Furjė transformacija yra transformacija, lyginanti kai kurių realių kintamųjų funkcijas. Ši operacija atliekama kiekvieną kartą, kai suvokiame skirtingus garsus. Ausis atlieka automatinį „skaičiavimą“, kurį mūsų sąmonė sugeba atlikti tik išstudijavusi atitinkamą aukštosios matematikos skyrių. Žmogaus klausos organas sukuria transformaciją, dėl kurios garsas (sąlyginių dalelių svyruojantis judėjimas elastingoje terpėje, sklindantis bangos pavidalu kietoje, skystoje ar dujinėje terpėje) suteikiamas nuoseklių verčių spektro pavidalu. įvairaus aukščio tonų garsumo lygio. Po to smegenys šią informaciją paverčia visiems žinomu garsu.
Matematinė Furjė transformacija
Garso bangų ar kitų virpesių procesų (nuo šviesos spinduliuotės ir vandenyno potvynių iki žvaigždžių ar saulės aktyvumo ciklų) transformacija taip pat gali būti atliekama naudojant matematinius metodus. Taigi, naudojant šiuos metodus, galima išskaidyti funkcijas, vaizduojant svyravimo procesus kaip sinusinių komponentų rinkinį, ty banguotas kreives, kurioseiti iš žemo į aukštą, tada atgal į žemą, kaip jūros banga. Furjė transformacija – transformacija, kurios funkcija apibūdina kiekvienos sinusoidės fazę arba amplitudę, atitinkančią tam tikrą dažnį. Fazė yra kreivės pradžios taškas, o amplitudė yra jos aukštis.
Furjė transformacija (pavyzdžiai pateikti nuotraukoje) yra labai galingas įrankis, naudojamas įvairiose mokslo srityse. Kai kuriais atvejais jis naudojamas kaip gana sudėtingų lygčių, apibūdinančių dinaminius procesus, vykstančius šviesos, šiluminės ar elektros energijos įtakoje, sprendimo priemonė. Kitais atvejais tai leidžia nustatyti reguliarius sudėtingų virpesių signalų komponentus, kurių dėka galite teisingai interpretuoti įvairius eksperimentinius chemijos, medicinos ir astronomijos stebėjimus.
Istorijos fonas
Pirmasis asmuo, pritaikęs šį metodą, buvo prancūzų matematikas Jeanas Baptiste'as Furjė. Transformacija, vėliau pavadinta jo vardu, iš pradžių buvo naudojama šilumos laidumo mechanizmui apibūdinti. Fourier visą savo suaugusiojo gyvenimą tyrinėjo šilumos savybes. Jis įnešė didžiulį indėlį į matematinę algebrinių lygčių šaknų nustatymo teoriją. Fourier buvo Politechnikos mokyklos analizės profesorius, egiptologijos instituto sekretorius, tarnavo imperatoriškoje tarnyboje, kur pasižymėjo tiesiant kelią į Turiną (jo vadovaujama daugiau nei 80 tūkst. kvadratinių kilometrų nuo maliarijos).pelkės). Tačiau visa ši energinga veikla nesutrukdė mokslininkui atlikti matematinės analizės. 1802 m. jis išvedė lygtį, apibūdinančią šilumos sklidimą kietose medžiagose. 1807 m. mokslininkas atrado šios lygties sprendimo metodą, kuris buvo vadinamas „Furjė transformacija“.
Šilumos laidumo analizė
Mokslininkas taikė matematinį metodą šilumos laidumo mechanizmui apibūdinti. Patogus pavyzdys, kuriame nėra jokių skaičiavimo sunkumų, yra šiluminės energijos sklidimas per geležinį žiedą, panardintą į vieną dalį gaisro metu. Atlikdamas eksperimentus, Furjė dalį šio žiedo įkaitino iki raudonumo ir įkasė į smulkų smėlį. Po to jis matavo temperatūrą priešingoje jo pusėje. Iš pradžių šilumos pasiskirstymas būna netolygus: dalis žiedo š alta, kita – karšta, tarp šių zonų galima stebėti staigų temperatūros gradientą. Tačiau šilumos sklidimo per visą metalo paviršių procese jis tampa vienodesnis. Taigi, netrukus šis procesas įgauna sinusoidės formą. Iš pradžių grafikas sklandžiai didėja, o kartu ir mažėja, tiksliai pagal kosinuso arba sinuso funkcijos kitimo dėsnius. Banga palaipsniui susilygina ir dėl to temperatūra visame žiedo paviršiuje tampa vienoda.
