Jėga yra viena iš svarbiausių fizikos sąvokų. Tai sukelia bet kokių objektų būklės pasikeitimą. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime, kokia yra ši vertė, kokios yra jėgos, taip pat parodysime, kaip rasti jėgos projekciją ašyje ir plokštumoje.
Jėga ir jos fizinė reikšmė
Fizikoje jėga yra vektorinis dydis, rodantis kūno judesio pokytį per laiko vienetą. Pagal šį apibrėžimą jėga laikoma dinamine charakteristika. Statikos požiūriu jėga fizikoje yra kūnų tampriosios arba plastinės deformacijos matas.
Tarptautinė SI sistema išreiškia jėgą niutonais (N). Kas yra 1 niutonas, lengviausias būdas suprasti antrojo klasikinės mechanikos dėsnio pavyzdį. Jo matematinė žyma yra tokia:
F¯=ma¯
Čia F¯ yra išorinė jėga, veikianti m masės kūną ir sukelianti pagreitį a¯. Kiekybinis vieno niutono apibrėžimas išplaukia iš formulės: 1 N yra tokia jėga, dėl kurios kūno, kurio masė yra 1 kg, greitis keičiasi 1 m/s per kiekvieną sekundę.
Dinamikos pavyzdžiaijėgos apraiškos yra automobilio ar laisvai krintančio kūno pagreitis žemės gravitaciniame lauke.
Statinis jėgos pasireiškimas, kaip minėta, yra susijęs su deformacijos reiškiniais. Čia turėtų būti pateiktos šios formulės:
F=PS
F=-kx
Pirmoji išraiška sieja jėgą F su slėgiu P, kurį ji daro tam tikram plotui S. Pagal šią formulę 1 N gali būti apibrėžtas kaip 1 paskalio slėgis, taikomas 1 m plote. 2. Pavyzdžiui, atmosferos oro stulpelis jūros lygyje spaudžia vietą 1 m2 105N! jėga.
Antra išraiška yra klasikinė Huko dėsnio forma. Pavyzdžiui, ištempus arba suspaudus spyruoklę tiesine reikšme x, atsiranda priešinga jėga F (išraiškoje k yra proporcingumo koeficientas).
Kokios ten jėgos
Aukščiau jau buvo parodyta, kad jėgos gali būti statinės ir dinaminės. Čia mes sakome, kad be šios savybės, jos gali būti kontaktinės arba ilgo nuotolio jėgos. Pavyzdžiui, trinties jėga, atramos reakcijos yra kontaktinės jėgos. Jų atsiradimo priežastis – Pauli principo galiojimas. Pastarasis teigia, kad du elektronai negali užimti tos pačios būsenos. Štai kodėl dviejų atomų prisilietimas sukelia jų atstūmimą.
Tolimojo nuotolio jėgos atsiranda dėl kūnų sąveikos per tam tikrą nešiklio lauką. Pavyzdžiui, tokios yra gravitacijos jėga arba elektromagnetinė sąveika. Abi galios turi begalinį diapazoną,tačiau jų intensyvumas mažėja kaip atstumo kvadratas (Kulono dėsniai ir gravitacija).
Gala yra vektorinis dydis
Išnagrinėję nagrinėjamo fizikinio dydžio reikšmę, galime pereiti prie jėgos projekcijos ašyje klausimo tyrimo. Visų pirma pažymime, kad šis dydis yra vektorius, tai yra, jam būdingas modulis ir kryptis. Parodysime, kaip apskaičiuoti jėgos modulį ir jo kryptį.
Žinoma, kad bet kurį vektorių tam tikroje koordinačių sistemoje galima apibrėžti vienareikšmiškai, jei žinomos jo pradžios ir pabaigos koordinačių reikšmės. Tarkime, kad yra tam tikras nukreiptas segmentas MN¯. Tada jo kryptį ir modulį galima nustatyti naudojant šias išraiškas:
MN¯=(x2-x1; y2-y 1; z2-z1);
|MN¯|=√((x2-x1)2+ (y2 -y1)2+ (z2-z1 )2).
Čia koordinatės su indeksais 2 atitinka tašką N, tos, kurių indeksai 1 – tašką M. Vektorius MN¯ nukreiptas iš M į N.
Bendrumo sumetimais parodėme, kaip rasti vektoriaus modulį ir koordinates (kryptį) trimatėje erdvėje. Panašios formulės be trečiosios koordinatės galioja ir plokštumos atveju.
Taigi jėgos modulis yra jo absoliuti vertė, išreikšta niutonais. Geometrijos požiūriu modulis yra nukreiptos atkarpos ilgis.
Kokia yra jėgos projekcijaašis?
