Poliedrai net senovėje traukė matematikų ir mokslininkų dėmesį. Egiptiečiai pastatė piramides. O graikai studijavo „taisyklingus daugiabriaunius“. Jie kartais vadinami platoniškomis kietosiomis medžiagomis. „Tradiciniai daugiakampiai“susideda iš plokščių paviršių, tiesių kraštų ir viršūnių. Tačiau pagrindinis klausimas visada buvo tas, kokias taisykles turi atitikti šios atskiros dalys, taip pat kokios papildomos pasaulinės sąlygos turi būti įvykdytos, kad objektas būtų laikomas daugiakampiu. Atsakymas į šį klausimą bus pateiktas straipsnyje.
Apibrėžimo problemos
Iš ko susideda ši figūra? Daugiakampis yra uždara kieta forma, turinti plokščius paviršius ir tiesius kraštus. Todėl pirmąja jos apibrėžimo problema galima vadinti būtent figūros šonus. Ne visi veidai, gulintys plokštumose, visada yra daugiakampio ženklas. Kaip pavyzdį paimkime „trikampį cilindrą“. Iš ko jis susideda? Dalis jo paviršiaus trys poromissusikertančios vertikalios plokštumos negali būti laikomos daugiakampiais. Priežastis ta, kad ji neturi viršūnių. Tokios figūros paviršius suformuotas trijų spindulių, susitinkančių viename taške, pagrindu.
Dar viena problema – lėktuvai. „Trikampio cilindro“atveju jis yra neribotose jų dalyse. Figūra laikoma išgaubta, jei joje taip pat yra atkarpa, jungianti bet kuriuos du aibės taškus. Pateiksime vieną iš svarbių jų savybių. Išgaubtų aibių atveju aibei bendrų taškų aibė yra ta pati. Yra ir kitos rūšies figūros. Tai yra neišgaubti 2D daugiakampiai, turintys įpjovas arba skylutes.
Formos, kurios nėra daugiakampės
Plokščias taškų rinkinys gali būti skirtingas (pavyzdžiui, neišgaubtas) ir neatitikti įprasto daugiakampio apibrėžimo. Net ir per jį ribojama linijų atkarpomis. Išgaubto daugiakampio linijos susideda iš išgaubtų figūrų. Tačiau toks požiūris į apibrėžimą neįtraukia figūros, einančios į begalybę. To pavyzdys būtų trys spinduliai, kurie nesusitinka tame pačiame taške. Tačiau tuo pat metu jie yra sujungti su kitos figūros viršūnėmis. Tradiciškai daugiakampiui buvo svarbu, kad jis sudarytas iš plokščių paviršių. Tačiau laikui bėgant ši sąvoka išsiplėtė, todėl labai pagerėjo supratimas apie pradinę „siaurą“daugiakampio klasę, taip pat atsirado naujas platesnis apibrėžimas.
Teisingai
Pristatykime dar vieną apibrėžimą. Taisyklingas daugiakampis yra tas, kurio kiekvienas veidas yra lygus taisyklingasišgaubti daugiakampiai, o visos viršūnės yra „tos pačios“. Tai reiškia, kad kiekviena viršūnė turi tiek pat reguliarių daugiakampių. Naudokite šį apibrėžimą. Taigi galite rasti penkias įprastas daugiakampes.
Pirmieji žingsniai prie Eilerio teoremos daugiakampei
Graikai žinojo apie daugiakampį, kuris šiandien vadinamas pentagrama. Šį daugiakampį būtų galima pavadinti taisyklingu, nes visos jo kraštinės yra vienodo ilgio. Taip pat yra dar viena svarbi pastaba. Kampas tarp dviejų iš eilės einančių kraštų visada yra vienodas. Tačiau nubrėžta plokštumoje, ji neapibrėžia išgaubtos aibės, o daugiakampio kraštinės kerta viena kitą. Tačiau taip buvo ne visada. Matematikai jau seniai svarstė „neišgaubto“taisyklingo daugiakampio idėją. Pentagrama buvo viena iš jų. Taip pat buvo leidžiami „žvaigždžių daugiakampiai“. Buvo atrasti keli nauji „reguliarių daugiakampių“pavyzdžiai. Dabar jie vadinami Keplerio-Poinsot daugiakampiais. Vėliau G. S. M. Coxeteris ir Branko Grünbaumas išplėtė taisykles ir atrado kitus „įprastus daugiakampius“.
