Aksiomatinis metodas yra būdas sukurti jau nusistovėjusias mokslines teorijas. Jis grindžiamas argumentais, faktais, teiginiais, kuriems nereikia įrodymų ar paneigimų. Tiesą sakant, ši žinių versija pateikiama dedukcinės struktūros forma, kuri iš pradžių apima loginį turinio pagrindimą iš pagrindinių – aksiomų.
Šis metodas negali būti atradimas, o tik klasifikavimo sąvoka. Tai labiau tinka mokymui. Pagrindas yra pradinės nuostatos, o likusi informacija yra logiška pasekmė. Kur yra aksiominis teorijos kūrimo metodas? Tai yra daugelio šiuolaikinių ir nusistovėjusių mokslų pagrindas.
Aksiominio metodo sampratos formavimas ir plėtra, žodžio apibrėžimas
Visų pirma, ši sąvoka atsirado Senovės Graikijoje Euklido dėka. Jis tapo aksiominio metodo geometrijoje įkūrėju. Šiandien ji paplitusi visuose moksluose, bet labiausiai – matematikoje. Šis metodas formuojamas remiantis nustatytais teiginiais, o tolesnės teorijos išvedamos logine konstrukcija.
Tai paaiškinama taip: yra žodžių ir sąvokų, kuriosapibrėžti kitais terminais. Dėl to mokslininkai priėjo prie išvados, kad yra elementarios išvados, kurios yra pagrįstos ir yra pastovios – pagrindinės, tai yra aksiomos. Pavyzdžiui, įrodinėdami teoremą, jie dažniausiai remiasi faktais, kurie jau yra nusistovėję ir kurių nereikia paneigti.
Tačiau prieš tai jas reikėjo pagrįsti. Proceso metu paaiškėja, kad nemotyvuotas teiginys laikomas aksioma. Remiantis konstantų sąvokų rinkiniu, įrodomos kitos teoremos. Jie sudaro planimetrijos pagrindą ir yra loginė geometrijos struktūra. Šiame moksle nustatytos aksiomos apibrėžiamos kaip bet kokios prigimties objektai. Jie savo ruožtu turi savybių, kurios nurodytos pastoviose sąvokose.
Tolesnis aksiomų tyrinėjimas
Šis metodas buvo laikomas idealiu iki XIX a. Tais laikais loginės pagrindinių sąvokų paieškos priemonės nebuvo tyrinėtos, tačiau Euklido sistemoje galima stebėti prasmingų pasekmių gavimo iš aksiomatinio metodo struktūrą. Mokslininko tyrimai parodė idėją, kaip gauti visą geometrinių žinių sistemą, pagrįstą grynai dedukciniu keliu. Jiems buvo pasiūlyta palyginti nedaug teigiamų aksiomų, kurios akivaizdžiai teisingos.
Senovės graikų proto nuopelnai
Euklidas įrodė daug sąvokų, o kai kurios iš jų pasiteisino. Tačiau dauguma šiuos nuopelnus priskiria Pitagorui, Demokritui ir Hipokratui. Pastarasis sudarė visą geometrijos kursą. Tiesa, vėliau Aleksandrijoje išėjorinkinį „Pradžia“, kurio autorius buvo Euklidas. Tada jis buvo pervadintas į "Elementary Geometry". Po kurio laiko jie pradėjo jį kritikuoti dėl tam tikrų priežasčių:
- visos vertės buvo sukurtos tik naudojant liniuotę ir kompasą;
- geometrija ir aritmetika buvo atskirtos ir įrodyta galiojančiais skaičiais bei sąvokomis;
- aksiomas, kai kurias iš jų, ypač penktąjį postulatą, buvo pasiūlyta išbraukti iš bendrojo sąrašo.
Dėl to XIX amžiuje atsiranda neeuklido geometrija, kurioje nėra objektyviai tikro postulato. Šis veiksmas davė impulsą tolimesnei geometrinės sistemos plėtrai. Taigi matematiniai tyrinėtojai priėjo prie dedukcinių konstravimo metodų.
Matematinių žinių plėtojimas remiantis aksiomomis
Kai pradėjo kurtis nauja geometrijos sistema, pasikeitė ir aksiominis metodas. Matematikoje jie pradėjo dažniau kreiptis į grynai dedukcinę teorijos konstrukciją. Dėl to šiuolaikinėje skaitmeninėje logikoje, kuri yra pagrindinė viso mokslo dalis, susidarė visa įrodymų sistema. Matematinė struktūra pradėjo suprasti pagrindimo poreikį.
