Kas yra neracionalūs skaičiai? Kodėl jie taip vadinami? Kur jie naudojami ir kokie jie? Nedaugelis gali nedvejodami atsakyti į šiuos klausimus. Tačiau iš tikrųjų atsakymai į juos yra gana paprasti, nors ne visiems jų reikia ir labai retais atvejais
Esmė ir pavadinimas
Iracionalieji skaičiai yra begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos. Šią sąvoką reikia įvesti dėl to, kad anksčiau egzistavusių realiųjų ar realiųjų, sveikųjų, natūraliųjų ir racionaliųjų skaičių sąvokų nebepakako naujoms iškylančioms problemoms išspręsti. Pavyzdžiui, norint apskaičiuoti, kas yra kvadratas iš 2, reikia naudoti nesikartojančius begalinius dešimtainius skaičius. Be to, daugelis paprasčiausių lygčių taip pat neturi sprendimo, neįvedus neracionaliojo skaičiaus sąvokos.
Šis rinkinys žymimas I. Ir, kaip jau aišku, šios reikšmės negali būti pavaizduotos kaip paprasta trupmena, kurios skaitiklyje bus sveikas skaičius, o vardiklyje - natūralusis skaičius.
Pirmą kartąkitu atveju Indijos matematikai susidūrė su šiuo reiškiniu VII amžiuje prieš Kristų, kai buvo nustatyta, kad kai kurių dydžių kvadratinės šaknys negali būti aiškiai nurodytos. Ir pirmasis tokių skaičių egzistavimo įrodymas priskiriamas Pitagoro Hipasui, kuris tai padarė tirdamas lygiašonį stačiakampį trikampį. Rimtą indėlį į šio rinkinio tyrimą įnešė kai kurie kiti mokslininkai, gyvenę prieš mūsų erą. Įvedus neracionaliųjų skaičių sąvoką, buvo peržiūrėta esama matematinė sistema, todėl jie tokie svarbūs.
Vardo kilmė
Jei ratio lotyniškai reiškia „trupmena“, „santykis“, tai priešdėlis „ir“
suteikia šiam žodžiui priešingą reikšmę. Taigi šių skaičių aibės pavadinimas rodo, kad jų negalima koreliuoti su sveikuoju ar trupmeniniu skaičiumi, jie turi atskirą vietą. Tai išplaukia iš jų esmės.
Vieta bendroje įskaitoje
Iracionalieji skaičiai kartu su racionaliaisiais skaičiais priklauso realiųjų arba realiųjų skaičių grupei, o šie, savo ruožtu, priklauso kompleksiniams skaičiams. Poaibių nėra, tačiau yra algebrinės ir transcendentinės atmainos, kurios bus aptartos toliau.
Ypatybės
Kadangi neracionalieji skaičiai yra realiųjų skaičių aibės dalis, jiems taikomos visos jų savybės, kurios tiriamos aritmetikoje (jie dar vadinami pagrindiniais algebriniais dėsniais).
a + b=b + a (komutaciškumas);
(a + b) + c=a + (b + c)(asociatyvumas);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (priešingo skaičiaus buvimas);
ab=ba (poslinkio dėsnis);
(ab)c=a(bc) (paskirstymas);
a(b+c)=ab + ac (paskirstymo dėsnis);
a x 1=a
a x 1/a=1 (atvirkštinio skaičiaus buvimas);
Palyginimas taip pat atliekamas pagal bendruosius įstatymus ir principus:
Jei a > b ir b > c, tada a > c (santykio tranzityvumas) ir. ir tt
Žinoma, visus neracionalius skaičius galima konvertuoti naudojant pagrindinę aritmetiką. Tam nėra specialių taisyklių.
Be to, Archimedo aksioma taikoma iracionaliesiems skaičiams. Sakoma, kad bet kurių dviejų dydžių a ir b atveju teisingas teiginys, kad pakankamai kartų paėmę a kaip terminą, galite pranokti b.
Naudoti
Nepaisant to, kad įprastame gyvenime su jais ne dažnai tenka susidurti, neracionalūs skaičiai negali būti suskaičiuoti. Jų yra daug, bet jie beveik nepastebimi. Mus visur supa neracionalūs skaičiai. Visiems žinomi pavyzdžiai yra skaičius pi, lygus 3, 1415926 … arba e, kuris iš esmės yra natūralaus logaritmo pagrindas, 2, 718281828… Algebroje, trigonometrijoje ir geometrijoje jie turi būti naudojami nuolat.. Beje, garsioji „aukso pjūvio“vertė, tai yra ir didesnės dalies, ir mažesnės dalies santykis, ir atvirkščiai, taip pat yra
priklauso šiam rinkiniui. Mažiau žinomas „sidabras“– taip pat.
Jos yra labai tankiai išdėstytos skaičių tiesėje, todėl tarp bet kurių dviejų verčių, susijusių su racionalių verčių aibe, būtinai atsiras neracionali.
Vis dar yra daug neišspręstų problemų, susijusių su šiuo rinkiniu. Yra tokie kriterijai kaip neracionalumo matas ir skaičiaus normalumas. Matematikai ir toliau nagrinėja reikšmingiausius jų priklausymo vienai ar kitai grupei pavyzdžius. Pavyzdžiui, manoma, kad e yra normalus skaičius, tai yra, tikimybė, kad jo įraše atsiras skirtingų skaitmenų, yra vienoda. Kalbant apie pi, jo tyrimai vis dar vyksta. Iracionalumo matas taip pat vadinamas reikšme, rodančia, kaip gerai tą ar kitą skaičių galima aproksimuoti racionaliais skaičiais.
Algebrinė ir transcendentinė
Kaip jau minėta, neracionalieji skaičiai sąlyginai skirstomi į algebrinius ir transcendentinius. Sąlygiškai, kadangi, griežtai kalbant, ši klasifikacija naudojama aibės C dalijimui.
Šis žymėjimas paslepia kompleksinius skaičius, kurie apima tikrus arba tikrus skaičius.
Taigi, algebrinė reikšmė yra reikšmė, kuri yra daugianario, kuris nėra identiškai lygus nuliui, šaknis. Pavyzdžiui, kvadratinė šaknis iš 2 būtų šioje kategorijoje, nes tai yra lygties x2 – 2=0.
sprendimas.
Visi kiti realieji skaičiai, kurie neatitinka šios sąlygos, vadinami transcendentiniais. Šiai veisleiįtraukite žinomiausius ir jau minėtus pavyzdžius – skaičių pi ir natūraliojo logaritmo pagrindą e.
Įdomu, kad nei vieno, nei antro iš pradžių matematikai neišvedė šios pareigos, jų neracionalumas ir transcendencija buvo įrodyta praėjus daugeliui metų po jų atradimo. Pi įrodymas buvo pateiktas 1882 m., o supaprastintas 1894 m., Tai nutraukė 2500 metų trukusią ginčą dėl apskritimo kvadratūros problemos. Tai vis dar nėra visiškai suprantama, todėl šiuolaikiniai matematikai turi ką dirbti. Beje, pirmą pakankamai tikslų šios vertės apskaičiavimą atliko Archimedas. Prieš jį visi skaičiavimai buvo per apytiksliai.
E (Eulerio arba Napier skaičių) jo transcendencijos įrodymas buvo rastas 1873 m. Jis naudojamas sprendžiant logaritmines lygtis.
Kiti pavyzdžiai apima sinuso, kosinuso ir liestinės vertes bet kurioms algebrinėms nulinėms reikšmėms.
