Pitagoro teorema: hipotenuzės kvadratas lygus kojų kvadratų sumai

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 05:34

Kiekvienas mokinys žino, kad hipotenuzės kvadratas visada yra lygus kojų, kurių kiekviena yra kvadratinė, sumai. Šis teiginys vadinamas Pitagoro teorema. Tai viena garsiausių trigonometrijos ir apskritai matematikos teoremų. Apsvarstykite tai išsamiau.

Stačiojo trikampio samprata

Prieš pradėdami nagrinėti Pitagoro teoremą, kurioje hipotenuzės kvadratas yra lygus kvadratinių kojų sumai, turėtume apsvarstyti stačiakampio trikampio, kuriam teorema, sampratą ir savybes galioja.

Trikampis yra plokščia figūra su trimis kampais ir trimis kraštinėmis. Stačiakampis trikampis, kaip rodo jo pavadinimas, turi vieną stačią kampą, tai yra, šis kampas yra 90o.

Iš bendrųjų visų trikampių savybių žinoma, kad visų trijų šios figūros kampų suma yra 180^o, o tai reiškia, kad stačiakampio trikampio du neteisingi kampai yra 180^o -90^o=90^o. Paskutinis faktas reiškia, kad bet koks stačiojo trikampio kampas, kuris nėra stačiakampis, visada bus mažesnis nei 90^o.

Kraštinė, esanti priešais stačią kampą, vadinama hipotenuse. Kitos dvi kraštinės yra trikampio kojos, jos gali būti lygios viena kitai arba gali skirtis. Iš trigonometrijos žinoma, kad kuo didesnis kampas, prieš kurį yra trikampio kraštinė, tuo didesnis šios kraštinės ilgis. Tai reiškia, kad stačiakampiame trikampyje hipotenuzė (yra priešais kampą 90^o) visada bus didesnė už bet kurią koją (yra priešais kampus < 90^o).

Matematinis Pitagoro teoremos žymėjimas

Ši teorema sako, kad hipotenuzės kvadratas yra lygus kojelių, kurių kiekviena prieš tai buvo pakelta kvadratu, sumai. Norėdami parašyti šią formuluotę matematiškai, apsvarstykite statųjį trikampį, kurio kraštinės a, b ir c yra atitinkamai dvi kojos ir hipotenuzė. Šiuo atveju teorema, kuri nurodyta kaip hipotenuzės kvadratas yra lygi kojų kvadratų sumai, gali būti pavaizduota tokia formule: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Iš čia galima gauti kitas praktikai svarbias formules: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) ir c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Atkreipkite dėmesį, kad stačiakampio lygiašonio trikampio atveju, ty a=b, formuluotė: hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų, kurių kiekvienakvadratas, matematiškai parašytas taip: c²=a² + b²=2a ^{2, o tai reiškia lygybę: c=a√2.}

Istorijos fonas

Pitagoro teorema, teigianti, kad hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų, kurių kiekviena yra kvadratinė, sumai, buvo žinoma gerokai anksčiau, nei garsus graikų filosofas atkreipė į ją dėmesį. Daugelis senovės Egipto papirusų, taip pat babiloniečių molio lentelių patvirtina, kad šios tautos naudojo pažymėtą stačiakampio trikampio kraštinių savybę. Pavyzdžiui, viena pirmųjų Egipto piramidžių Khafre piramidė, kurios statyba siekia 26 a. pr. Kr. (2000 metų iki Pitagoro gyvenimo), buvo pastatyta remiantis žiniomis apie kraštinių santykį 3x4x5 stačiakampiame trikampyje.

Kodėl teorema dabar pavadinta graiko vardu? Atsakymas paprastas: Pitagoras pirmasis matematiškai įrodė šią teoremą. Išlikę babiloniečių ir egiptiečių raštai tik mini jo vartojimą, bet nepateikia jokių matematinių įrodymų.

Manoma, kad Pitagoras įrodė nagrinėjamą teoremą naudodamas panašių trikampių savybes, kurias jis gavo nubrėžęs aukštį stačiakampyje iš kampo 90o į hipotenuzė.

Pitagoro teoremos naudojimo pavyzdys

Apsvarstykite paprastą uždavinį: būtina nustatyti pasvirusių laiptų ilgį L, jei žinoma, kad jų aukštis H=3metrų, o atstumas nuo sienos, į kurią remiasi kopėčios, iki kojos yra P=2,5 metro.

Šiuo atveju H ir P yra kojos, o L yra hipotenuzė. Kadangi hipotenuzės ilgis yra lygus kojų kvadratų sumai, gauname: L²=H² + P 2^{, iš kur L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 metrai arba 3 metrai ir 90,5 cm.}