Perskaitęs medžiagą skaitytojas supras, kad planimetrija visai nesudėtinga. Straipsnyje pateikiama svarbiausia teorinė informacija ir formulės, reikalingos konkretiems uždaviniams spręsti. Svarbūs teiginiai ir figūrų savybės išdėliotos lentynose.
Apibrėžimas ir svarbūs faktai
Planimetrija yra geometrijos šaka, kuri nagrinėja objektus ant plokščio dvimačio paviršiaus. Galima nustatyti keletą tinkamų pavyzdžių: kvadratas, apskritimas, rombas.
Be kitų dalykų, verta pabrėžti tašką ir liniją. Tai dvi pagrindinės planimetrijos sąvokos.
Viskas ant jų jau sukurta, pvz.:
- Atkarpa yra tiesės, ribojamos dviem taškais, dalis.
- Spindulys yra objektas, panašus į atkarpą, tačiau turi kraštinę tik vienoje pusėje.
- Kampas, kurį sudaro du spinduliai, išeinantys iš to paties taško.
Aksiomos ir teoremos
Pažvelkime į aksiomas atidžiau. Planimetrijoje tai yra svarbiausios taisyklės, pagal kurias veikia visas mokslas. Taip, ir ne tik joje. Autoriuspagal apibrėžimą tai yra teiginiai, kuriems nereikia įrodymų.
Aksiomos, kurios bus aptariamos toliau, yra vadinamosios Euklido geometrijos dalis.
- Yra du taškai. Per juos visada galima nubrėžti vieną liniją.
- Jei linija egzistuoja, tada yra taškų, kurie guli ant jos, ir taškų, kurie nėra ant jos.
Šie 2 teiginiai vadinami narystės aksiomomis, o šie yra tvarkingi:
- Jei tiesėje yra trys taškai, vienas iš jų turi būti tarp kitų dviejų.
- Plokštuma yra padalinta bet kuria tiese į dvi dalis. Kai segmento galai guli ant vienos pusės, tada jai priklauso visas objektas. Kitu atveju pradinė linija ir atkarpa turi susikirtimo tašką.
Matų aksiomos:
- Kiekvieno segmento ilgis skiriasi nuo nulio. Jei taškas padalija jį į kelias dalis, tada jų suma bus lygi visam objekto ilgiui.
- Kiekvienas kampas turi tam tikrą laipsnio matą, kuris nėra lygus nuliui. Jei padalysite spinduliu, pradinis kampas bus lygus susidariusių sumai.
Lygiagrečiai:
Lėktuve yra tiesi linija. Per bet kurį jam nepriklausantį tašką galima nubrėžti tik vieną tiesią liniją, lygiagrečią nurodytai
Planimetrijos teoremos nebėra gana esminiai teiginiai. Paprastai jie priimami kaip faktai, tačiau kiekvienas iš jų turi įrodymą, paremtą aukščiau paminėtomis pagrindinėmis sąvokomis. Be to, jų yra labai daug. Viską išardyti bus gana sunku, tačiau pateiktoje medžiagoje busiš jų.
Tokias du verta iš anksto patikrinti:
- Gretimų kampų suma yra 180 laipsnių.
- Vertikalūs kampai turi tą pačią reikšmę.
Šios dvi teoremos gali būti naudingos sprendžiant geometrines problemas, susijusias su n-kampiais. Jie yra gana paprasti ir intuityvūs. Verta juos prisiminti.
Trikampiai
Trikampis yra geometrinė figūra, sudaryta iš trijų paeiliui sujungtų segmentų. Jie klasifikuojami pagal kelis kriterijus.
Šonuose (santykiai atsiranda iš pavadinimų):
- Lygiakraščiai.
- Lygiašoniai – dvi kraštinės ir priešingi kampai yra atitinkamai lygūs.
- Universalus.
Kamuose:
- smailaus kampo;
- stačiakampis;
- bukas.
Du kampai visada bus aštrūs, nepaisant situacijos, o trečią lemia pirmoji žodžio dalis. Tai yra, stačiakampis trikampis turi vieną iš kampų, lygų 90 laipsnių.
Ypatybės:
- Kuo didesnis kampas, tuo didesnė priešinga pusė.
- Visų kampų suma yra 180 laipsnių.
- Plotą galima apskaičiuoti naudojant formulę: S=½ ⋅ h ⋅ a, kur a yra kraštinė, h yra į ją nubrėžtas aukštis.
- Visada galite įbrėžti apskritimą trikampyje arba apibūdinti jį aplink jį.
Viena iš pagrindinių planimetrijos formulių yra Pitagoro teorema. Tai tinka tik stačiajam trikampiui ir skamba taip: kvadratashipotenuzė lygi kojų kvadratų sumai: AB2 =AC2 + BC2.
Komponenuzė yra 90° kampui priešinga pusė, o kojos yra gretimoje pusėje.
Keturkampiai
Šia tema yra daug informacijos. Toliau pateikiami tik patys svarbiausi.
Kai kurios veislės:
- Paralelograma – priešingos kraštinės yra lygios ir lygiagrečios poromis.
- Rombas yra lygiagretainis, kurio kraštinės yra vienodo ilgio.
- Stačiakampis – lygiagretainis su keturiais stačiais kampais
- Kvadratas yra ir rombas, ir stačiakampis.
- Trapecija – lygiagrečios tik dvi priešingos kraštinės.
Ypatybės:
- Vidinių kampų suma yra 360 laipsnių.
- Plotą visada galima apskaičiuoti naudojant formulę: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), kur p yra pusė perimetro, a, b, c, d yra ploto kraštinės. figūra.
- Jei apskritimą galima apibūdinti aplink keturkampį, vadinu jį išgaubtu, jei ne - neišgaubtu.
