Leonhardas Euleris (1707-1783) – garsus šveicarų ir rusų matematikas, Sankt Peterburgo mokslų akademijos narys, didžiąją gyvenimo dalį gyveno Rusijoje. Matematinės analizės, statistikos, informatikos ir logikos žinomiausias yra Eilerio apskritimas (Eulerio-Veno diagrama), naudojamas sąvokų ir elementų rinkinių apimčiai žymėti.
John Venn (1834–1923) – anglų filosofas ir logikas, Eulerio-Venno diagramos bendraautoris.
Suderinamos ir nesuderinamos sąvokos
Pagal sąvoką logika reiškia mąstymo formą, atspindinčią esmines vienarūšių objektų klasės ypatybes. Jie žymimi vienu ar žodžių grupe: „pasaulio žemėlapis“, „dominuojantis kvint-septintas akordas“, „pirmadienis“ir kt.
Tuo atveju, kai vienos sąvokos apimties elementai visiškai ar iš dalies priklauso kitos sąvokos apimčiai, kalbama apie suderinamas sąvokas. Tačiau jei nė vienas tam tikros sąvokos apimties elementas nepriklauso kitos sąvokos apimčiai, turime nesuderinamų sąvokų.
Savo ruožtu kiekvienas sąvokos tipas turi savo galimų santykių rinkinį. Suderinamos sąvokos yra šios:
- tūrių tapatumas (lygiavertiškumas);
- kirtimas (dalinė rungtynės)tomai;
- pavaldumas (pavaldumas).
Nesuderinamiems:
- pavaldumas (koordinavimas);
- priešingai (priešingai);
- prieštaravimas (prieštaravimas).
Schemiškai ryšiai tarp sąvokų logikoje paprastai žymimi Eulerio-Veno apskritimais.
Lygiaverčiai santykiai
Šiuo atveju sąvokos reiškia tą patį dalyką. Atitinkamai, šių sąvokų apimtys yra visiškai vienodos. Pavyzdžiui:
A – Sigmundas Freudas;
B yra psichoanalizės įkūrėjas.
Arba:
A yra kvadratas;
B yra lygiakraštis stačiakampis;
C yra lygiakampis rombas.
Pažymėjimui naudojami visiškai sutampantys Eulerio apskritimai.
Sankryža (dalinė atitiktis)
Ši kategorija apima sąvokas, kurios turi bendrų elementų, susijusių su kirtimu. Tai reiškia, kad vienos iš sąvokų apimtis iš dalies įtraukta į kitos sąvokos apimtį:
A - mokytojas;
B yra muzikos mylėtojas.
Kaip matyti iš šio pavyzdžio, sąvokų apimtys iš dalies sutampa: tam tikra grupė mokytojų gali pasirodyti melomanai, ir atvirkščiai – tarp melomanų gali būti mokytojo profesijos atstovų. Panašus požiūris bus ir tuo atveju, kai sąvoka A yra, pavyzdžiui, „pilietis“, o B yra „vairuotojas“.
Pavaldumas (pavaldumas)
Schemiškai žymimas kaip skirtingos skalės Eulerio apskritimai. Santykiaitarp sąvokų šiuo atveju būdinga tai, kad šalutinė sąvoka (mažesnės apimties) yra visiškai įtraukta į pavaldinę (didesnės apimties). Tuo pačiu metu pavaldžios sąvokos visiškai neišsemia pavaldžios.
Pavyzdžiui:
A – medis;
B – pušis.
Sąvoka B bus pavaldus A sąvokai. Kadangi pušis priklauso medžiams, sąvoka A šiame pavyzdyje tampa antraeilė, „sugerianti“sąvokos B apimtį.
Koordinavimas (koordinavimas)
Ryšys apibūdina dvi ar daugiau sąvokų, kurios neįtraukia viena kitą, bet priklauso tam tikram bendriniam ratui. Pavyzdžiui:
A – klarnetas;
B – gitara;
C – smuikas;
D yra muzikos instrumentas.
Sąvokos A, B, C nesikerta viena kitos atžvilgiu, tačiau visos jos priklauso muzikos instrumentų kategorijai (sąvoka D).
Priešingai (priešingai)
Priešingi sąvokų santykiai reiškia, kad šios sąvokos priklauso tai pačiai genčiai. Tuo pačiu metu viena iš sąvokų turi tam tikrų savybių (požymių), o kita jas neigia, pakeisdama jas priešingomis gamtoje. Taigi, mes susiduriame su antonimais. Pavyzdžiui:
A yra nykštukas;
B yra milžinas.
Eulerio ratas su priešingais sąvokų santykiaisyra padalintas į tris segmentus, iš kurių pirmasis atitinka sąvoką A, antrasis – B, o trečiasis – visas kitas galimas sąvokas.