Daugiakampė formulė
Sisteminis šių skaičių tyrimas pradėtas palyginti anksti matematikos istorijoje. Leonhardas Euleris pirmasis pastebėjo, kad formulė, susijusi su jų viršūnių, paviršių ir briaunų skaičiumi, galioja ir išgaubtam 3D daugiakampiui.
Ji atrodo taip:
V + F – E=2, kur V yra daugiakampių viršūnių skaičius, F yra daugiakampio briaunų skaičius, o E yra paviršių skaičius.
Leonhardas Euleris yra šveicarasmatematikas, laikomas vienu didžiausių ir produktyviausių visų laikų mokslininkų. Didžiąją savo gyvenimo dalį jis buvo aklas, tačiau regėjimo praradimas suteikė jam priežastį tapti dar produktyvesniu. Yra keletas jo vardu pavadintų formulių, o ta, kurią ką tik pažiūrėjome, kartais vadinama Eilerio daugiakampio formule.
Yra vienas paaiškinimas. Tačiau Eulerio formulė tinka tik daugiakampiams, kurie laikosi tam tikrų taisyklių. Jie slypi tame, kad formoje neturėtų būti jokių skylių. Ir nepriimtina, kad ji persižegnotų. Daugiakampis taip pat negali būti sudarytas iš dviejų sujungtų dalių, pavyzdžiui, iš dviejų kubelių su ta pačia viršūne. Euleris savo tyrimų rezultatus paminėjo laiške Christianui Goldbachui 1750 m. Vėliau jis paskelbė du straipsnius, kuriuose aprašė, kaip bandė rasti savo naujo atradimo įrodymą. Tiesą sakant, yra formų, kurios pateikia skirtingą atsakymą į V + F - E. Atsakymas į sumą F + V - E=X vadinamas Eilerio charakteristika. Ji turi kitą aspektą. Kai kurios formos netgi gali turėti Eulerio charakteristiką, kuri yra neigiama
Grafų teorija
Kartais teigiama, kad Dekartas anksčiau išvedė Eulerio teoremą. Nors šis mokslininkas atrado faktus apie trimačius daugiakampius, kurie leistų jam išvesti norimą formulę, šio papildomo žingsnio jis nežengė. Šiandien Euleris yra priskiriamas grafų teorijos „tėvui“. Savo idėjomis jis išsprendė Karaliaučiaus tilto problemą. Tačiau mokslininkas nežvelgė į daugiakampį kontekstegrafų teorija. Euleris bandė įrodyti formulę, pagrįstą daugiakampio skaidymu į paprastesnes dalis. Šis bandymas neatitinka šiuolaikinių įrodymų standartų. Nors Euleris nepateikė pirmojo teisingo savo formulės pagrindimo, negalima įrodyti spėjimų, kurie nebuvo padaryti. Tačiau rezultatai, kurie buvo pagrįsti vėliau, leidžia naudoti Eulerio teoremą ir šiuo metu. Pirmąjį įrodymą gavo matematikas Adrianas Marie Legendre.
Eulerio formulės įrodymas
Euleris pirmiausia suformulavo daugiakampę formulę kaip daugiakampio teoremą. Šiandien jis dažnai traktuojamas bendresniame sujungtų grafikų kontekste. Pavyzdžiui, kaip struktūras, susidedančias iš taškų ir juos jungiančių linijų atkarpų, kurios yra toje pačioje dalyje. Augustinas Louisas Cauchy buvo pirmasis asmuo, atradęs šį svarbų ryšį. Tai buvo Eilerio teoremos įrodymas. Iš esmės jis pastebėjo, kad išgaubto daugiabriaunio (arba šiandien tokiu vadinamo) grafikas yra topologiškai homeomorfinis sferai, turi plokštuminį sujungtą grafą. Kas tai yra? Plokštuminis grafikas yra toks, kuris plokštumoje nubrėžtas taip, kad jo briaunos susikerta arba susikerta tik viršūnėje. Čia buvo rastas ryšys tarp Eulerio teoremos ir grafikų.
