Kad skaitytojas galėtų lengviau įsivaizduoti, kas yra hiperboloidas – trimatis objektas, pirmiausia reikia atsižvelgti į lenktą to paties pavadinimo hiperbolę, kuri telpa į dvimatę erdvę.
Hiperbolė turi dvi ašis: tikrąją, kuri šiame paveiksle sutampa su abscisių ašimi, ir įsivaizduojamą, su y ašimi. Jei mintyse pradėsite sukti hiperbolės lygtį aplink jos įsivaizduojamą ašį, tada kreivės „matomas“paviršius bus vieno lapo hiperboloidas.
Jei mes taip pradėsime sukti hiperbolę aplink jos tikrąją ašį, tada kiekviena iš dviejų kreivės „pusių“sudarys savo atskirą paviršių ir kartu ji bus vadinama dviem. lakštinis hiperboloidas.
Gami sukant atitinkamą plokštumos kreivę, jie atitinkamai vadinami sukimosi hiperboloidais. Jie turi parametrus visomis kryptimis, statmenomis sukimosi ašiai,priklausantys pasuktai kreivei. Apskritai taip nėra.
Hiperboloidinė lygtis
Apskritai paviršius gali būti apibrėžtas šiomis lygtimis Dekarto koordinatėmis (x, y, z):
Apsukimo hiperboloido atveju jo simetrija ašies, aplink kurią jis sukasi, išreiškiama koeficientų lygybe a=b.
Hiperboloidinės charakteristikos
Jis turi gudrybę. Žinome, kad kreivės plokštumoje turi židinius – pavyzdžiui, hiperbolės atveju atstumų nuo savavališko hiperbolės taško iki vieno židinio ir antrojo taško skirtumo modulis yra pastovus pagal apibrėžimą, tiesą sakant, fokusavimas. taškų.
Perėjus į trimatę erdvę, apibrėžimas praktiškai nesikeičia: židiniai vėlgi yra du taškai, o atstumų nuo jų skirtumas iki savavališko taško, priklausančio hiperboloidiniam paviršiui, yra pastovus. Kaip matote, iš visų galimų taškų pakeitimų atsirado tik trečioji koordinatė, nes dabar jie nustatyti erdvėje. Paprastai tariant, židinio apibrėžimas prilygsta kreivės ar paviršiaus tipo nustatymui: kalbėdami apie tai, kaip paviršiaus taškai yra židinio atžvilgiu, iš tikrųjų atsakome į klausimą, kas yra hiperboloidas ir kaip jis atrodo.
Verta atsiminti, kad hiperbolė turi asimptotes – tiesias linijas, į kurias jos šakos linkusios į begalybę. Jei, konstruojant revoliucijos hiperboloidą, asimptotus mintyse sukasi kartu su hiperbole, tai be hiperboloido dar gausis kūgis, vadinamas asimptotiniu. Asimptotinis kūgis yravieno lapo ir dviejų lapų hiperboloidams.
Kita svarbi savybė, kurią turi tik vieno lapo hiperboloidas, yra tiesūs generatoriai. Kaip rodo pavadinimas, tai yra linijos ir jos visiškai guli ant tam tikro paviršiaus. Du tiesūs generatoriai praeina per kiekvieną vieno lapo hiperboloido tašką. Jie atitinkamai priklauso dviem eilučių šeimoms, kurios apibūdinamos tokiomis lygčių sistemomis:
Taigi, vieno lapo hiperboloidas gali būti visiškai sudarytas iš begalinio skaičiaus dviejų šeimų tiesių, ir kiekviena vienos iš jų eilutė susikirs su visomis kitos linijos linijomis. Tokias savybes atitinkantys paviršiai vadinami linijiniais; jie gali būti sukonstruoti naudojant vienos tiesios linijos sukimąsi. Apibrėžimas per abipusį linijų (tiesių generatorių) išdėstymą erdvėje taip pat gali būti nedviprasmiškas hiperboloido nurodymas.
Įdomios hiperboloido savybės
Antros eilės kreivės ir jas atitinkantys sukimosi paviršiai turi įdomių optinių savybių, susijusių su židiniais. Hiperboloido atveju tai suformuluojama taip: jei spindulys iššaunamas iš vieno židinio, tai atsispindėjęs nuo artimiausios „sienos“jis ims tokia kryptimi, lyg būtų iš antrojo židinio.
Hiperboloidai gyvenime
Greičiausiai dauguma skaitytojų pažintį su analitine geometrija ir antros eilės paviršiais pradėjo iš Aleksejaus Tolstojaus mokslinės fantastikos romano.„Hiperboloidų inžinierius Garinas“. Tačiau pats rašytojas arba nelabai žinojo, kas yra hiperboloidas, arba paaukojo tikslumą vardan meniškumo: aprašytas išradimas pagal fizines savybes veikiau yra paraboloidas, surenkantis visus spindulius į vieną židinį (tuo tarpu optinės hiperboloido savybės yra susijusios su spindulių sklaida).
Vadinamosios hiperboloidinės struktūros yra labai populiarios architektūroje: tai struktūros, kurios yra vieno lapo hiperboloido arba hiperbolinio paraboloido formos. Faktas yra tas, kad tik šie antros eilės sukimosi paviršiai turi tiesinius generatorius: taigi lenkta konstrukcija gali būti pastatyta tik iš tiesių sijų. Tokių konstrukcijų pranašumai yra gebėjimas atlaikyti dideles apkrovas, pavyzdžiui, nuo vėjo: hiperboloidinė forma naudojama statant aukštas konstrukcijas, pavyzdžiui, televizijos bokštus.
