Matematikos mokytojai supažindina savo mokinius su „kombinacinės problemos“sąvoka jau penktoje klasėje. Tai būtina, kad ateityje jie galėtų dirbti su sudėtingesnėmis užduotimis. Kombinatorinis problemos pobūdis gali būti suprantamas kaip galimybė ją išspręsti išvardijant baigtinės aibės elementus.
Pagrindinis šios eilės užduočių požymis yra jiems pateiktas klausimas, kuris skamba taip: „Kiek variantų? arba "Kiek būdų?" Kombinatorinių uždavinių sprendimas tiesiogiai priklauso nuo to, ar sprendėjas suprato prasmę, ar sugebėjo teisingai atvaizduoti veiksmą ar procesą, kuris buvo aprašytas užduotyje.
Kaip išspręsti kombinacinę problemą?
Svarbu teisingai nustatyti visų jungčių tipą nagrinėjamoje problemoje, tačiau būtina patikrinti, ar joje nėra elementų pasikartojimų, ar keičiasi patys elementai, ar jų tvarka vaidina didelį vaidmenį, taip pat kai kurių kitų atžvilgiuveiksniai.
Kombinatorinė problema gali turėti daug apribojimų, kurie gali būti taikomi ryšiams. Tokiu atveju turėsite visiškai apskaičiuoti jo sprendimą ir patikrinti, ar šie apribojimai turi įtakos visų elementų sujungimui. Jei įtaka tikrai yra, būtina patikrinti, kuri.
Nuo kur pradėti?
Pirmiausia reikia išmokti išspręsti paprasčiausias kombinacines problemas. Paprastos medžiagos įsisavinimas leis išmokti suprasti sudėtingesnes užduotis. Pirmiausia rekomenduojama pradėti spręsti problemas su apribojimais, į kuriuos neatsižvelgiama svarstant paprastesnį variantą.
Taip pat rekomenduojama pirmiausia pabandyti išspręsti tas problemas, kuriose reikia atsižvelgti į mažesnį bendrų elementų skaičių. Tokiu būdu galėsite perprasti pavyzdžių kūrimo principą ir ateityje išmokti juos kurti patys. Jei problema, kuriai reikia naudoti kombinatoriką, susideda iš kelių paprastesnių, rekomenduojama ją spręsti dalimis.
Kombinatorinių uždavinių sprendimas
Tokios problemos gali atrodyti nesunkiai išsprendžiamos, tačiau kombinatoriką gana sunku įvaldyti, kai kurios iš jų nebuvo išspręstos pastaruosius šimtus metų. Viena iš žinomiausių problemų yra nustatyti specialios eilės magiškų kvadratų skaičių, kai skaičius n yra didesnis nei 4.
Kombinatorinė problema yra glaudžiai susijusi su tikimybių teorija, kuri atsirado viduramžiais. Tikimybėįvykio kilmę galima apskaičiuoti tik naudojant kombinatoriką, tokiu atveju reikės kaitalioti visus veiksnius vietomis, kad būtų gautas optimalus sprendimas.
Problemos sprendimas
Kombinatorinės problemos su sprendimu yra naudojamos mokant mokinius ir studentus, kaip dirbti su šia medžiaga. Paprastai tariant, jie turėtų kelti žmoguje susidomėjimą ir norą rasti bendrą sprendimą. Be matematinių skaičiavimų, būtina taikyti psichinę įtampą ir spėlioti.
Spręsdamas iškeltas užduotis vaikas galės lavinti savo matematinę vaizduotę ir kombinacinius gebėjimus, tai jam gali labai praversti ateityje. Palaipsniui reikia didinti sprendžiamų užduočių sudėtingumo lygį, kad nepamirštume turimų žinių ir papildytume jas naujomis.
1 metodas. Krūtinė
Kombinatorinių uždavinių sprendimo metodai labai skiriasi vienas nuo kito, tačiau visus juos mokinys gali panaudoti atsakymui gauti. Vienas iš paprasčiausių, bet kartu ir ilgiausių būdų yra brutali jėga. Su juo tereikia peržiūrėti visus galimus sprendimus, nesudarant jokių schemų ir lentelių.
Paprastai tokios problemos klausimas yra susijęs su galimais įvykio kilmės variantais, pavyzdžiui: kokius skaičius galima padaryti naudojant skaičius 2, 4, 8, 9? Išnagrinėjus visas parinktis, surenkamas atsakymas, susidedantis iš galimų derinių. Šis metodas yra puikus, jei yra daug galimų variantųpalyginti mažas.