Šio metodo autorius pasiūlė, kad pradinis netaisyklingas skirstinys gali būti išskaidytas į keletą elementariųjų sinusoidų. Kiekvienas iš jų turės savo fazę (pradinę padėtį) ir savo temperatūrąmaksimalus. Be to, kiekvienas toks komponentas keičiasi nuo minimumo iki maksimumo ir grįžta atgal visą žiedą sveikuoju skaičiumi. Komponentas su vienu periodu buvo vadinamas pagrindine harmonika, o reikšmė su dviem ar daugiau laikotarpių – antruoju ir pan. Taigi matematinė funkcija, apibūdinanti temperatūros maksimumą, fazę arba padėtį, vadinama pasiskirstymo funkcijos Furjė transformacija. Mokslininkas vieną komponentą, kurį sunku apibūdinti matematiškai, sumažino iki lengvai naudojamo įrankio – kosinuso ir sinuso eilučių, kurios susumavus suteikia pirminį skirstinį.
Analizės esmė
Šią analizę taikydamas šilumos sklidimo per kietą objektą, turintį žiedinę formą, transformacijai, matematikas samprotavo, kad padidinus sinusinio komponento periodus, jis greitai nyktų. Tai aiškiai matyti pagrindinėje ir antrojoje harmonikoje. Pastarojoje temperatūra maksimalią ir mažiausią reikšmes pasiekia du kartus per vieną praėjimą, o pirmajame - tik vieną kartą. Pasirodo, šilumos įveiktas atstumas antroje harmonikoje bus perpus mažesnis nei pagrindinėje harmonikoje. Be to, antrosios nuolydis taip pat bus dvigubai statesnis nei pirmojoje. Todėl, kadangi intensyvesnis šilumos srautas nukeliauja dvigubai trumpesnį atstumą, ši harmonika sunyks keturis kartus greičiau nei pagrindinė kaip laiko funkcija. Ateityje šis procesas bus dar greitesnis. Matematikas manė, kad šis metodas leidžia apskaičiuoti pradinės temperatūros pasiskirstymo laikui bėgant procesą.
Iššūkis amžininkams
Furjė transformacijos algoritmas metė iššūkį to meto matematikos teoriniams pagrindams. Devynioliktojo amžiaus pradžioje žymiausi mokslininkai, įskaitant Lagrange'ą, Laplasą, Puasoną, Legendrą ir Biotą, nepriėmė jo teiginio, kad pradinis temperatūros pasiskirstymas yra suskaidomas į komponentus pagrindinės harmonikos ir aukštesnių dažnių pavidalu. Tačiau Mokslų akademija negalėjo ignoruoti matematiko gautų rezultatų ir skyrė jam premiją už šilumos laidumo dėsnių teoriją, taip pat jos palyginimą su fizikiniais eksperimentais. Pagal Furjė metodą pagrindinis prieštaravimas buvo faktas, kad nepertraukiamoji funkcija yra vaizduojama kelių sinusoidinių funkcijų, kurios yra ištisinės, suma. Juk jose aprašomos suplyšusios tiesios ir lenktos linijos. Mokslininko amžininkai niekada nebuvo susidūrę su panašia situacija, kai nenutrūkstamosios funkcijos buvo apibūdinamos ištisinių, tokių kaip kvadratinė, tiesinė, sinusinė ar eksponentinė, deriniu. Tuo atveju, jei matematikas buvo teisus savo teiginiuose, tada begalinės trigonometrinės funkcijos serijos suma turėtų būti sumažinta iki tikslios laipsniškos. Tuo metu toks pareiškimas atrodė absurdiškas. Tačiau, nepaisant abejonių, kai kurie tyrėjai (pvz., Claude'as Navieras, Sophie Germain) išplėtė tyrimų sritį ir perėmė juos ne tik šiluminės energijos pasiskirstymo analizei. Tuo tarpu matematikai ir toliau kovojo su klausimu, ar kelių sinusoidinių funkcijų suma gali būti sumažinta iki tikslios nenuoseklios funkcijos.
