Tikriausiai išvestinės sąvoka yra žinoma kiekvienam iš mūsų nuo mokyklos laikų. Paprastai studentams sunku suprasti šį, be jokios abejonės, labai svarbų dalyką. Jis aktyviai naudojamas įvairiose žmonių gyvenimo srityse, o daugelis inžinerinių patobulinimų buvo pagrįsti būtent matematiniais skaičiavimais, gautais naudojant išvestinę. Tačiau prieš pradėdami analizuoti, kas yra skaičių išvestinės, kaip jas apskaičiuoti ir kur jos mums naudingos, pasinerkime į istoriją.
Istorija
Išvestinės sąvoką, kuri yra matematinės analizės pagrindas, atrado (geriau sakyti „išrastas“, nes gamtoje tokios nebuvo) Izaokas Niutonas, kurį visi žinome. nuo visuotinės gravitacijos dėsnio atradimo. Būtent jis pirmą kartą pritaikė šią sąvoką fizikoje, kad susietų kūnų greičio ir pagreičio prigimtį. Ir daugelis mokslininkų vis dar giria Niutoną už šį nuostabų išradimą, nes iš tikrųjų jis išrado diferencialinio ir integralinio skaičiavimo, iš tikrųjų visos matematikos srities, vadinamos „skaičiavimu“, pagrindą. Jei tuo metu Nobelio premija, Niutonas būtų ją gavęs su didele tikimybe kelis kartus.
Ne be kitų puikių protų. Išskyrus NewtonąTokie iškilūs matematikos genijai kaip Leonhardas Euleris, Louisas Lagrange'as ir Gottfriedas Leibnicas dirbo kurdami išvestinę ir integralą. Būtent jų dėka mes gavome diferencialinio skaičiavimo teoriją tokia forma, kokia ji egzistuoja iki šiol. Beje, būtent Leibnicas atrado geometrinę išvestinės reikšmę, kuri pasirodė esąs ne kas kita, kaip funkcijos grafiko liestinės nuolydžio liestinė.
Kas yra skaičių išvestinės? Pakartokime šiek tiek tai, ką išgyvenome mokykloje.
Kas yra išvestinė priemonė?
Šią sąvoką galima apibrėžti keliais skirtingais būdais. Paprasčiausias paaiškinimas yra tas, kad išvestinė yra funkcijos kitimo greitis. Įsivaizduokite kokios nors x funkcijos y grafiką. Jei jis nėra tiesus, tai grafike turi tam tikras kreives, didėjimo ir mažėjimo periodus. Jei imsime kokį nors be galo mažą šio grafiko intervalą, tai bus tiesi atkarpa. Taigi, šios be galo mažos atkarpos dydžio išilgai y koordinatės ir dydžio išilgai x koordinatės santykis bus šios funkcijos išvestinė duotame taške. Jei vertinsime funkciją kaip visumą, o ne konkrečiame taške, gausime išvestinę funkciją, tai yra, tam tikrą y priklausomybę nuo x.
Be fizinės išvestinės reikšmės kaip funkcijos kitimo greitis, yra ir geometrinė reikšmė. Mes apie jį kalbėsime dabar.
Geometrinis pojūtis
Patys skaičių išvestiniai žymi tam tikrą skaičių, kuris, tinkamai nesuvokus, neturijokios prasmės. Pasirodo, išvestinė ne tik parodo funkcijos augimo arba mažėjimo greitį, bet ir funkcijos grafiko liestinės nuolydžio liestinę duotame taške. Nelabai aiškus apibrėžimas. Išanalizuokime jį išsamiau. Tarkime, kad turime funkcijos grafiką (dėl susidomėjimo paimkime kreivę). Jame yra begalinis taškų skaičius, tačiau yra sričių, kuriose tik vienas taškas turi maksimumą arba minimumą. Per bet kurį tokį tašką galima nubrėžti liniją, kuri būtų statmena to taško funkcijos grafikui. Tokia linija bus vadinama liestine. Tarkime, praleidome iki susikirtimo su OX ašimi. Taigi kampas, gautas tarp liestinės ir OX ašies, bus nustatomas pagal išvestinę. Tiksliau, šio kampo liestinė bus jam lygi.
Pakalbėkime apie ypatingus atvejus ir analizuosime skaičių išvestines.
Ypatingi atvejai
Kaip jau minėjome, skaičių išvestinės yra išvestinės reikšmės tam tikrame taške. Pavyzdžiui, paimkime funkciją y=x2. Išvestinė x yra skaičius, o bendruoju atveju funkcija lygi 2x. Jei reikia apskaičiuoti išvestinę, tarkime, taške x0=1, tai gausime y'(1)=21=2. Viskas labai paprasta. Įdomus atvejis yra kompleksinio skaičiaus išvestinė. Mes nesigilinsime į išsamų paaiškinimą, kas yra kompleksinis skaičius. Tarkime, tai yra skaičius, kuriame yra vadinamasis įsivaizduojamas vienetas – skaičius, kurio kvadratas yra –1. Tokios išvestinės priemonės apskaičiavimas įmanomas tik tada, kai:sąlygos:
1) Turi būti pirmos eilės dalinės tikrosios ir menamos dalių išvestinės Y ir X atžvilgiu.
2) Yra įvykdytos Cauchy-Riemano sąlygos, susijusios su pirmoje pastraipoje aprašyta dalinių išvestinių lygybe.
Kitas įdomus atvejis, nors ir ne toks sudėtingas kaip ankstesnis, yra neigiamo skaičiaus išvestinė. Tiesą sakant, bet koks neigiamas skaičius gali būti pavaizduotas kaip teigiamas skaičius, padaugintas iš -1. Na, konstantos ir funkcijos išvestinė lygi konstantai, padaugintai iš funkcijos išvestinės.
Bus įdomu sužinoti apie vedinio vaidmenį kasdieniame gyvenime, ir apie tai dabar kalbėsime.
Programa
Tikriausiai kiekvienas iš mūsų bent kartą gyvenime pagauna save galvodamas, kad matematika vargu ar jam bus naudinga. Ir toks sudėtingas dalykas kaip išvestinė, tikriausiai, neturi jokios taikymo. Tiesą sakant, matematika yra fundamentalus mokslas, o visus jos vaisius daugiausia sukuria fizika, chemija, astronomija ir net ekonomika. Išvestinė buvo matematinės analizės pradžia, kuri suteikė galimybę daryti išvadas iš funkcijų grafikų, išmokome interpretuoti gamtos dėsnius ir jos dėka paversti juos savo naudai.
Išvada
Žinoma, realiame gyvenime išvestinės priemonės gali prireikti ne kiekvienam. Tačiau matematika ugdo logiką, kurios tikrai prireiks. Matematika ne veltui vadinama mokslų karaliene: ji sudaro pagrindą suprasti kitas žinių sritis.
