Dujų agreguotos medžiagos būsenos savybių tyrimas yra viena iš svarbių šiuolaikinės fizikos sričių. Atsižvelgiant į dujas mikroskopiniu mastu, galima gauti visus makroskopinius sistemos parametrus. Šiame straipsnyje bus atskleistas svarbus dujų molekulinės kinetinės teorijos klausimas: koks yra Maksvelo molekulių pasiskirstymas pagal greičius.
Istorijos fonas
Dujų, kaip mikroskopinių judančių dalelių sistemos, idėja kilo senovės Graikijoje. Prireikė daugiau nei 1700 metų, kol mokslas jį sukūrė.
Šiuolaikinės molekulinės-kinetinės dujų teorijos (MKT) įkūrėjas yra teisingas laikyti Daniil Bernoulli. 1738 m. išleido veikalą „Hidrodinamika“. Jame Bernoulli išdėstė MKT idėjas, kurios naudojamos iki šiol. Taigi mokslininkas manė, kad dujos susideda iš dalelių, kurios atsitiktinai juda visomis kryptimis. Daugybė susidūrimųdalelės su indo sienelėmis suvokiamos kaip slėgio buvimas dujose. Dalelių greitis yra glaudžiai susijęs su sistemos temperatūra. Mokslo bendruomenė nepriėmė drąsių Bernoulli idėjų, nes energijos tvermės dėsnis dar nebuvo nustatytas.
Vėliau daugelis mokslininkų kūrė kinetinį dujų modelį. Tarp jų pažymėtinas Rudolfas Clausius, kuris 1857 metais sukūrė paprastą dujų modelį. Joje mokslininkas ypatingą dėmesį skyrė transliacinių, sukimosi ir vibracinių laisvės laipsnių buvimui molekulėse.
1859 m., tyrinėdamas Clausiaus darbus, Jamesas Maxwellas suformulavo vadinamąjį Maksvelo pasiskirstymą pagal molekulinius greičius. Tiesą sakant, Maxwellas patvirtino MKT idėjas, paremdamas jas matematiniu aparatu. Vėliau Ludwigas Boltzmannas (1871) apibendrino Maksvelo skirstinio išvadas. Jis postulavo bendresnį statistinį molekulių pasiskirstymą pagal greitį ir energiją. Šiuo metu jis žinomas kaip Maxwell-Boltzmann paskirstymas.
Idealios dujos. Pagrindiniai ILC postulatai
Norėdami suprasti, kas yra Maxwell paskirstymo funkcija, turite aiškiai suprasti sistemas, kurioms ši funkcija taikoma. Mes kalbame apie idealias dujas. Fizikoje ši sąvoka suprantama kaip skysta medžiaga, susidedanti iš praktiškai bematių dalelių, kurios neturi potencialios energijos. Šios dalelės juda dideliu greičiu, todėl jų elgesį visiškai lemia kinetinė energija. Be to, atstumai tarp dalelių yra per didelipalyginti su jų dydžiais, todėl pastarieji yra nepaisomi.
Idealios dujos aprašytos MKT. Pagrindiniai jo postulatai yra tokie:
- dujų sistemos sudarytos iš daugybės laisvųjų dalelių;
- dalelės atsitiktinai juda skirtingu greičiu skirtingomis kryptimis tiesiomis trajektorijomis;
- dalelės elastingai susiduria su kraujagyslės sienelėmis (dalelių susidūrimo viena su kita tikimybė yra maža dėl mažo dydžio);
- Sistemos temperatūrą vienareikšmiškai lemia vidutinė dalelių kinetinė energija, kuri išsaugoma laiku, jei sistemoje susidaro termodinaminė pusiausvyra.
Maksvelo paskirstymo įstatymas
Jei žmogus turėtų instrumentą, su kuriuo būtų galima išmatuoti vienos dujų molekulės greitį, tada, atlikęs atitinkamą eksperimentą, jis nustebtų. Eksperimentas parodytų, kad kiekviena bet kurios dujinės sistemos molekulė juda visiškai savavališku greičiu. Tokiu atveju vienoje sistemoje, esančioje šiluminėje pusiausvyroje su aplinka, būtų aptiktos ir labai lėtos, ir labai greitos molekulės.
Dujų molekulių greičio pasiskirstymo Maksvelo dėsnis yra įrankis, leidžiantis nustatyti tikimybę, kad tiriamoje sistemoje bus aptiktos dalelės, kurių greitis v. Atitinkama funkcija atrodo taip:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
Šioje išraiškoje m -dalelės (molekulės) masė, k - Boltzmanno konstanta, T - absoliuti temperatūra. Taigi, jei žinoma dalelių cheminė prigimtis (m reikšmė), tai funkcija f(v) yra vienareikšmiškai nulemta absoliučios temperatūros. Funkcija f(v) vadinama tikimybių tankiu. Jeigu iš jo imsime integralą kokiai nors greičio ribai (v; v+dv), tai gausime dalelių skaičių Ni, kurios turi greičius nurodytame intervale. Atitinkamai, jei paimsime tikimybės tankio f(v) integralą greičio riboms nuo 0 iki ∞, tai gausime bendrą molekulių N skaičių sistemoje.
Tikimybių tankio f(v) grafinis vaizdas
Tikimybės tankio funkcija turi šiek tiek sudėtingą matematinę formą, todėl nėra lengva pateikti jos elgseną tam tikroje temperatūroje. Šią problemą galima išspręsti, jei pavaizduosite ją dvimačiame grafike. Scheminis Maksvelo pasiskirstymo grafiko vaizdas parodytas žemiau esančiame paveikslėlyje.