200 metųistorija
Ši teorija vystėsi per du šimtmečius, šiandien ji pagaliau susiformavo. Jo pagalba erdvinės arba laiko funkcijos skirstomos į sinusoidinius komponentus, kurie turi savo dažnį, fazę ir amplitudę. Ši transformacija gaunama dviem skirtingais matematiniais metodais. Pirmasis iš jų naudojamas, kai pradinė funkcija yra ištisinė, o antroji - kai ją vaizduoja diskrečių individualių pakeitimų rinkinys. Jei išraiška gaunama iš reikšmių, kurios apibrėžiamos diskretiškais intervalais, tada ją galima suskirstyti į keletą sinusoidinių išraiškų su diskrečiu dažniu - nuo žemiausio, o paskui du, tris kartus ir tt aukštesnius už pagrindinį. Tokia suma vadinama Furjė eilute. Jei pradinei išraiškai suteikiama kiekvieno realaus skaičiaus reikšmė, tada ją galima išskaidyti į kelias visų galimų dažnių sinusoidines formas. Jis paprastai vadinamas Furjė integralu, o sprendimas reiškia integralines funkcijos transformacijas. Nepriklausomai nuo to, kaip gaunamas konvertavimas, kiekvienam dažniui turi būti nurodyti du skaičiai: amplitudė ir dažnis. Šios reikšmės išreiškiamos vienu kompleksiniu skaičiumi. Sudėtingų kintamųjų išraiškų teorija kartu su Furjė transformacija leido atlikti skaičiavimus projektuojant įvairias elektros grandines, analizuojant mechaninius virpesius, tiriant bangų sklidimo mechanizmą ir kt.
Furjė transformacija šiandien
Šiandien šio proceso tyrimas iš esmės apsiriboja veiksmingumuperėjimo metodai iš funkcijos į jos transformuotą formą ir atvirkščiai. Šis sprendimas vadinamas tiesiogine ir atvirkštine Furjė transformacija. Ką tai reiškia? Norint nustatyti integralą ir sukurti tiesioginę Furjė transformaciją, galima naudoti matematinius arba analitinius metodus. Nepaisant to, kad naudojant juos praktiškai kyla tam tikrų sunkumų, dauguma integralų jau buvo rasti ir įtraukti į matematinius žinynus. Skaitiniai metodai gali būti naudojami apskaičiuojant išraiškas, kurių forma pagrįsta eksperimentiniais duomenimis, arba funkcijoms, kurių integralai nėra lentelėse ir kuriuos sunku pateikti analitine forma.
Iki kompiuterių atsiradimo tokių transformacijų skaičiavimai buvo labai varginantys, jiems reikėjo rankiniu būdu atlikti daugybę aritmetinių operacijų, kurios priklausė nuo bangos funkciją apibūdinančių taškų skaičiaus. Kad būtų lengviau atlikti skaičiavimus, šiandien yra specialių programų, kurios leido įdiegti naujus analizės metodus. Taigi 1965 m. Jamesas Cooley ir Johnas Tukey sukūrė programinę įrangą, kuri tapo žinoma kaip „Greita Furjė transformacija“. Tai leidžia sutaupyti laiko skaičiavimams, sumažinant daugybos skaičių kreivės analizėje. Greitasis Furjė transformacijos metodas pagrįstas kreivės padalijimu į daugybę vienodų imties verčių. Atitinkamai, padauginimų skaičius sumažinamas per pusę, mažinant taškų skaičių.
Furjė transformacijos taikymas
Taiprocesas naudojamas įvairiose mokslo srityse: skaičių teorijoje, fizikoje, signalų apdorojime, kombinatorikoje, tikimybių teorijoje, kriptografijoje, statistikoje, okeanologijoje, optikoje, akustikoje, geometrijoje ir kt. Turtingos jo taikymo galimybės yra pagrįstos daugybe naudingų savybių, kurios vadinamos „Furjė transformacijos savybėmis“. Apsvarstykite juos.
