Matematika iš esmės yra abstraktus mokslas, jei nutolsime nuo elementarių sąvokų. Taigi ant poros obuolių galite vizualiai pavaizduoti pagrindines matematikos operacijas, tačiau kai tik veiklos plokštuma išsiplečia, šių objektų nebeužtenka. Ar kas nors bandė pavaizduoti operacijas su begaliniais obuoliais? Štai ir reikalas, ne. Kuo sudėtingesnės tapo sąvokos, su kuriomis matematika veikia savo sprendimuose, tuo problemiškesnė atrodė jų vizualinė išraiška, kuri būtų skirta palengvinti supratimą. Tačiau ir šiuolaikinių studentų, ir apskritai mokslo laimei buvo išvesti Eulerio apskritimai, kurių pavyzdžius ir galimybes nagrinėsime toliau.
Šiek tiek istorijos
1707 m. balandžio 17 d. pasaulis padovanojo mokslui Leonhardą Eulerį – nuostabų mokslininką, kurio indėlio į matematiką, fiziką, laivų statybą ir net muzikos teoriją negalima pervertinti.
Jo darbai pripažinti ir paklausūs visame pasaulyje iki šių dienų, nepaisant to, kad mokslas nestovi vietoje. Ypač įdomu tai, kad P. Euleris tiesiogiai dalyvavo kuriant rusų aukštosios matematikos mokyklą, juolab kad likimo valia į mūsų valstybę grįžo du kartus. Mokslininkas turėjo unikalų sugebėjimą sukurti skaidrius savo logikos algoritmus, per trumpiausią laiką nukirsdamas viską, kas nereikalinga, ir pereinant nuo bendro prie konkretaus. Mes neišvardinsime visų jo nuopelnų, nes tai užtruks daug laiko, o mes pereisime tiesiai prie straipsnio temos. Būtent jis pasiūlė naudoti grafinį operacijų atvaizdavimą aibėse. Eulerio apskritimai gali įsivaizduoti bet kokios, net ir pačios sudėtingiausios problemos sprendimą.
Kokia prasmė?
Praktikoje Eulerio apskritimai, kurių schema parodyta žemiau, gali būti naudojami ne tik matematikoje, nes „aibės“sąvoka būdinga ne tik šiai disciplinai. Taigi jie sėkmingai taikomi valdant.
Aukščiau pateiktoje diagramoje pavaizduoti aibių A (neracionalieji skaičiai), B (racionalieji skaičiai) ir C (natūralūs skaičiai) santykiai. Apskritimai rodo, kad aibė C yra įtraukta į aibę B, o rinkinys A jokiu būdu nesikerta su jais. Pavyzdys yra paprasčiausias, tačiau jame aiškiai paaiškinama „aibių santykių“specifika, kuri yra pernelyg abstrakti, kad būtų galima realiai palyginti, jau vien dėl savo begalybės.
Logikos algebra
Ši sritismatematinė logika veikia su teiginiais, kurie gali būti teisingi ir klaidingi. Pavyzdžiui, iš elementarios: skaičius 625 dalijasi iš 25, skaičius 625 dalijasi iš 5, skaičius 625 yra pirminis. Pirmasis ir antrasis teiginiai yra teisingi, o paskutinis yra klaidingas. Žinoma, praktiškai viskas yra sudėtingiau, bet esmė parodyta aiškiai. Ir, žinoma, Eulerio apskritimai vėl įtraukiami į sprendimą, jų naudojimo pavyzdžiai yra pernelyg patogūs ir vaizdingi, kad į juos būtų neatsižvelgta.
Šiek tiek teorijos:
- Tegul aibės A ir B egzistuoja ir nėra tušti, tada jiems nustatomos šios sankirtos, jungties ir neigimo operacijos.
- Aibių A ir B sankirta susideda iš elementų, kurie vienu metu priklauso ir aibei A, ir aibei B.
- Aibių A ir B sąjunga susideda iš elementų, priklausančių aibei A arba aibei B.
- Aibės A neigimas yra aibė, susidedanti iš elementų, kurie nepriklauso aibei A.
Visa tai logika vėl pavaizduota Eulerio apskritimais, nes su jų pagalba kiekviena užduotis, nepaisant sudėtingumo laipsnio, tampa akivaizdi ir vaizdinga.
Logikos algebros aksiomos
Tarkime, kad 1 ir 0 egzistuoja ir yra apibrėžti aibėje A, tada:
- Aibės A neigimo neigimas yra nustatytas A;
- Aibės A jungtis su not_A yra 1;
- Aibės jungtis su 1 yra 1;
- aibės A jungtis su savimi yra aibė A;
- A rinkinio jungtissu 0 yra rinkinys A;
- Aibės A sankirta su not_A yra 0;
- aibės A sankirta su savimi yra nustatyta A;
- Aibės sankirta su 0 yra 0;
- Aibės A sankirta su 1 yra nustatyta A.
Pagrindinės logikos algebros savybės
Tegul rinkiniai A ir B egzistuoja ir nėra tušti, tada:
- aibių A ir B susikirtimui ir sujungimui taikomas komutacinės dėsnis;
- kombinavimo dėsnis taikomas aibių A ir B sankirtai ir sąjungai;
- paskirstymo dėsnis taikomas aibių A ir B sankirtai ir sąjungai;
- aibių A ir B sankirtos neigimas yra aibių A ir B neigimų sankirta;
- aibių A ir B sąjungos neigimas yra aibių A ir B neigimų sąjunga.
Toliau rodomi Eulerio apskritimai, aibių A, B ir C sankirtos ir sąjungos pavyzdžiai.
Perspektyvos
Leonhardo Eulerio darbai pagrįstai laikomi šiuolaikinės matematikos pagrindu, tačiau dabar jie sėkmingai naudojami žmonių veiklos srityse, kurios atsirado palyginti neseniai, pavyzdžiui, įmonių valdymą: Eulerio apskritimai, pavyzdžiai ir grafikai apibūdina kūrimo modeliai, nesvarbu, ar tai būtų rusiška, ar anglų-amerikietiška versija.
