Matematikos lygčių sprendimas turi ypatingą vietą. Prieš šį procesą mokomasi daug valandų teorijos, per kurias studentas išmoksta spręsti lygtis, nustatyti jų formą ir visiškai automatizuoti įgūdžius. Tačiau šaknų paieška ne visada prasminga, nes jų gali tiesiog nebūti. Yra specialūs būdai rasti šaknis. Šiame straipsnyje išanalizuosime pagrindines funkcijas, jų apimtis, taip pat atvejus, kai nėra jų šaknų.
Kokia lygtis neturi šaknų?
Lygtis neturi šaknų, jei nėra tokių tikrų argumentų x, kuriems lygtis yra identiška. Ne specialistui ši formuluotė, kaip ir dauguma matematinių teoremų ir formulių, atrodo labai miglota ir abstrakti, bet taip yra teoriškai. Praktiškai viskas tampa itin paprasta. Pavyzdžiui: lygtis 0x=-53 neturi sprendinio, nes nėra tokio skaičiaus x, kurio sandauga su nuliu duotų ką nors kita nei nulis.
Dabar apžvelgsime pagrindinius lygčių tipus.
1. Tiesinė lygtis
Lygtis vadinama tiesine, jei jos dešinioji ir kairioji dalys vaizduojamos kaip tiesinės funkcijos: ax + b=cx + d arba apibendrinta forma kx + b=0. Kur žinomos a, b, c, d skaičiai, o x yra nežinomas dydis. Kuri lygtis neturi šaknų? Tiesinių lygčių pavyzdžiai pateikti toliau pateiktoje iliustracijoje.
Iš esmės tiesinės lygtys išsprendžiamos tiesiog perkeliant skaičių dalį į vieną, o x turinį į kitą. Pasirodo, mx \u003d n formos lygtis, kur m ir n yra skaičiai, o x yra nežinomas. Norint rasti x, pakanka padalyti abi dalis iš m. Tada x=n/m. Iš esmės tiesinės lygtys turi tik vieną šaknį, tačiau pasitaiko atvejų, kai šaknų yra arba be galo daug, arba jų visai nėra. Kai m=0 ir n=0, lygtis yra 0x=0. Tokios lygties sprendimas bus absoliučiai bet koks skaičius.
Bet kokia lygtis neturi šaknų?
Kai m=0 ir n=0, lygtis neturi šaknų iš realiųjų skaičių aibės. 0x=-1; 0x=200 – šios lygtys neturi šaknų.
2. Kvadratinė lygtis
Kvadratinė lygtis yra ax2 + bx + c=0 formos lygtis, kai a=0. Dažniausias kvadratinės lygties sprendimo būdas yra ją išspręsti per diskriminantą. Kvadratinės lygties diskriminanto radimo formulė: D=b2 - 4ac. Tada yra dvi šaknys x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Kai D > 0, lygtis turi dvi šaknis, kai D=0 – vieną šaknį. Bet kuri kvadratinė lygtis neturi šaknų?Lengviausias būdas stebėti kvadratinės lygties šaknų skaičių yra funkcijos, kuri yra parabolė, grafike. Prie > 0 šakos nukreiptos aukštyn, ties < 0 šakos nuleidžiamos žemyn. Jei diskriminantas yra neigiamas, tokia kvadratinė lygtis neturi šaknų realiųjų skaičių aibėje.
Taip pat galite vizualiai nustatyti šaknų skaičių neskaičiuodami diskriminanto. Norėdami tai padaryti, turite rasti parabolės viršūnę ir nustatyti, kuria kryptimi nukreiptos šakos. Viršūnės x koordinatę galite nustatyti naudodami formulę: x0 =-b / 2a. Šiuo atveju viršūnės y koordinatė randama tiesiog pakeičiant x0 reikšmę į pradinę lygtį.
Kvadratinė lygtis x2 – 8x + 72=0 neturi šaknų, nes turi neigiamą diskriminantą D=(–8)2 - 4172=-224. Tai reiškia, kad parabolė neliečia x ašies, o funkcija niekada neįgyja reikšmės 0, todėl lygtis neturi tikrųjų šaknų.