2 metodas. Parinkčių medis
Kai kurias kombinacines problemas galima išspręsti tik sudarant diagramas, kuriose pateikiama išsami informacija apie kiekvieną elementą. Dar vienas būdas rasti atsakymą yra sudaryti galimų variantų medį. Jis tinka sprendžiant nesunkias problemas, kuriose yra papildoma sąlyga.
Tokios užduoties pavyzdys:
Kokius penkių skaitmenų skaičius galima sudaryti iš skaičių 0, 1, 7, 8? Norint ją išspręsti, reikia pastatyti medį iš visų įmanomų kombinacijų ir yra papildoma sąlyga – skaičius negali prasidėti nuo nulio. Taigi atsakymą sudarys visi skaičiai, kurie prasidės 1, 7 arba 8
3 metodas. Lentelių formavimas
Kombinatorinės problemos taip pat gali būti sprendžiamos naudojant lenteles. Jie panašūs į galimų variantų medį, nes siūlo vizualinį situacijos sprendimą. Norint rasti teisingą atsakymą, reikia sudaryti lentelę, kuri bus atspindėta: horizontalios ir vertikalios sąlygos bus vienodos.
Galimi atsakymai bus gauti stulpelių ir eilučių sankirtoje. Tokiu atveju atsakymai stulpelio ir eilutės sankirtoje su tais pačiais duomenimis nebus gauti, šios sankryžos turi būti specialiai pažymėtos, kad nesusipainiotumėte sudarant galutinį atsakymą. Šį metodą studentai nesirenka dažnai, daugelis renkasi medį su pasirinkimais.
4 metodas. Daugyba
Yra ir kitas kombinatorinių uždavinių sprendimo būdas – daugybos taisyklė. Jam viskas geraitinka tuo atveju, kai pagal sąlygą nebūtina išvardinti visų galimų sprendimų, tereikia rasti maksimalų jų skaičių. Šis metodas yra unikalus, jis naudojamas labai dažnai, kai tik pradedama spręsti kombinacines problemas.
Tokios užduoties pavyzdys gali atrodyti taip:
6 žmonės laukia egzamino koridoriuje. Kiek būdų galite juos išdėstyti bendrame sąraše? Norėdami gauti atsakymą, turite išsiaiškinti, kiek jų gali būti pirmoje vietoje, kiek antroje, trečioje ir tt Atsakymas bus skaičius 720
Kombinatorika ir jos rūšys
Kombinatorinė užduotis yra ne tik mokyklinė medžiaga, ją studijuoja ir universiteto studentai. Moksle yra keletas kombinatorikos tipų ir kiekvienas iš jų turi savo misiją. Sąrašinė kombinatorika turėtų apsvarstyti galimų konfigūracijų su papildomomis sąlygomis išvardijimą ir išvardinimą.
Struktūrinė kombinatorika yra universiteto programos dalis, joje studijuojama matroidų ir grafų teorija. Ekstremali kombinatorika taip pat susijusi su universiteto medžiaga, ir čia yra individualių apribojimų. Kitas skyrius yra Ramsey teorija, nagrinėjanti atsitiktinių elementų variacijų struktūrų tyrimus. Taip pat yra kalbinė kombinatorika, nagrinėjanti tam tikrų elementų suderinamumo tarpusavyje klausimą.
Kombinatorinių uždavinių mokymo metodas
Pagal mokymo programąplanai, mokinių amžius, skirtas pirminiam susipažinimui su šia medžiaga ir kombinatorinių uždavinių sprendimui, yra 5 klasė. Būtent ten pirmą kartą ši tema siūloma svarstyti studentams, jie susipažįsta su kombinatoriškumo reiškiniu ir bando spręsti jiems skirtas užduotis. Kartu labai svarbu, kad nustatant kombinatorinę problemą būtų naudojamas metodas, kai vaikai patys ieško atsakymų į klausimus.
Be kita ko, išstudijavus šią temą, bus daug lengviau įvesti faktorialo sąvoką ir ją panaudoti sprendžiant lygtis, uždavinius ir pan. Taigi kombinatoriškumas vaidina svarbų vaidmenį tolesniame mokyme.
Kombinatorinės problemos: kam jos reikalingos?
Jei žinote, kas yra kombinatorinės problemos, tuomet nepatirsite jokių sunkumų sprendžiant jas. Jų sprendimo technika gali būti naudinga, kai reikia sudaryti grafikus, darbo grafikus, taip pat sudėtingus matematinius skaičiavimus, kurie netinka elektroniniams įrenginiams.
