Visi mus supantys kūnai nuolat juda. Kūnų judėjimas erdvėje stebimas visuose mastelio lygiuose, pradedant elementariųjų dalelių judėjimu materijos atomuose ir baigiant pagreitėjusiu galaktikų judėjimu Visatoje. Bet kokiu atveju judėjimo procesas vyksta su pagreičiu. Šiame straipsnyje mes išsamiai išnagrinėsime tangentinio pagreičio sąvoką ir pateiksime formulę, pagal kurią jį galima apskaičiuoti.
Kinematiniai kiekiai
Prieš kalbėdami apie tangentinį pagreitį, pasvarstykime, kokiais dydžiais įprasta apibūdinti savavališką mechaninį kūnų judėjimą erdvėje.
Visų pirma, tai kelias L. Rodo atstumą metrais, centimetrais, kilometrais ir tt, kūnas nukeliavo tam tikrą laiką.
Antra svarbi kinematikos charakteristika yra kūno greitis. Skirtingai nuo kelio, jis yra vektorinis dydis ir nukreiptas išilgai trajektorijoskūno judesiai. Greitis nustato erdvinių koordinačių kitimo laike greitį. Jo apskaičiavimo formulė yra:
v¯=dL/dt
Greitis yra kelio laiko išvestinė vertė.
Pagaliau trečia svarbi kūnų judėjimo savybė – pagreitis. Pagal fizikos apibrėžimą pagreitis yra dydis, lemiantis greičio kitimą laikui bėgant. Jo formulę galima parašyti taip:
a¯=dv¯/dt
Pagreitis, kaip ir greitis, taip pat yra vektorinis dydis, tačiau skirtingai nei jis, jis nukreiptas greičio kitimo kryptimi. Pagreičio kryptis taip pat sutampa su atsirandančios jėgos, veikiančios kūną, vektoriumi.
Trajektorija ir pagreitis
Daugelis fizikos problemų nagrinėjamos tiesinio judėjimo rėmuose. Šiuo atveju, kaip taisyklė, jie nekalba apie tangentinį taško pagreitį, o dirba su tiesiniu pagreičiu. Tačiau jei kūno judėjimas nėra linijinis, tada visą jo pagreitį galima išskaidyti į du komponentus:
- liestinė;
- normalus.
Tiesinio judėjimo atveju normalus komponentas yra lygus nuliui, todėl nekalbame apie pagreičio vektorinį išplėtimą.
Taigi, judėjimo trajektorija daugiausia lemia visiško pagreičio pobūdį ir komponentus. Judėjimo trajektorija suprantama kaip įsivaizduojama erdvė erdvėje, kuria juda kūnas. Bet koksdėl kreivinės trajektorijos atsiranda pirmiau minėtų nulinių pagreičio komponentų.
Tangencinio pagreičio nustatymas
Tangencinis arba, kaip dar vadinamas, tangentinis pagreitis yra viso pagreičio komponentas, kuris liečiasi nukreiptas į judėjimo trajektoriją. Kadangi greitis taip pat nukreiptas išilgai trajektorijos, tangentinio pagreičio vektorius sutampa su greičio vektoriumi.
Pagreičio samprata kaip greičio pokyčio matas buvo pateikta aukščiau. Kadangi greitis yra vektorius, jį galima keisti moduliniu arba kryptiniu būdu. Tangentinis pagreitis lemia tik greičio modulio pokytį.
Atkreipkite dėmesį, kad tiesinio judėjimo atveju greičio vektorius nekeičia savo krypties, todėl pagal aukščiau pateiktą apibrėžimą tangentinis pagreitis ir tiesinis pagreitis yra ta pati reikšmė.
Tanginio pagreičio lygties gavimas
Tarkime, kad kūnas juda tam tikra lenkta trajektorija. Tada jo greitis v¯ pasirinktame taške gali būti pavaizduotas taip:
v¯=vut¯
Čia v yra vektoriaus v¯ modulis, ut¯ yra vienetinis greičio vektorius, nukreiptas tangentiškai į trajektoriją.
Naudodami matematinį pagreičio apibrėžimą, gauname:
a¯=dv¯/dt=d(vut¯)/dt=dv/dtut ¯ + vd(ut¯)/dt
Ieškant išvestinę, čia buvo panaudota dviejų funkcijų sandaugos savybė. Matome, kad bendras pagreitis a¯ nagrinėjamame taške atitinka dviejų narių sumą. Jie yra atitinkamai taško liestinė ir normalusis pagreitis.
Patarkime keletą žodžių apie įprastą pagreitį. Jis yra atsakingas už greičio vektoriaus keitimą, tai yra, už kūno judėjimo krypties keitimą išilgai kreivės. Jei aiškiai apskaičiuosime antrojo nario reikšmę, gausime normalaus pagreičio formulę:
a=vd(ut¯)/dt=v2/ r
Įprastas pagreitis nukreipiamas išilgai normalaus atkūrimo iki nurodyto kreivės taško. Sukamaisiais judesiais įprastas pagreitis yra įcentrinis.