Taigi iki amžiaus pabaigos susiformavo aiškios užduotys ir sudėtingų sąvokų konstravimas, kurios iš sudėtingos teoremos buvo redukuotos iki paprasčiausio loginio teiginio. Taigi neeuklido geometrija paskatino tvirtą pagrindą tolimesniam aksiomatinio metodo egzistavimui, taip pat bendro pobūdžio problemų sprendimui.matematinės konstrukcijos:
- nuoseklumas;
- pilnumas;
- nepriklausomybė.
Šiame procese atsirado ir buvo sėkmingai sukurtas aiškinimo metodas. Šis metodas aprašomas taip: kiekvienai teorijos išvesties sąvokai nustatomas matematinis objektas, kurio visuma vadinama lauku. Teiginys apie nurodytus elementus gali būti klaidingas arba teisingas. Dėl to teiginiai įvardijami priklausomai nuo išvadų.
Aiškinimo teorijos ypatumai
Paprastai matematinėje sistemoje taip pat atsižvelgiama į lauką ir savybes, o tai, savo ruožtu, gali tapti aksiomiška. Aiškinimas įrodo teiginius, kuriuose yra santykinis nuoseklumas. Papildoma galimybė yra keletas faktų, dėl kurių teorija tampa prieštaringa.
Tiesą sakant, kai kuriais atvejais sąlyga yra įvykdyta. Dėl to paaiškėja, kad jei vieno iš teiginių teiginiuose yra dvi klaidingos arba teisingos sąvokos, tai laikoma neigiama arba teigiama. Šis metodas buvo naudojamas Euklido geometrijos nuoseklumui įrodyti. Taikant interpretacinį metodą, galima išspręsti aksiomų sistemų nepriklausomumo klausimą. Jei reikia paneigti kurią nors teoriją, pakanka įrodyti, kad viena iš sąvokų nėra kilusi iš kitos ir yra klaidinga.
Tačiau, be sėkmingų pareiškimų, metodas taip pat turi trūkumų. Aksiomų sistemų nuoseklumas ir nepriklausomumas sprendžiami kaip klausimai, kurių rezultatai yra santykiniai. Vienintelis svarbus interpretacijos pasiekimas yraaritmetikos kaip struktūros, kurioje nuoseklumo klausimas susiaurinamas iki daugelio kitų mokslų, vaidmens atradimas.
Šiuolaikinė aksiomatinės matematikos raida
Aksiominis metodas pradėjo vystytis Gilberto kūryboje. Jo mokykloje buvo išaiškinta pati teorijos ir formalios sistemos samprata. Dėl to susidarė bendra sistema, matematiniai objektai tapo tikslūs. Be to, atsirado galimybė išspręsti pateisinimo klausimus. Taigi formalią sistemą sudaro tiksli klasė, kurioje yra formulių ir teoremų posistemės.
Norėdami sukurti šią konstrukciją, turite vadovautis tik techniniu patogumu, nes jie neturi semantinės apkrovos. Jie gali būti užrašyti ženklais, simboliais. Tai reiškia, kad iš tikrųjų pati sistema sukurta taip, kad formalioji teorija galėtų būti taikoma tinkamai ir visapusiškai.
Dėl to konkretus matematinis tikslas arba užduotis įliejama į teoriją, pagrįstą faktiniu turiniu arba dedukciniais samprotavimais. Skaitmeninio mokslo kalba perkeliama į formalią sistemą, procese bet kokia konkreti ir prasminga išraiška nustatoma pagal formulę.
Formalizacijos metodas
Natūralioje dalykų būsenoje toks metodas galės išspręsti tokias globalias problemas kaip nuoseklumas, taip pat pagal išvestas formules sukurti teigiamą matematinių teorijų esmę. Ir iš esmės visa tai bus išspręsta formali sistema, pagrįsta patikrintais teiginiais. Matematinės teorijos nuolat komplikavosi pateisinimais irGilbertas pasiūlė šią struktūrą ištirti naudojant baigtinius metodus. Tačiau ši programa nepavyko. Gödelio rezultatai jau XX amžiuje leido padaryti tokias išvadas:
- natūralus nuoseklumas neįmanomas dėl to, kad formalizuota aritmetika ar kitas panašus mokslas iš šios sistemos bus nepilnas;
- atsirado neišsprendžiamų formulių;
- teiginiai neįrodomi.
Tikri sprendimai ir pagrįsta baigtinė apdaila laikomi formalizuojamais. Turint tai omenyje, aksiominis metodas turi tam tikras ir aiškias ribas ir galimybes šioje teorijoje.