3. Trigonometrinės lygtys
Trigonometrinės funkcijos nagrinėjamos trigonometriniame apskritime, bet gali būti pavaizduotos ir Dekarto koordinačių sistemoje. Šiame straipsnyje apžvelgsime dvi pagrindines trigonometrines funkcijas ir jų lygtis: sinx ir cosx. Kadangi šios funkcijos sudaro trigonometrinį apskritimą, kurio spindulys 1, |sinx| ir |cosx| negali būti didesnis už 1. Taigi kuri sinx lygtis neturi šaknų? Apsvarstykite paveikslėlyje pateiktą sinx funkcijos grafikąžemiau.
Matome, kad funkcija yra simetriška ir jos pasikartojimo periodas yra 2 pi. Remdamiesi tuo, galime teigti, kad didžiausia šios funkcijos reikšmė gali būti 1, o minimali -1. Pavyzdžiui, išraiška cosx=5 neturės šaknų, nes jos modulis yra didesnis nei vienas.
Tai paprasčiausias trigonometrinių lygčių pavyzdys. Tiesą sakant, jų sprendimas gali užtrukti daug puslapių, kurių pabaigoje supranti, kad panaudojai neteisingą formulę ir reikia pradėti iš naujo. Kartais, net ir teisingai radę šaknis, galite pamiršti atsižvelgti į ODZ apribojimus, todėl atsakyme atsiranda papildoma šaknis arba intervalas, o visas atsakymas virsta klaidingu. Todėl griežtai laikykitės visų apribojimų, nes ne visos šaknys patenka į užduoties apimtį.
4. Lygčių sistemos
Lygčių sistema – tai lygčių rinkinys, sujungtas su garbanotaisiais arba laužtiniais skliaustais. Garbanotieji skliaustai reiškia bendrą visų lygčių vykdymą. Tai yra, jei bent viena iš lygčių neturi šaknų arba prieštarauja kitai, visa sistema neturi sprendimo. Kvadratiniai skliaustai žymi žodį „arba“. Tai reiškia, kad jei bent viena iš sistemos lygčių turi sprendimą, tai visa sistema turi sprendimą.
Sistemos su laužtiniais skliaustais atsakymas yra visų atskirų lygčių šaknų visuma. O sistemos su garbanotomis petnešomis turi tik bendras šaknis. Lygčių sistemos gali apimti visiškai skirtingas funkcijas, todėl tokio sudėtingumo nėraleidžia iš karto pasakyti, kuri lygtis neturi šaknų.
Apibendrinimas ir patarimai, kaip rasti lygties šaknis
Problemose ir vadovėliuose yra įvairių lygčių tipų: tos, kurios turi šaknis, ir tos, kurios jų neturi. Visų pirma, jei nerandate šaknų, nemanykite, kad jų iš viso nėra. Galbūt kažkur padarėte klaidą, tada tiesiog dar kartą patikrinkite sprendimą.
Apžvelgėme pagrindines lygtis ir jų tipus. Dabar galite pasakyti, kuri lygtis neturi šaknų. Daugeliu atvejų tai padaryti visai nėra sunku. Norint pasiekti sėkmės sprendžiant lygtis, reikia tik dėmesio ir susikaupimo. Praktikuokite daugiau, tai padės daug geriau ir greičiau naršyti medžiagą.
Taigi, lygtis neturi šaknų, jei:
- tiesinėje lygtyje mx=n reikšmė m=0 ir n=0;
- kvadratinėje lygtyje, jei diskriminantas yra mažesnis už nulį;
- trigonometrinėje lygtyje, kurios formos cosx=m / sinx=n, jei |m| > 0, |n| > 0;
- lygčių sistemoje su riestiniais skliaustais, jei bent viena lygtis neturi šaknų, ir su laužtiniais skliaustais, jei visos lygtys neturi šaknų.
