1900 m. vienas didžiausių praėjusio amžiaus mokslininkų Davidas Hilbertas sudarė 23 neišspręstų matematikos problemų sąrašą. Darbas su jais turėjo didžiulį poveikį šios žmogaus žinių srities plėtrai. Po 100 metų Clay Mathematical Institute pateikė 7 problemų, žinomų kaip Tūkstantmečio problemos, sąrašą. Kiekvienam iš jų buvo pasiūlytas 1 milijono dolerių prizas.
Vienintelė problema, atsiradusi tarp abiejų galvosūkių sąrašų, kurie mokslininkus persekioja daugiau nei vieną šimtmetį, buvo Riemanno hipotezė. Ji vis dar laukia savo sprendimo.
Trumpa biografinė pastaba
Georgas Friedrichas Bernhardas Riemannas gimė 1826 m. Hanoveryje, gausioje neturtingo pastoriaus šeimoje ir gyveno tik 39 metus. Jam pavyko išleisti 10 kūrinių. Tačiau jau per savo gyvenimą Riemannas buvo laikomas savo mokytojo Johano Gauso įpėdiniu. Būdamas 25 metų jaunasis mokslininkas apgynė disertaciją „Sudėtingo kintamojo funkcijų teorijos pagrindai“. Vėliau jis suformulavojo garsioji hipotezė.
Pirminiai skaičiai
Matematika atsirado tada, kai žmogus išmoko skaičiuoti. Tuo pačiu metu kilo pirmosios idėjos apie skaičius, kurias vėliau buvo bandoma klasifikuoti. Pastebėta, kad kai kurie iš jų turi bendrų savybių. Visų pirma, tarp natūraliųjų skaičių, t. Jie vadinami paprastais. Elegantišką tokių skaičių aibės begalybės teoremos įrodymą savo „Elementuose“pateikė Euklidas. Šiuo metu jų paieškos tęsiasi. Visų pirma, didžiausias jau žinomas skaičius yra 274 207 281 – 1.
Eulerio formulė
Kartu su pirminių skaičių aibės begalybės samprata Euklidas taip pat nustatė antrąją teoremą apie vienintelį galimą skaidymą į pirminius veiksnius. Pagal ją bet koks teigiamas sveikasis skaičius yra tik vienos pirminių skaičių sandauga. 1737 m. didysis vokiečių matematikas Leonhardas Euleris išreiškė pirmąją Euklido begalybės teoremą kaip žemiau pateiktą formulę.
Tai vadinama zeta funkcija, kur s yra konstanta, o p ima visas pirmines reikšmes. Euklido teiginys apie plėtimosi unikalumą tiesiogiai išplaukė iš to.
Riemann Zeta funkcija
Eulerio formulė, atidžiau pažvelgus, visiškai atitinkastebina, nes apibrėžia pirminių ir sveikųjų skaičių ryšį. Galų gale, be galo daug išraiškų, kurios priklauso tik nuo pirminių skaičių, dauginama jo kairėje pusėje, o su visais teigiamais sveikaisiais skaičiais susieta suma yra dešinėje.
Riemanas nuėjo toliau nei Euleris. Siekdamas rasti raktą į skaičių pasiskirstymo problemą, jis pasiūlė apibrėžti tiek realiųjų, tiek kompleksinių kintamųjų formulę. Būtent ji vėliau gavo Riemann zeta funkcijos pavadinimą. 1859 m. mokslininkas paskelbė straipsnį „Apie pirminių skaičių, neviršijančių duotosios reikšmės, skaičių“, kuriame apibendrino visas savo idėjas.
Riemanas pasiūlė naudoti Eulerio seriją, kuri sutampa su bet kokiam tikram s>1. Jei ta pati formulė naudojama kompleksiniams s, tai serija suartės bet kuriai šio kintamojo reikšmei, kurios tikroji dalis yra didesnė nei 1. Riemannas pritaikė analitinę tęsimo procedūrą, išplėsdamas zeta(-ų) apibrėžimą visiems kompleksiniams skaičiams, tačiau „išmetė“įrenginį. Ji buvo atmesta, nes esant s=1, zeta funkcija padidėja iki begalybės.
