Matematikoje yra „aibės“sąvoka, taip pat tų pačių aibių palyginimo pavyzdžiai. Aibių palyginimo tipų pavadinimai yra šie žodžiai: bijekcija, injekcija, surjekcija. Kiekvienas iš jų išsamiau aprašytas toliau.
Bijekcija yra… kas tai?
Viena pirmosios rinkinio elementų grupė yra suderinama su antrąja elementų grupe iš antrojo rinkinio šioje formoje: kiekvienas pirmosios grupės elementas tiesiogiai suderinamas su kitu antrosios grupės elementu, ir nėra situacijos, kai trūksta arba išvardijamos bet kurios ar iš dviejų rinkinių grupių elementų.
Pagrindinių savybių formuluotė:
- Vienas elementas prie vieno.
- Atitinkant nėra papildomų elementų ir išsaugoma pirmoji savybė.
- Galima pakeisti atvaizdavimą išlaikant bendrą vaizdą.
- Bijekcija yra injekcinė ir surjekcinė funkcija.
Bijekcijos moksliniu požiūriu
Bijektyvios funkcijos yra tiksliai izomorfizmas kategorijoje „Funkcijų rinkinys ir rinkinys“. Tačiau bijekcijos ne visada yra sudėtingesnių kategorijų izomorfizmas. Pavyzdžiui, tam tikroje grupių kategorijoje morfizmai turi būti homomorfizmai, nes jie turi išsaugoti grupės struktūrą. Todėl izomorfizmai yra grupiniai izomorfizmai, kurie yra bijektyvūs homomorfizmai.
Sąvoka „vienas su vienu atitikimas“apibendrinta dalinėms funkcijoms, kur jos vadinamos dalinėmis išmetimais, nors dalinis bijekcija turėtų būti injekcija. Šio atsipalaidavimo priežastis yra ta, kad dalinė (tinkama) funkcija nebėra apibrėžta daliai jos srities. Taigi nėra jokios rimtos priežasties apriboti atvirkštinę funkciją iki visiškos, ty apibrėžtos visur jos srityje. Visų dalinių bijekcijų rinkinys tam tikroje bazinėje aibėje vadinamas simetriška atvirkštine pusgrupe.
Kitas būdas apibrėžti tą pačią sąvoką: verta pasakyti, kad dalinė aibių bijekcija nuo A iki B yra bet koks santykis R (dalinė funkcija) su savybe, kad R yra bijekcijos grafikas f:A'→B ' kur A' yra A poaibis, o B' yra B poaibis.
Kai dalinė bijekcija yra toje pačioje aibėje, ji kartais vadinama daline transformacija vienas su vienu. Pavyzdys yra Möbius transformacija, ką tik apibrėžta kompleksinėje plokštumoje, o ne jos užbaigimas išplėstinėje kompleksinėje plokštumoje.
Injekcija
Viena pirmojo rinkinio elementų grupė suderinama su antrąja elementų grupe iš antrojo rinkinio šioje formoje: kiekvienas pirmosios grupės elementas suderinamas su kitu vienu antrosios grupės elementu, bet ne visi jie paverčiami poromis. Nesuporuotų elementų skaičius priklauso nuo tų pačių elementų skaičiaus skirtumo kiekvienoje iš aibių: jei vieną aibę sudaro trisdešimt vienas elementas, o kitas turi dar septynis, tai nesuporuotų elementų skaičius yra septyni. Nukreiptas įpurškimas į rinkinį. Bijekcija ir įpurškimas yra panašūs, bet ne daugiau kaip panašūs.
Įtarimas
Viena pirmosios aibės elementų grupė suderinama su antrąja elementų grupe iš antrojo rinkinio tokiu būdu: kiekvienas bet kurios grupės elementas sudaro porą, net jei elementų skaičius skiriasi. Iš to išplaukia, kad vienas elementas iš vienos grupės gali susieti su keliais kitos grupės elementais.
Nei dviobjektyvi, nei injekcinė, nei surjekcinė funkcija
Tai dviobjektyvios ir surjektyvios formos funkcija, bet su likusia dalimi (nesuporuota)=> injekcija. Tokioje funkcijoje yra akivaizdus ryšys tarp bijekcijos ir surjekcijos, nes ji tiesiogiai apima šių dviejų tipų rinkinių palyginimus. Taigi visų šių funkcijų visuma nėra viena iš jų atskirai.
Visų rūšių funkcijų paaiškinimas
Pavyzdžiui, stebėtoją žavi šie dalykai. Vyksta šaudymo iš lanko varžybos. Kiekvienas išdalyviai nori pataikyti į taikinį (siekiant palengvinti užduotį: neatsižvelgiama į tai, kur tiksliai pataikė strėlė). Tik trys dalyviai ir trys taikiniai – tai pirmoji turnyro vieta (svetainė). Vėlesnėse atkarpose lankininkų skaičius išsaugomas, tačiau taikinių skaičius keičiamas: antrajame – keturi taikiniai, kitame – taip pat keturi, o ketvirtame – penki. Kiekvienas dalyvis šaudo į kiekvieną taikinį.
- Pirmoji turnyro vieta. Pirmasis lankininkas pataiko tik į vieną taikinį. Antrasis pataiko tik į vieną taikinį. Trečiasis kartojasi po kitų, ir visi lankininkai pataikė į skirtingus taikinius: tuos, kurie yra priešais juos. Dėl to 1 (pirmasis lankininkas) pataikė į taikinį (a), 2 - į (b), 3 - į (c). Pastebima tokia priklausomybė: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Bus padaryta išvada, kad toks aibių palyginimas yra bijekcija.
- Antra turnyro platforma. Pirmasis lankininkas pataiko tik į vieną taikinį. Antrasis taip pat pataiko tik į vieną taikinį. Trečias tikrai nesistengia ir kartoja viską po kitų, bet sąlyga ta pati – visi lankininkai pataikė į skirtingus taikinius. Tačiau, kaip minėta anksčiau, antroje platformoje jau yra keturi taikiniai. Priklausomybė: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - nesuporuotas aibės elementas. Šiuo atveju bus padaryta išvada, kad toks rinkinio palyginimas yra injekcija.
- Trečioji turnyro vieta. Pirmasis lankininkas pataiko tik į vieną taikinį. Antrasis vėl pataiko tik į vieną taikinį. Trečiasis nusprendžia susigriebti ir pataiko į trečią bei ketvirtą taikinius. Dėl to priklausomybė: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Čia bus padaryta išvada, kad toks aibių palyginimas yra išgalvota.
- Ketvirtoji turnyro platforma. Su pirmuoju jau viskas aišku, jis pataiko tik į vieną taikinį, kuriame jau greitai nebeliks vietos ir taip pabodusiems smūgiams. Dabar antrasis prisiima dar neseno trečdalio vaidmenį ir vėl pataiko tik į vieną taikinį, kartodamas po pirmojo. Trečiasis toliau valdo save ir nesiliauja įvedęs savo strėlę į trečiąjį ir ketvirtąjį taikinį. Tačiau penktasis jo vis tiek negalėjo kontroliuoti. Taigi, priklausomybė: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - nesuporuotas taikinių rinkinio elementas. Išvada: toks aibių palyginimas nėra išmetimas, ne injekcija ir ne bijekcija.
Dabar sukurti bijekciją, įpurškimą ar išmetimą nebus problemų, taip pat rasti skirtumus tarp jų.