Prieštaravimas (prieštaravimas)
Šiuo atveju abi sąvokos yra tos pačios genties rūšys. Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, viena iš sąvokų nurodo tam tikras savybes (ypatybes), o kita jas paneigia. Tačiau, priešingai nei priešybių santykis, antroji, priešinga sąvoka nepakeičia paneigtų savybių kitomis, alternatyviomis. Pavyzdžiui:
A yra sudėtinga užduotis;
B yra lengva užduotis (ne-A).
Išreiškiant tokio pobūdžio sąvokų apimtį, Eilerio ratas yra padalintas į dvi dalis – trečioji, tarpinė grandis šiuo atveju neegzistuoja. Taigi sąvokos taip pat yra antonimai. Tuo pačiu metu vienas iš jų (A) tampa teigiamas (patvirtinantis tam tikrą požymį), o antrasis (B arba ne A) tampa neigiamas (paneigiantis atitinkamą požymį): „b altas popierius“- „ne b altas popierius“, „ nacionalinė istorija“– „užsienio istorija“ir kt.
Taigi, sąvokų tūrių santykis vienas kito atžvilgiu yra pagrindinė charakteristika, apibrėžianti Eulerio apskritimus.
Ryšiai tarp rinkinių
Taip pat būtina atskirti elementų ir aibių sąvokas, kurių tūrį rodo Eilerio apskritimai. Aibės sąvoka yra pasiskolinta iš matematikos mokslo ir turi gana plačią reikšmę. Logikos ir matematikos pavyzdžiai parodo jį kaip tam tikrą objektų rinkinį. Patys objektai yrašio rinkinio elementai. „Daugelis yra mąstomi kaip vienas“(Georgas Kantoras, aibių teorijos įkūrėjas).
Rinkiniai žymimi didžiosiomis raidėmis: A, B, C, D… ir tt, rinkinių elementai žymimi mažosiomis raidėmis: a, b, c, d… ir tt Rinkinio pavyzdžiais gali būti studentai, kurie yra vienoje klasėje, knygos tam tikroje lentynoje (arba, pavyzdžiui, visos knygos tam tikroje bibliotekoje), puslapiai dienoraštyje, uogos miško proskynoje ir pan.
Savo ruožtu, jei tam tikroje aibėje nėra nė vieno elemento, tada ji vadinama tuščia ir žymima ženklu Ø. Pavyzdžiui, lygiagrečių tiesių susikirtimo taškų rinkinys, lygties sprendinių rinkinys x2=-5.
Problemos sprendimas
Eulerio apskritimai aktyviai naudojami sprendžiant daugybę problemų. Logikos pavyzdžiai aiškiai parodo ryšį tarp loginių operacijų ir aibių teorijos. Šiuo atveju naudojamos sąvokų tiesos lentelės. Pavyzdžiui, apskritimas, pažymėtas A, reiškia tiesos sritį. Taigi sritis už apskritimo bus klaidinga. Norėdami nustatyti loginės operacijos diagramos plotą, turėtumėte nuspalvinti sritis, apibrėžiančias Eulerio apskritimą, kurioje jo elementų A ir B reikšmės bus teisingos.
Eulerio apskritimų naudojimas buvo plačiai pritaikytas įvairiose pramonės šakose. Pavyzdžiui, situacijoje, kai pasirenkamas profesionalas. Jei tiriamajam rūpi būsimos profesijos pasirinkimas, jis gali vadovautis šiais kriterijais:
W – ką aš mėgstu veikti?
D – ką aš darau?
P– kaip galiu uždirbti gerų pinigų?
Nubraižykime tai kaip diagramą: Eulerio apskritimai (logikos pavyzdžiai – sankirtos santykis):
Rezultatas bus tos profesijos, kurios bus visų trijų apskritimų sankirtoje.
Eulerio-Veno apskritimai matematikoje (aibių teorijoje) užima atskirą vietą skaičiuojant derinius ir savybes. Elementų aibės Eulerio apskritimai yra įterpti į stačiakampį, žymintį universaliąją aibę (U). Vietoj apskritimų galima naudoti ir kitas uždaras figūras, tačiau to esmė nesikeičia. Figūros susikerta viena su kita, pagal uždavinio sąlygas (bendriausiu atveju). Be to, šie skaičiai turėtų būti atitinkamai pažymėti. Nagrinėjamų rinkinių elementai gali būti taškai, esantys skirtinguose diagramos segmentuose. Remdamiesi juo, galite nuspalvinti konkrečias sritis ir taip priskirti naujai suformuotus rinkinius.
Su šiais aibėmis galima atlikti pagrindines matematines operacijas: sudėtį (elementų aibių sumą), atimtį (skirtumą), daugybą (sandarą). Be to, dėl Eulerio-Venno diagramų galima palyginti aibes pagal juose esančių elementų skaičių, jų neskaičiuojant.