Patogiausia kalbėti apie nukreiptų atkarpų projekcijas į koordinačių ašis ir plokštumas, jei pirmiausia atitinkamą vektorių patalpinsite į pradžią, ty į tašką (0; 0; 0). Tarkime, kad turime jėgos vektorių F¯. Padėkime jo pradžią taške (0; 0; 0), tada vektoriaus koordinates galima užrašyti taip:
F¯=((x1- 0); (y1- 0); (z1 - 0))=(x1; y1; z1).
Vektorius F¯ parodo jėgos kryptį erdvėje duotoje koordinačių sistemoje. Dabar nubrėžkime statmenas atkarpas nuo F¯ galo iki kiekvienos ašies. Atstumas nuo statmens susikirtimo su atitinkama ašimi taško iki pradžios vadinamas jėgos projekcija ašyje. Nesunku atspėti, kad jėgos F¯ atveju jos projekcijos x, y ir z ašyse bus x1, y1 ir z 1, atitinkamai. Atkreipkite dėmesį, kad šios koordinatės rodo jėgos projekcijų modulius (atkarpų ilgį).
Kampai tarp jėgos ir jos projekcijų koordinačių ašyse
Apskaičiuoti šiuos kampus nėra sunku. Jai išspręsti tereikia žinių apie trigonometrinių funkcijų savybes ir gebėjimą taikyti Pitagoro teoremą.
Pavyzdžiui, apibrėžkime kampą tarp jėgos krypties ir jos projekcijos x ašyje. Atitinkamą statųjį trikampį sudarys hipotenuzė (vektorius F¯) ir kojelė (segmentas x1). Antrasis atstumas yra atstumas nuo vektoriaus F¯ galo iki x ašies. Kampas α tarp F¯ ir x ašies apskaičiuojamas pagal formulę:
α=arkos(|x1|/|F¯|)=arkos (x1/√(x) 12+y12+z1 2)).
Kaip matote, norint nustatyti kampą tarp ašies ir vektoriaus, būtina ir pakanka žinoti nukreiptos atkarpos pabaigos koordinates.
Kamuose su kitomis ašimis (y ir z) galite parašyti panašias išraiškas:
β=arccos(|y1|/|F¯|)=arccos(y1/√(x 12+y12+z 12));
γ=arccos(|z1|/|F¯|)=arccos(z1/√(x) 12+y12+z 12)).
Atkreipkite dėmesį, kad visose formulėse skaitikliuose yra modulių, todėl nerodomi buki kampai. Tarp jėgos ir jos ašinių projekcijų kampai visada yra mažesni arba lygūs 90o.
Jėga ir jos projekcijos koordinačių plokštumoje
Jėgos projekcijos į plokštumą apibrėžimas yra toks pat kaip ir ašies, tik šiuo atveju statmenas turi būti nuleistas ne į ašį, o į plokštumą.
Erdvinės stačiakampės koordinačių sistemos atveju turime tris viena kitai statmenas plokštumas xy (horizontali), yz (priekinė vertikali), xz (šoninė vertikali). Statmenų, nukritusių iš vektoriaus galo į nurodytas plokštumas, susikirtimo taškai yra:
(x1; y1; 0) xy;
(x1; 0; z1) xz;
(0; y1; z1) zy.
Jei kiekvienas pažymėtas taškas yra prijungtas prie pradžios, tada gauname jėgos F¯ projekciją į atitinkamą plokštumą. Koks yra jėgos modulis, mes žinome. Norėdami rasti kiekvienos projekcijos modulį, turite pritaikyti Pitagoro teoremą. Projekcijas plokštumoje pažymėkime kaip Fxy, Fxz ir Fzy. Tada lygybės galios jų moduliams:
Fxy=√(x12+y1 2);
Fxz=√(x12+ z1 2);
Fzy=√(y12+ z1 2).
Kampai tarp projekcijų į plokštumą ir jėgos vektoriaus
Aukščiau pateiktoje pastraipoje buvo pateiktos formulės projekcijų moduliams į nagrinėjamo vektoriaus F¯ plokštumą. Šios projekcijos kartu su atkarpa F¯ ir atstumu nuo jos galo iki plokštumos sudaro stačiuosius trikampius. Todėl, kaip ir projekcijų ant ašies atveju, atitinkamiems kampams apskaičiuoti galite naudoti trigonometrinių funkcijų apibrėžimą. Galite parašyti šias lygybes:
α=arkos(Fxy/|F¯|)=arkos(√(x12 +y12) /√(x12 +y12+z12));
β=arkos(Fxz/|F¯|)=arkos(√(x12 +z12)/√(x12 +y12+z12));
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(√(y12+z12)/√(x12+y12 +z12)).
Svarbu suprasti, kad kampas tarp jėgos F¯ krypties ir jos atitinkamos projekcijos į plokštumą yra lygus kampui tarp F¯ ir šios plokštumos. Jei nagrinėsime šią problemą geometriniu požiūriu, tai galime pasakyti, kad nukreipta atkarpa F¯ yra pasvirusi plokštumų xy, xz ir zy atžvilgiu.