Vienas rezultato svarbos požymis yra tai, kad Davidas Epsteinas sugebėjo surinkti septyniolika skirtingų įrodymų. Yra daug būdų, kaip pateisinti Eulerio daugiakampę formulę. Tam tikra prasme akivaizdžiausi įrodymai yra metodai, kuriuose naudojama matematinė indukcija. Rezultatas gali būti įrodytasnubraižykite jį išilgai grafiko kraštinių, paviršių arba viršūnių skaičiaus.
Rademacherio ir Toeplitzo įrodymas
Ypač patrauklus yra šis Rademacherio ir Toeplitzo įrodymas, pagrįstas Von Staudt požiūriu. Norėdami pagrįsti Eulerio teoremą, tarkime, kad G yra sujungtas grafikas, įterptas į plokštumą. Jei jis turi schemas, iš kiekvienos iš jų galima išskirti po vieną kraštą taip, kad būtų išsaugota savybė, kad ji liktų sujungta. Tarp pašalintų dalių, skirtų eiti į sujungtą grafą be uždarymo, ir tų, kurios nėra begalinė briauna, yra vienas su vienu atitikimas. Šis tyrimas paskatino "orientuojamų paviršių" klasifikaciją pagal vadinamąją Eulerio charakteristiką.
Jordanijos kreivė. Teorema
Pagrindinė tezė, kuri tiesiogiai arba netiesiogiai naudojama grafų Eilerio teoremos daugiakampės formulės įrodymui, priklauso nuo Jordano kreivės. Ši idėja yra susijusi su apibendrinimu. Sakoma, kad bet kuri paprasta uždara kreivė padalija plokštumą į tris aibes: taškus joje, jos viduje ir išorėje. Devynioliktame amžiuje susidomėjus Eulerio daugiakampe formule, buvo daug bandymų ją apibendrinti. Šis tyrimas padėjo pagrindą algebrinės topologijos raidai ir susiejo ją su algebra bei skaičių teorija.
Moebius grupė
Netrukus buvo nustatyta, kad kai kuriuos paviršius galima nuosekliai „orientuoti“tik lokaliai, o ne globaliai. Gerai žinoma Möbius grupė yra tokia iliustracijapaviršiai. Jį šiek tiek anksčiau atrado Johanas Listingas. Ši sąvoka apima grafo genties sąvoką: mažiausiai deskriptorių g. Jis turi būti pridėtas prie sferos paviršiaus, o į išplėstą paviršių galima įterpti taip, kad kraštai susidurtų tik viršūnėse. Pasirodo, bet koks orientuojamas paviršius Euklido erdvėje gali būti laikomas rutuliu su tam tikru rankenų skaičiumi.
Eulerio diagrama
Mokslininkas padarė dar vieną atradimą, kuris naudojamas ir šiandien. Ši vadinamoji Eulerio diagrama yra grafinis apskritimų vaizdas, paprastai naudojamas iliustruoti ryšius tarp aibių ar grupių. Diagramose paprastai pateikiamos spalvos, kurios susilieja tose srityse, kuriose apskritimai persidengia. Rinkiniai tiksliai pavaizduoti apskritimais arba ovalais, nors jiems gali būti naudojamos ir kitos figūros. Įtraukimas vaizduojamas elipsių, vadinamų Eulerio apskritimais, sutapimas.
