=2px
Parabolinis cilindras apibrėžiamas kiek kitaip: jo kanoninėje formoje yra koeficientas p, vadinamas parametru. Tiesą sakant, koeficientas lygus q=2p, tačiau įprasta jį padalyti į du pateiktus veiksnius.
Yra ir kito tipo cilindrai: įsivaizduojami. Tokiam cilindrui nepriklauso joks tikras taškas. Jis apibūdinamas lygtimielipsės formos cilindras, bet vietoj vieneto yra -1.
Eliptinio tipo
Elipsoidas gali būti ištemptas išilgai vienos iš ašių (išilgai jos priklauso nuo aukščiau nurodytų konstantų a, b, c reikšmių; akivaizdu, kad didesnis koeficientas atitiks didesnę ašį).
Taip pat yra įsivaizduojamas elipsoidas – su sąlyga, kad koordinačių suma, padauginta iš koeficientų, yra -1:
Hiperboloidai
Kai vienoje iš konstantų atsiranda minusas, elipsoido lygtis virsta vieno lapo hiperboloido lygtimi. Reikia suprasti, kad šis minusas neturi būti prieš x3 koordinatę! Tai tik nustato, kuri iš ašių bus hiperboloido sukimosi ašis (arba lygiagreti jai, nes kai kvadrate atsiranda papildomų terminų (pvz., (x-2)2)) figūros centras pasislenka, todėl paviršius pasislenka lygiagrečiai koordinačių ašims). Tai taikoma visiems antros eilės paviršiams.
Be to, reikia suprasti, kad lygtys pateikiamos kanonine forma ir jas galima keisti keičiant konstantas (išsaugojus ženklą!); o jų forma (hiperboloidas, kūgis ir pan.) išliks ta pati.
Ši lygtis jau pateikta dviejų lapų hiperboloidu.
Kūginis paviršius
Kūgio lygtyje nėra vieneto – lygybė nuliui.
Kūgiu vadinamas tik ribotas kūgio formos paviršius. Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta, kad iš tikrųjų diagramoje bus du vadinamieji kūgiai.
Svarbi pastaba: visose nagrinėjamose kanoninėse lygtyse konstantos pagal numatytuosius nustatymus laikomos teigiamomis. Priešingu atveju ženklas gali paveikti galutinę diagramą.
Koordinačių plokštumos tampa kūgio simetrijos plokštumos, simetrijos centras yra pradžioje.
Įsivaizduojamoje kūgio lygtyje yra tik pliusai; jam priklauso vienas tikras taškas.
Paraboloidai
Antros eilės paviršiai erdvėje gali būti skirtingų formų net ir esant panašioms lygtims. Pavyzdžiui, yra dviejų tipų paraboloidai.
x2/a2+y2/b2=2z
Elipsinis paraboloidas, kai Z ašis yra statmena brėžiniui, bus suprojektuotas į elipsę.
x2/a2-y2/b2=2z
Hiperbolinis paraboloidas: atkarpos, kurių plokštumos lygiagrečios su ZY, sukurs paraboles, o atkarpos, kurių plokštumos lygiagrečios su XY – hiperboles.
Susikertančios plokštumos
Yra atvejų, kai 2-os eilės paviršiai išsigimsta į plokštumą. Šios plokštumos gali būti išdėstytos įvairiais būdais.
Pirmiausia apsvarstykite susikertančias plokštumas:
x2/a2-y2/b2=0
Šis kanoninės lygties modifikavimas lemia tik dvi susikertančias plokštumas (įsivaizduojama!); visi tikrieji taškai yra koordinatės ašyje, kurios trūksta lygtyje (kanoninėje – Z ašyje).
Lygiagrečios plokštumos
y2=a2
Kai yra tik viena koordinatė, 2-osios eilės paviršiai išsigimsta į lygiagrečių plokštumų porą. Atminkite, kad bet kuris kitas kintamasis gali užimti Y vietą; tada bus gautos plokštumos, lygiagrečios kitoms ašims.
y2=−a2
Šiuo atveju jie tampa įsivaizduojami.
Sutampa plokštumos
y2=0
Su tokia paprasta lygtimi plokštumų pora išsigimsta į vieną – jos sutampa.
Nepamirškite, kad trimačio pagrindo atveju aukščiau pateikta lygtis neapibrėžia tiesės y=0! Jame nėra kitų dviejų kintamųjų, bet tai tik reiškia, kad jų reikšmė yra pastovi ir lygi nuliui.
Pastatas
Viena sunkiausių užduočių studentui – 2 eilės paviršių konstravimas. Dar sunkiau pereiti iš vienos koordinačių sistemos į kitą, atsižvelgiant į kreivės kampus ašių atžvilgiu ir centro poslinkį. Pakartokime, kaip analitiniu būdu nuosekliai nustatyti būsimą piešinio vaizdąbūdas.