1. Funkcijos transformacija yra tiesinis operatorius ir su atitinkamu normalizavimu yra vienetinis. Ši savybė žinoma kaip Parsevalio teorema arba apskritai Plancherelio teorema, arba Pontriagino dualizmas.
2. Transformacija yra grįžtama. Be to, atvirkštinio rezultato forma yra beveik tokia pati kaip ir tiesioginiame sprendime.
3. Sinusoidinės bazės išraiškos yra atskiros funkcijos. Tai reiškia, kad toks vaizdavimas tiesines lygtis su pastoviu koeficientu pakeičia į įprastas algebrines lygtis.
4. Remiantis „konvoliucijos“teorema, šis procesas sudėtingą operaciją paverčia elementariu daugyba.
5. Diskrečiąją Furjė transformaciją galima greitai apskaičiuoti kompiuteryje naudojant „greitąjį“metodą.
Furjė transformacijos atmainos
1. Dažniausiai šis terminas vartojamas apibūdinti nenutrūkstamą transformaciją, kuri suteikia bet kokią kvadratinę integruojamą išraišką kaip sudėtingų eksponentinių išraiškų su tam tikrais kampiniais dažniais ir amplitudėmis sumą. Ši rūšis turi keletą skirtingų formų, kurios galiskiriasi pastoviais koeficientais. Tęstinis metodas apima konvertavimo lentelę, kurią galima rasti matematiniuose žinynuose. Apibendrintas atvejis yra trupmeninė transformacija, kurios pagalba duotasis procesas gali būti padidintas iki reikiamos realiosios galios.
2. Nepertraukiamas režimas – tai ankstyvosios Furjė serijos technikos apibendrinimas, apibrėžtas įvairioms periodinėms funkcijoms arba išraiškoms, kurios egzistuoja ribotoje srityje ir pateikia jas kaip sinusoidų serijas.
3. Diskretinė Furjė transformacija. Šis metodas naudojamas kompiuterinėse technologijose moksliniams skaičiavimams ir skaitmeniniam signalų apdorojimui. Norint atlikti tokio tipo skaičiavimus, vietoj ištisinių Furjė integralų reikia turėti funkcijas, kurios apibrėžia atskirus taškus, periodines arba ribojamas sritis diskrečioje aibėje. Signalo transformacija šiuo atveju vaizduojama kaip sinusoidų suma. Tuo pačiu metu naudojant „greitąjį“metodą galima pritaikyti atskirus bet kokių praktinių problemų sprendimus.
4. Langinė Furjė transformacija yra apibendrinta klasikinio metodo forma. Skirtingai nuo standartinio sprendimo, kai naudojamas signalo spektras, kuris imamas visame tam tikro kintamojo egzistavimo diapazone, čia ypač domina tik vietinis dažnių pasiskirstymas, su sąlyga, kad išsaugomas pradinis kintamasis (laikas)..
5. Dvimatė Furjė transformacija. Šis metodas naudojamas dirbant su dvimačiais duomenų masyvais. Tokiu atveju pirmiausia transformacija atliekama viena kryptimi, o po to įkita.
Išvada
Šiandien Furjė metodas yra tvirtai įsitvirtinęs įvairiose mokslo srityse. Pavyzdžiui, 1962 m. DNR dvigubos spiralės forma buvo atrasta naudojant Furjė analizę kartu su rentgeno spindulių difrakcija. Pastarieji buvo sufokusuoti į DNR skaidulų kristalus, todėl vaizdas, gautas difrakcuojant spinduliuotę, buvo užfiksuotas juostoje. Šis paveikslėlis suteikė informacijos apie amplitudės reikšmę naudojant Furjė transformaciją į tam tikrą kristalų struktūrą. Fazės duomenys buvo gauti lyginant DNR difrakcijos žemėlapį su žemėlapiais, gautais analizuojant panašias chemines struktūras. Dėl to biologai atkūrė kristalų struktūrą – pradinę funkciją.
Furjė transformacijos atlieka didžiulį vaidmenį tiriant kosmosą, puslaidininkių ir plazmos fiziką, mikrobangų akustiką, okeanografiją, radarą, seismologiją ir medicininius tyrimus.