Jie žymi aibes ir poaibius. Išimtis yra nesutampantys apskritimai. Eulerio diagramos yra glaudžiai susijusios su kitu grafiniu vaizdu. Jie dažnai susipainioja. Šis grafinis vaizdas vadinamas Venno diagramomis. Priklausomai nuo aptariamų rinkinių, abi versijos gali atrodyti vienodai. Tačiau Venno diagramose persidengiantys apskritimai nebūtinai rodo aibių bendrumą, o tik galimą loginį ryšį, jei jų etiketės nėrasusikertantis ratas. Abi galimybės buvo pritaikytos mokant aibių teorijos kaip naujojo septintojo dešimtmečio matematinio judėjimo dalis.
Fermato ir Eulerio teoremos
Euleris paliko pastebimą pėdsaką matematikos moksle. Algebrinė skaičių teorija buvo praturtinta jo vardu pavadinta teorema. Tai taip pat kito svarbaus atradimo pasekmė. Tai vadinamoji bendroji algebrinė Lagranžo teorema. Eulerio vardas taip pat siejamas su mažąja Ferma teorema. Sakoma, kad jei p yra pirminis skaičius, o a yra sveikasis skaičius, kuris nesidalija iš p, tada:
ap-1 - 1 dalijasi iš p.
Kartais tas pats atradimas turi kitą pavadinimą, dažniausiai sutinkamas užsienio literatūroje. Tai skamba kaip Fermato Kalėdų teorema. Reikalas tas, kad atradimas tapo žinomas dėl mokslininko laiško, išsiųsto 1640 m. gruodžio 25 d. Tačiau su pačiu pareiškimu teko susidurti ir anksčiau. Jį naudojo kitas mokslininkas Albertas Girardas. Fermatas tik bandė įrodyti savo teoriją. Autorius kitame laiške užsimena, kad jį įkvėpė begalinio nusileidimo metodas. Tačiau jis nepateikė jokių įrodymų. Vėliau to paties metodo pasuko ir Eideris. O po jo – daug kitų garsių mokslininkų, įskaitant Lagrandžą, Gausą ir Minkoskį.
Tapatybių ypatybės
Fermato mažoji teorema taip pat vadinama specialiu skaičių teorijos teoremos atveju dėl Eulerio. Šioje teorijoje Eulerio tapatybės funkcija skaičiuoja teigiamus sveikuosius skaičius iki nurodyto sveikojo skaičiaus n. Jie yra aukščiausios kokybės atžvilgiun. Eulerio teorema skaičių teorijoje parašyta naudojant graikų raidę φ ir atrodo kaip φ(n). Jis gali būti formaliau apibrėžtas kaip sveikųjų skaičių k skaičius diapazone 1 ≦ k ≦ n, kurio didžiausias bendras daliklis gcd(n, k) yra 1. Žymėjimas φ(n) taip pat gali būti vadinamas Eulerio phi funkcija. Šios formos sveikieji skaičiai k kartais vadinami bendraisiais. Skaičių teorijos esmė Eulerio tapatybės funkcija yra dauginamoji, o tai reiškia, kad jei du skaičiai m ir n yra pirminiai, tada φ(mn)=φ(m)φ(n). Ji taip pat atlieka pagrindinį vaidmenį apibrėžiant RSA šifravimo sistemą.
Eulerio funkcija buvo įvesta 1763 m. Tačiau tuo metu matematikas jai nepasirinko jokio konkretaus simbolio. 1784 m. publikacijoje Euleris šią funkciją išstudijavo išsamiau ir pasirinko graikišką raidę π jai pavaizduoti. Jamesas Sylvesteris šiai funkcijai sugalvojo terminą „iš viso“. Todėl jis taip pat vadinamas Eulerio suma. Bendra teigiamo sveikojo skaičiaus n, didesnio už 1, φ(n) yra teigiamų sveikųjų skaičių, mažesnių už n, kurie yra santykinai pirminiai iki n, skaičius.φ(1) apibrėžiamas kaip 1. Eulerio funkcija arba phi(φ) funkcija yra labai svarbi skaičių teoretinė funkcija, labai susijusi su pirminiais skaičiais ir vadinamąja sveikųjų skaičių tvarka.