Norėdami pastatyti 2-os eilės paviršių, jums reikia:
- perkelkite lygtį į kanoninę formą;
- nustatykite tiriamo paviršiaus tipą;
- konstruoti remiantis koeficientų reikšmėmis.
Toliau pateikiami visi svarstomi tipai:
Norėdami konsoliduoti, išsamiai apibūdinkime vieną tokio tipo užduočių pavyzdį.
Pavyzdžiai
Tarkime, kad yra lygtis:
3(x2-2x+1)+6y2+2z2+ 60m+144=0
Perkelkime į kanoninę formą. Išskirkime pilnus kvadratus, tai yra, turimus terminus išdėstysime taip, kad jie būtų sumos arba skirtumo kvadrato išplėtimas. Pavyzdžiui: jei (a+1)2=a2+2a+1, tada a2+2a +1=(a+1)2. Atliksime antrąją operaciją. Šiuo atveju skliaustų atidaryti nebūtina, nes tai tik apsunkins skaičiavimus, tačiau būtina išimti bendrą koeficientą 6 (skliausteliuose su visu Y kvadratu):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
Kintamasis z šiuo atveju pasitaiko tik vieną kartą – kol kas galite jį palikti ramybėje.
Šiame etape analizuojame lygtį: prieš visus nežinomus yra pliuso ženklas; padalijus iš šešių, lieka vienas. Todėl turime lygtį, kuri apibrėžia elipsoidą.
Atkreipkite dėmesį, kad 144 buvo įtrauktas į 150-6, po to -6 buvo perkeltas į dešinę. Kodėl tai turėjo būti padaryta taip? Akivaizdu, kad didžiausias daliklis šiame pavyzdyje yra -6, todėl padalijus iš jovienas paliekamas dešinėje, reikia „atidėti“lygiai 6 nuo 144 (tai, kad reikia būti dešinėje, rodo laisvo termino buvimas - konstanta, nepadauginta iš nežinomo).
Padalinkite viską iš šešių ir gaukite kanoninę elipsoido lygtį:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
Anksčiau naudotoje 2-osios eilės paviršių klasifikacijoje laikomas ypatingas atvejis, kai figūros centras yra koordinačių pradžioje. Šiame pavyzdyje jis yra poslinkis.
Manome, kad kiekvienas skliaustelis su nežinomaisiais yra naujas kintamasis. Tai yra: a=x-1, b=y+5, c=z. Naujose koordinatėse elipsoido centras sutampa su tašku (0, 0, 0), todėl a=b=c=0, iš kur: x=1, y=-5, z=0. Pradinėse koordinatėse figūros centras yra taške (1, -5, 0).
Elipsoidas bus gaunamas iš dviejų elipsių: pirmosios XY plokštumoje ir antrosios XZ plokštumoje (arba YZ – nesvarbu). Koeficientai, pagal kuriuos skirstomi kintamieji, yra padalyti kvadratu kanoninėje lygtyje. Todėl aukščiau pateiktame pavyzdyje teisingiau būtų dalyti iš dviejų, vieno ir trijų šaknies.
Pirmosios elipsės mažoji ašis, lygiagreti Y ašiai, yra dvi. Pagrindinė ašis, lygiagreti x ašiai, yra dvi šaknys iš dviejų. Antrosios elipsės mažoji ašis, lygiagreti Y ašiai, išlieka ta pati – ji lygi dviem. Ir pagrindinė ašis, lygiagreti Z ašiai, yra lygi dviem šaknims iš trijų.
Naudodami duomenis, gautus iš pradinės lygties konvertuojant į kanoninę formą, galime nubrėžti elipsoidą.
Apibendrinant
Aprašyta šiame straipsnyjetema yra gana plati, bet iš tikrųjų, kaip dabar matote, nėra labai sudėtinga. Tiesą sakant, jo kūrimas baigiasi tuo metu, kai įsimenate paviršių pavadinimus ir lygtis (ir, žinoma, kaip jie atrodo). Aukščiau pateiktame pavyzdyje mes išsamiai aptarėme kiekvieną žingsnį, tačiau norint pasiekti lygtį į kanoninę formą, reikia minimalių aukštosios matematikos žinių ir mokiniui neturėtų kilti jokių sunkumų.
Būsimo tvarkaraščio dėl esamos lygybės analizė jau yra sunkesnė užduotis. Tačiau sėkmingam jo sprendimui pakanka suprasti, kaip sudaromos atitinkamos antros eilės kreivės – elipsės, parabolės ir kt.
Degeneracijos atvejai – dar paprastesnė skiltis. Dėl kai kurių kintamųjų nebuvimo supaprastinami ne tik skaičiavimai, kaip minėta anksčiau, bet ir pati konstrukcija.
Kai tik galėsite drąsiai įvardyti visų tipų paviršius, varijuoti konstantas, paverčiant grafiką viena ar kita forma - tema bus įvaldyta.
Sėkmės studijose!