Praktinis pojūtis
Kyla logiškas klausimas: kodėl zeta funkcija, kuri yra svarbiausia Riemanno darbe dėl nulinės hipotezės, yra įdomi ir svarbi? Kaip žinote, šiuo metu nėra nustatyto paprasto modelio, kuris apibūdintų pirminių skaičių pasiskirstymą tarp natūraliųjų skaičių. Riemannas sugebėjo atrasti, kad pirminių skaitmenų, neviršijančių x, skaičius pi(x) išreiškiamas netrivialių zeta funkcijos nulių pasiskirstymu. Be to, Riemann hipotezė yrabūtina sąlyga norint įrodyti laiko įverčius kai kurių kriptografinių algoritmų veikimui.
Riemano hipotezė
Viena iš pirmųjų šios matematinės problemos formuluočių, kuri iki šiol nebuvo įrodyta, skamba taip: netrivialios 0 zeta funkcijos yra kompleksiniai skaičiai, kurių tikroji dalis lygi ½. Kitaip tariant, jie yra tiesėje Re s=½.
Taip pat yra apibendrinta Riemann hipotezė, kuri yra tas pats teiginys, bet skirtas zeta funkcijų apibendrinimams, kurios paprastai vadinamos Dirichlet L funkcijomis (žr. nuotrauką žemiau).
Formulėje χ(n) - koks nors skaitinis simbolis (modulo k).
Riemano teiginys laikomas vadinamąja nuline hipoteze, nes buvo patikrintas jo suderinamumas su esamais pavyzdiniais duomenimis.
Kaip teigė Riemannas
Vokiečių matematiko pastaba iš pradžių buvo suformuluota gana atsainiai. Faktas yra tas, kad tuo metu mokslininkas ketino įrodyti pirminių skaičių pasiskirstymo teoremą, ir šiame kontekste ši hipotezė neturėjo ypatingos reikšmės. Tačiau jos vaidmuo sprendžiant daugelį kitų problemų yra milžiniškas. Štai kodėl dabar daugelis mokslininkų Riemanno prielaidą pripažįsta kaip svarbiausią iš neįrodytų matematinių problemų.
Kaip jau minėta, pasiskirstymo teoremai įrodyti nereikia visos Riemanno hipotezės ir pakanka logiškai pagrįsti, kad tikroji bet kurio netrivialaus zeta funkcijos nulio dalis yratarp 0 ir 1. Iš šios savybės išplaukia, kad visų zeta funkcijos 0 suma, kuri rodoma tikslioje aukščiau pateiktoje formulėje, yra baigtinė konstanta. Esant didelėms x reikšmėms, jis gali būti visiškai prarastas. Vienintelis formulės narys, kuris išlieka toks pat net ir labai dideliam x, yra pats x. Likę sudėtingi terminai, lyginant su juo, išnyksta asimptotiškai. Taigi svertinė suma yra x. Šią aplinkybę galima laikyti pirminių skaičių skirstymo teoremos teisingumo patvirtinimu. Taigi Riemano zeta funkcijos nuliai turi ypatingą vaidmenį. Tai reiškia, kad reikia įrodyti, kad tokios reikšmės negali reikšmingai prisidėti prie skaidymo formulės.
Riemano pasekėjai
Tragiška mirtis nuo tuberkuliozės neleido šiam mokslininkui logiškai užbaigti savo programos. Tačiau Sh-Zh perėmė iš jo. de la Vallée Poussin ir Jacques'as Hadamardas. Nepriklausomai vienas nuo kito, jie išvedė pirminių skaičių pasiskirstymo teoremą. Hadamardui ir Poussinui pavyko įrodyti, kad visos nereikšmingos 0 zeta funkcijos yra kritinėje juostoje.