Tanginio pagreičio lygtis at¯ yra:
at¯=dv/dtut¯
Ši išraiška sako, kad tangentinis pagreitis atitinka ne krypties pasikeitimą, o greičio modulio v¯ pokytį per tam tikrą laiko momentą. Kadangi tangentinis pagreitis nukreiptas tangentiškai į nagrinėjamą trajektorijos tašką, jis visada yra statmenas normaliajam komponentui.
Tanginis pagreitis ir bendras pagreičio modulis
Buvo pateikta visa aukščiau pateikta informacija, leidžianti apskaičiuoti bendrą pagreitį per liestinę ir normalųjį. Iš tiesų, kadangi abi sudedamosios dalys yra viena kitai statmenos, jų vektoriai sudaro stačiojo trikampio kojeles,kurio hipotenuzė yra suminis pagreičio vektorius. Šis faktas leidžia mums parašyti viso pagreičio modulio formulę tokia forma:
a=√(a2 + at2)
Kampą θ tarp visiško pagreičio ir tangentinio pagreičio galima apibrėžti taip:
θ=arccos(at/a)
Kuo didesnis tangentinis pagreitis, tuo artimesnės tangentinio ir viso pagreičio kryptys.
Ryšys tarp tangentinio ir kampinio pagreičio
Tipinė kreivinė trajektorija, kuria kūnai juda technologijos ir gamtos sąlygomis, yra apskritimas. Iš tiesų, krumpliaračių, ašmenų ir planetų judėjimas aplink savo ašį arba aplink šviestuvus vyksta tiksliai apskritime. Šią trajektoriją atitinkantis judėjimas vadinamas sukimu.
Sukimosi kinematikai būdingos tos pačios vertės kaip ir judėjimo tiesia linija kinematikai, tačiau jos turi kampinį pobūdį. Taigi sukimuisi apibūdinti naudojamas centrinis sukimosi kampas θ, kampinis greitis ω ir pagreitis α. Šiems kiekiams galioja šios formulės:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt
Tarkime, kad kūnas per laiką t padarė vieną apsisukimą aplink sukimosi ašį, tada kampiniam greičiui galime parašyti:
ω=2pi/t
Tiesinis greitis šiuo atveju bus lygus:
v=2pir/t
Kur r yra trajektorijos spindulys. Paskutinės dvi išraiškos leidžia mums rašytidviejų greičių sujungimo formulė:
v=ωr
Dabar apskaičiuojame kairės ir dešinės lygties pusių išvestinę iš laiko, gauname:
dv/dt=rdω/dt
Dešinioji lygybės pusė yra kampinio pagreičio ir apskritimo spindulio sandauga. Kairioji lygties pusė yra greičio modulio pokytis, tai yra tangentinis pagreitis.
Taigi tangentinis pagreitis ir panaši kampinė reikšmė yra susieti lygybe:
at=αr
Jei darysime prielaidą, kad diskas sukasi, tai taško tangentinis pagreitis esant pastoviai α vertei didės tiesiškai, didėjant atstumui nuo šio taško iki sukimosi ašies r.
Toliau, naudodami aukščiau pateiktas formules, išspręsime dvi problemas.
Tangeninio pagreičio nustatymas pagal žinomą greičio funkciją
Žinoma, kad kūno, judančio tam tikra lenkta trajektorija, greitis apibūdinamas tokia laiko funkcija:
v=2t2+ 3t + 5
Būtina nustatyti tangentinio pagreičio formulę ir rasti jo reikšmę momentu t=5 sekundės.
Pirmiausia parašykime tangentinio pagreičio modulio formulę:
at=dv/dt
Tai yra, norėdami apskaičiuoti funkciją at(t), turėtumėte nustatyti greičio išvestinę laiko atžvilgiu. Turime:
at=d(2t2+ 3t + 5)/dt=4t + 3
Pakeičiant laiką t=5 sekundės į gautą išraišką, gauname atsakymą: at=23 m/s2.
Atkreipkite dėmesį, kad šioje užduotyje greičio ir laiko grafikas yra parabolė, o tangentinio pagreičio grafikas yra tiesi.
Tanginio pagreičio užduotis
Žinoma, kad materialusis taškas pradėjo tolygiai pagreitinti sukimąsi nuo nulinio laiko momento. Praėjus 10 sekundžių nuo sukimosi pradžios, jo įcentrinis pagreitis tapo lygus 20 m/s2. Būtina nustatyti taško tangentinį pagreitį po 10 sekundžių, jei žinoma, kad sukimosi spindulys yra 1 metras.
Pirmiausia užsirašykite įcentrinio arba normalaus pagreičio formulę ac:
ac=v2/r
Naudodami tiesinio ir kampinio greičio ryšio formulę, gauname:
ac=ω2r
Tolygiai pagreitintame judėjime greitis ir kampinis pagreitis yra susieti pagal formulę:
ω=αt
Pakeitę ω į lygtį ac, gauname:
ac=α2t2r
Tiesinis pagreitis per tangentinį pagreitį išreiškiamas taip:
α=at/r
Pakeiskite paskutinę lygybę į priešpaskutinę, gausime:
ac=at2/r2 t2r=at2/rt2=>
at=√(acr)/t
Paskutinė formulė, atsižvelgiant į problemos sąlygos duomenis, veda prie atsakymo: at=0, 447m/s2.