Matome, kad jis prasideda nuo nulio, nes molekulių greitis v negali turėti neigiamų verčių. Grafikas baigiasi kažkur didelių greičių srityje, sklandžiai krentant iki nulio (f(∞)->0). Taip pat stebina ši savybė: lygi kreivė yra asimetriška, važiuojant mažu greičiu ji staigiau mažėja.
Svarbi tikimybės tankio funkcijos f(v) veikimo ypatybė yra vieno ryškaus maksimumo buvimas joje. Pagal fizinę funkcijos reikšmę šis maksimumas atitinka labiausiai tikėtiną molekulių greičių reikšmę dujosesistema.
Svarbus funkcijos f(v) greitis
Tikimybės tankio funkcija f(v) ir jos grafinis vaizdas leidžia apibrėžti tris svarbius greičio tipus.
Pirmasis greitis, kuris yra akivaizdus ir kuris buvo paminėtas aukščiau, yra labiausiai tikėtinas greitis v1. Grafike jo reikšmė atitinka funkcijos f(v) maksimumą. Būtent šis greitis ir jam artimos vertės turės daugumą sistemos dalelių. Ją apskaičiuoti nesunku, tam pakanka paimti pirmąją išvestinę funkcijos f(v) greičio atžvilgiu ir prilyginti ją nuliui. Dėl šių matematinių operacijų gauname galutinį rezultatą:
v1=√(2RT/M).
Čia R yra universali dujų konstanta, M yra molekulių molinė masė.
Antrojo tipo greitis yra jo vidutinė visų N dalelių vertė. Pažymime jį v2. Jį galima apskaičiuoti integruojant funkciją vf(v) visais greičiais. Pažymėto integravimo rezultatas bus tokia formulė:
v2=√(8RT/(piM)).
Kadangi santykis yra 8/pi>2, vidutinis greitis visada yra šiek tiek didesnis nei labiausiai tikėtinas.
Kiekvienas šiek tiek apie fiziką išmanantis žmogus supranta, kad vidutinis molekulių greitis v2 turi būti labai svarbus dujų sistemoje. Tačiau tai klaidinga prielaida. Daug svarbiau yra RMS greitis. Pažymėkime taiv3.
Pagal apibrėžimą, vidutinis kvadratinis greitis yra visų dalelių atskirų greičių kvadratų suma, padalyta iš šių dalelių skaičiaus ir paimama kaip kvadratinė šaknis. Jį galima apskaičiuoti Maksvelo skirstiniui, jei apibrėžiame visų funkcijos v2f(v) greičių integralą. Vidutinio kvadratinio greičio formulė bus tokia:
v3=√(3RT/M).
Lygybė rodo, kad šis greitis yra didesnis nei v2 ir v1 bet kuriai dujų sistemai.
Taigi, visi Maksvelo pasiskirstymo grafiko greičių tipai yra arba ekstremumoje, arba dešinėje nuo jo.
3 versijos svarba
Aukščiau buvo pažymėta, kad vidutinis kvadratinis greitis yra svarbesnis norint suprasti dujų sistemos fizikinius procesus ir savybes, nei paprastas vidutinis greitis v2. Tai tiesa, nes idealių dujų kinetinė energija priklauso būtent nuo v3, o ne nuo v2.
Jei laikysime monatomines idealias dujas, tada joms tinka ši išraiška:
mv32/2=3/2kT.
Čia kiekviena lygties dalis parodo vienos m masės dalelės kinetinę energiją. Kodėl reiškinyje yra tiksliai reikšmė v3, o ne vidutinis greitis v2? Labai paprasta: nustatant kiekvienos dalelės kinetinę energiją, jos individualus greitis v statomas kvadratu, tada visi greičiaiyra sudedami ir padalyti iš dalelių skaičiaus N. Tai yra, pati kinetinės energijos nustatymo procedūra lemia vidutinio kvadratinio greičio reikšmę.
Funkcijos f(v) priklausomybė nuo temperatūros
Aukščiau nustatėme, kad molekulinių greičių tikimybės tankis vienareikšmiškai priklauso nuo temperatūros. Kaip pasikeis funkcija, jei T bus padidintas arba sumažintas? Toliau pateikta diagrama padės atsakyti į šį klausimą.
Matyti, kad uždaros sistemos įkaitimas veda prie smailės išsitepimo ir jos poslinkio į didesnį greitį. Padidėjus temperatūrai, didėja visų tipų greičiai ir sumažėja kiekvieno iš jų tikimybės tankis. Didžiausia vertė mažėja dėl dalelių N skaičiaus išsaugojimo uždaroje sistemoje.
Toliau išspręsime porą uždavinių, kad gautą teorinę medžiagą konsoliduotume.
Problema dėl azoto molekulių ore
Reikia apskaičiuoti greičius v1, v2 ir v3 oro azotui esant 300 K temperatūrai (apie 27 oC).
Azoto molinė masė N2 yra 28 g/mol. Naudodami aukščiau pateiktas formules gauname:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Deguonies bako problema
Deguonis balione buvo tam tikros temperatūros T1. Tada balionas buvo patalpintas į š altesnę patalpą. Kaip pasikeis Maksvelo greičio pasiskirstymo grafikas deguonies molekulėms, kai sistema pasieks termodinaminę pusiausvyrą?
Prisimindami teoriją, į problemos klausimą galime atsakyti taip: sumažės visų tipų molekulių greičių reikšmės, funkcijos f(v) pikas pasislinks į kairę, tapti siauresnis ir aukštesnis.