Šių mokslininkų darbo dėka atsirado nauja matematikos kryptis – analitinė skaičių teorija. Vėliau kiti tyrinėtojai gavo keletą primityvesnių teoremos, prie kurios dirbo Riemannas, įrodymų. Visų pirma, Pal Erdős ir Atle Selberg netgi atrado labai sudėtingą tai patvirtinančią loginę grandinę, kuriai nereikėjo naudoti sudėtingos analizės. Tačiau šiuo metu yra keletas svarbiųteoremos, įskaitant daugelio skaičių teorijos funkcijų aproksimacijas. Šiuo atžvilgiu naujasis Erdős ir Atle Selberg darbas praktiškai nieko nepaveikė.
Vieną iš paprasčiausių ir gražiausių problemos įrodymų 1980 m. rado Donaldas Newmanas. Jis buvo pagrįstas garsiąja Koši teorema.
Ar Riemanno hipotezė kelia grėsmę šiuolaikinės kriptografijos pamatams
Duomenų šifravimas atsirado kartu su hieroglifų atsiradimu, tiksliau, juos pačius galima laikyti pirmaisiais kodais. Šiuo metu yra visa skaitmeninės kriptografijos sritis, kuri kuria šifravimo algoritmus.
Pirminiai ir „pusiau pirminiai“skaičiai, t. y. tie, kurie dalijasi tik iš 2 kitų tos pačios klasės skaičių, sudaro viešojo rakto sistemos, žinomos kaip RSA, pagrindą. Jis turi plačiausią pritaikymą. Visų pirma, jis naudojamas generuojant elektroninį parašą. Kalbant apie manekenams prieinamus terminus, Riemano hipotezė teigia, kad egzistuoja pirminių skaičių skirstymo sistema. Taigi kriptografinių raktų, nuo kurių priklauso internetinių operacijų saugumas elektroninės prekybos srityje, stiprumas gerokai sumažėja.
Kitos neišspręstos matematikos problemos
Verta baigti straipsnį, keletą žodžių skiriant kitiems tūkstantmečio tikslams. Tai apima:
- P ir NP klasių lygybė. Problema formuluojama taip: jei teigiamas atsakymas į konkretų klausimą patikrinamas daugianario laiku, tai ar tiesa, kad atsakymas į šį klausimągalima greitai rasti?
- Hodžo spėjimas. Paprastais žodžiais tariant, jį galima suformuluoti taip: kai kurių tipų projektinių algebrinių atmainų (tarpų) atveju Hodge ciklai yra objektų deriniai, turintys geometrinę interpretaciją, t. y. algebriniai ciklai.
- Poincaré spėjimas. Tai vienintelis iki šiol įrodytas tūkstantmečio iššūkis. Pagal ją bet kuris 3 dimensijos objektas, turintis specifines 3 dimensijos sferos savybes, turi būti rutulys iki deformacijos.
- Yang – Mills kvantinės teorijos patvirtinimas. Reikia įrodyti, kad šių mokslininkų pateikta kvantinė teorija erdvei R 4 egzistuoja ir turi 0-ąjį masės defektą bet kuriai paprastai kompaktinių gabaritų grupei G.
- Birch-Swinnerton-Dyer hipotezė. Tai dar viena su kriptografija susijusi problema. Jis liečia elipsines kreives.
- Navier-Stokes lygčių sprendinių egzistavimo ir sklandumo problema.
Dabar žinote Riemann hipotezę. Paprastais žodžiais tariant, suformulavome kai kuriuos kitus tūkstantmečio iššūkius. Ar jie bus išspręsti arba bus įrodyta, kad jie neturi sprendimo, yra laiko klausimas. Be to, vargu ar to teks per ilgai laukti, nes matematika vis dažniau naudojasi kompiuterių skaičiavimo galimybėmis. Tačiau ne viskas priklauso nuo technologijų, o sprendžiant mokslines problemas visų pirma reikia intuicijos ir kūrybiškumo.