Mokyklose, kuriose nuodugniai mokomasi matematikos ir informatikos, kombinatorinės problemos nagrinėjamos papildomai, tam sudaromi specialūs kursai, mokymo priemonės, užduotys. Paprastai į vieningą valstybinį matematikos egzaminą galima įtraukti keletą tokio tipo uždavinių, dažniausiai jie yra „paslėpti“C dalyje.
Kaip greitai išspręsti kombinacinę problemą?
Labai svarbu mokėti įžvelgti kombinacinę problemągreitai, nes jis gali turėti paslėptą formuluotę, tai ypač svarbu išlaikant egzaminą, kai svarbi kiekviena minutė. Atskirai užrašykite informaciją, kurią matote problemos tekste, ant popieriaus lapo ir pabandykite ją išanalizuoti keturiais žinomais būdais.
Jei galite įdėti informaciją į lentelę ar kitą darinį, pabandykite ją išspręsti. Jei negalite jo klasifikuoti, tokiu atveju geriau kurį laiką palikti ir pereiti prie kitos užduoties, kad nebūtų gaištas brangus laikas. Šios situacijos galima išvengti iš anksto išsprendus tam tikrą skaičių tokio tipo užduočių.
Kur galiu rasti pavyzdžių?
Vienintelis dalykas, kuris padės išmokti spręsti kombinacines problemas, yra pavyzdžiai. Jų galite rasti specialiose matematinėse kolekcijose, kurios parduodamos mokomosios literatūros parduotuvėse. Tačiau ten galite rasti informacijos tik universiteto studentams, moksleiviai turės papildomai ieškoti užduočių, paprastai užduotis jiems sugalvoja kiti dėstytojai.
Aukštųjų mokyklų mokytojai mano, kad studentai turi treniruotis ir nuolat siūlyti jiems papildomos mokomosios literatūros. Vienas geriausių rinkinių yra „Diskrečios analizės metodai sprendžiant kombinacines problemas“, parašytas 1977 m. ir ne kartą išleistas pirmaujančių šalies leidyklų. Čia galite rasti užduočių, kurios buvo aktualios tuo metu ir išlieka aktualios šiandien.
Ką daryti, jei reikia sudaryti kombinatorinę problemą?
Dažniausiai kombinatorines problemas reikia komponuotimokytojai, kurie privalo mokyti mokinius mąstyti už langelio ribų. Čia viskas priklausys nuo kūrėjo kūrybinio potencialo. Rekomenduojama atkreipti dėmesį į esamas kolekcijas ir pabandyti sudaryti problemą taip, kad ji apjungtų kelis jos sprendimo būdus vienu metu ir turėtų skirtingus duomenis iš knygos.
Universitetų dėstytojai šiuo atžvilgiu yra daug laisvesni nei mokyklų mokytojai, dažnai savo mokiniams suteikia užduotį patiems sugalvoti kombinacines problemas su išsamiais sprendimo būdais ir paaiškinimais. Jei nesate nei vienas, nei kitas, galite paprašyti pagalbos tų, kurie tikrai supranta problemą, taip pat pasisamdyti korepetitorių. Pakanka vienos akademinės valandos kelioms panašioms problemoms išspręsti.
Kombinatorika – ateities mokslas?
Daugelis matematikos ir fizikos sričių specialistų mano, kad būtent kombinatorinė problema gali tapti postūmiu plėtojant visus technikos mokslus. Pakanka nestandartinio požiūrio sprendžiant tam tikras problemas, tada bus galima atsakyti į klausimus, kurie mokslininkus kamuoja kelis šimtmečius. Kai kurie iš jų rimtai įrodinėja, kad kombinatorika yra pagalba visiems šiuolaikiniams mokslams, ypač astronautikai. Naudojant kombinatorinius uždavinius bus daug lengviau apskaičiuoti laivų skrydžio trajektorijas, be to, jie leis nustatyti tikslią tam tikrų dangaus kūnų vietą.
Nestandartinis požiūris jau seniai pradėtas diegti Azijos šalyse, kur studentai netgidaugybos, atimties, sudėties ir dalybos sprendžiami kombinatoriniais metodais. Daugelio Europos mokslininkų nuostabai, ši technika tikrai veikia. Europos mokyklos kol kas tik pradėjo mokytis iš savo kolegų patirties. Kada tiksliai kombinatorika taps viena pagrindinių matematikos šakų, atspėti sunku. Dabar mokslą tiria pirmaujantys pasaulio mokslininkai, kurie siekia jį populiarinti.