Aksiomų kūrimo rezultatai matematikų darbuose
Nepaisant to, kad kai kurie sprendimai buvo paneigti ir netinkamai išplėtoti, pastovių sąvokų metodas vaidina svarbų vaidmenį formuojant matematikos pagrindus. Be to, aiškinimas ir aksiominis metodas moksle atskleidė esminius nuoseklumo, pasirinkimo teiginių ir hipotezių nepriklausomumo rezultatus daugialypėje teorijoje.
Spręsdami nuoseklumo klausimą, svarbiausia taikyti ne tik nusistovėjusias sąvokas. Juos taip pat reikia papildyti baigtinės apdailos idėjomis, koncepcijomis ir priemonėmis. Šiuo atveju svarstomi įvairūs požiūriai, metodai, teorijos, kurios turėtų atsižvelgti į loginę prasmę ir pagrindimą.
Formalios sistemos nuoseklumas rodo panašų aritmetikos užbaigimą, kuris grindžiamas indukcija, skaičiavimu, beribiniu skaičiumi. Mokslinėje srityje aksiomatizacija yra svarbiausiaįrankis, turintis nepaneigiamų sąvokų ir teiginių, kuriais remiamasi.
Pradinių teiginių esmė ir jų vaidmuo teorijose
Aksiominio metodo įvertinimas rodo, kad tam tikra struktūra slypi jo esmėje. Ši sistema sukurta iš pagrindinės sąvokos identifikavimo ir pagrindinių teiginių, kurie yra neapibrėžti. Tas pats atsitinka su teoremomis, kurios laikomos originaliomis ir priimamos be įrodymų. Gamtos moksluose tokius teiginius pagrindžia taisyklės, prielaidos, dėsniai.
Tada vyksta nusistovėjusių samprotavimų pagrindų tvirtinimo procesas. Paprastai iš karto nurodoma, kad iš vienos padėties išvedama kita, o eigoje išeina likusieji, kurie iš esmės sutampa su dedukciniu metodu.
Sistemos ypatybės šiais laikais
Aksiomatinė sistema apima:
- logiškos išvados;
- terminai ir apibrėžimai;
- iš dalies neteisingi teiginiai ir sąvokos.
Šiuolaikiniame moksle šis metodas prarado savo abstraktumą. Euklido geometrinė aksiomatizacija buvo pagrįsta intuityviais ir tikrais teiginiais. Ir teorija buvo interpretuojama savitai, natūraliai. Šiandien aksioma yra nuostata, kuri savaime yra akivaizdi, o susitarimas ir bet koks susitarimas gali veikti kaip pradinė samprata, kuriai nereikia pagrindimo. Dėl to pradinės vertės gali būti toli gražu ne apibūdinančios. Šis metodas reikalauja kūrybiškumo, santykių ir pagrindinės teorijos išmanymo.
Pagrindiniai išvadų darymo principai
Dedukcinis aksiominis metodas – tai pagal tam tikrą schemą sukonstruotos mokslinės žinios, kurios remiasi teisingai realizuotomis hipotezėmis, išvedant teiginius apie empirinius faktus. Tokia išvada statoma remiantis loginėmis struktūromis, sunkiai išvedant. Aksiomos iš pradžių yra nepaneigiami teiginiai, kuriems nereikia įrodymų.
Išskaičiavimo metu pradinėms sąvokoms taikomi tam tikri reikalavimai: nuoseklumas, išsamumas, savarankiškumas. Kaip rodo praktika, pirmoji sąlyga yra pagrįsta formaliomis loginėmis žiniomis. Tai yra, teorija neturėtų turėti tiesos ir melo reikšmių, nes ji nebeturės prasmės ir vertės.
Jei ši sąlyga neįvykdoma, vadinasi, ji laikoma nesuderinama ir joje prarandama bet kokia prasmė, nes prarandamas semantinis krūvis tarp tiesos ir melo. Dedukciniu požiūriu aksiominis metodas yra mokslo žinių konstravimo ir pagrindimo būdas.
Praktinis metodo taikymas
Aksiominis mokslo žinių konstravimo metodas turi praktinį pritaikymą. Tiesą sakant, toks būdas daro įtaką ir turi pasaulinę reikšmę matematikai, nors šios žinios jau pasiekė aukščiausią tašką. Aksiominio metodo pavyzdžiai yra tokie:
- afininės plokštumos turi tris teiginius ir apibrėžimą;
- ekvivalentiškumo teorija turi tris įrodymus;
- dvejetainiai ryšiai skirstomi į apibrėžimų, sąvokų ir papildomų pratimų sistemą.
Jei norite suformuluoti pirminę reikšmę, turite žinoti aibių ir elementų prigimtį. Iš esmės aksiominis metodas sudarė įvairių mokslo sričių pagrindą.