Kur naudojamos jėgos projekcijos?
Aukščiau pateiktos jėgų projekcijų koordinačių ašyse ir plokštumoje formulės yra svarbios ne tik teoriškai. Jie dažnai naudojami sprendžiant fizines problemas. Pats projekcijų radimo procesas vadinamas jėgos išskaidymu į jos komponentus. Pastarieji yra vektoriai, kurių suma turėtų duoti pradinį jėgos vektorių. Bendruoju atveju jėgą galima išskaidyti į savavališkus komponentus, tačiau sprendžiant uždavinius patogu naudoti projekcijas į statmenas ašis ir plokštumas.
Problemos, kuriose taikoma jėgos projekcijų samprata, gali būti labai skirtingos. Pavyzdžiui, tas pats antrasis Niutono dėsnis daro prielaidą, kad išorinė jėga F¯, veikianti kūną, turi būti nukreipta taip pat, kaip ir greičio vektorius v¯. Jei jų kryptys skiriasi kokiu nors kampu, tai, kad lygybė išliktų, į ją reikėtų pakeisti ne pačią jėgą F¯, o jos projekciją į kryptį v¯.
Toliau pateiksime porą pavyzdžių, kuriuose parodysime, kaip naudoti įrašytąformulės.
Jėgos projekcijų plokštumoje ir koordinačių ašyse nustatymo užduotis
Tarkime, kad yra tam tikra jėga F¯, kurią pavaizduoja vektorius, turintis tokias pabaigos ir pradžios koordinates:
(2; 0; 1);
(-1; 4; -1).
Būtina nustatyti jėgos modulį, taip pat visas jos projekcijas koordinačių ašyse ir plokštumose bei kampus tarp F¯ ir kiekvienos jos projekcijos.
Pradėkime spręsti uždavinį apskaičiuodami vektoriaus F¯ koordinates. Turime:
F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).
Tada jėgos modulis bus:
|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.
Projekcijos į koordinačių ašis yra lygios atitinkamoms vektoriaus F¯ koordinatėms. Apskaičiuokime kampus tarp jų ir F¯ krypties. Turime:
α=arccos (|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14o;
β=arccos (|4|/5, 385) ≈ 42, 03o;
γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20o.
Kadangi žinomos vektoriaus F¯ koordinatės, galima apskaičiuoti jėgų projekcijų modulius koordinačių plokštumoje. Naudodami aukščiau pateiktas formules gauname:
Fxy=√(9 +16)=5 N;
Fxz=√(9 + 4)=3, 606 N;
Fzy=√(16 + 4)=4, 472 N.
Pagaliau belieka apskaičiuoti kampus tarp rastų projekcijų plokštumoje ir jėgos vektoriaus. Turime:
α=arkos(Fxy/|F¯|)=arkos (5/5, 385) ≈ 21, 8o;
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0o;
γ=arkos(Fzy/|F¯|)=arkos (4, 472/5, 385) ≈ 33, 9o.
Taigi vektorius F¯ yra arčiausiai xy koordinačių plokštumos.
Problema dėl slankiojančios juostos pasvirusioje plokštumoje
Dabar išspręskime fizinę problemą, kurioje reikės taikyti jėgos projekcijos sąvoką. Tegu pateikta medinė pasvirusi plokštuma. Jo pasvirimo kampas į horizontą yra 45o. Lėktuve yra medinis blokas, kurio masė yra 3 kg. Būtina nustatyti, kokiu pagreičiu ši juosta judės plokštuma žemyn, jei žinoma, kad slydimo trinties koeficientas yra 0,7.
Pirma, sudarykime kūno judėjimo lygtį. Kadangi jį veiks tik dvi jėgos (gravitacijos projekcija į plokštumą ir trinties jėga), lygtis bus tokia:
Fg- Ff=ma=>
a=(Fg- Ff)/m.
Čia Fg, Ff yra atitinkamai gravitacijos ir trinties projekcija. Tai reiškia, kad užduotis sumažinama iki jų verčių apskaičiavimo.
Kadangi kampas, kuriuo plokštuma yra pasvirusi į horizontą, yra 45o, nesunku parodyti, kad gravitacijos projekcija Fgišilgai plokštumos paviršiaus bus lygus:
Fg=mgsin(45o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 N.
Ši jėgos projekcija siekia sunerimtimedinis blokas ir pagreitinkite.
Pagal apibrėžimą, slydimo trinties jėga yra:
Ff=ΜN
Kur Μ=0, 7 (žr. uždavinio sąlygą). Atramos reakcijos jėga N yra lygi gravitacijos jėgos projekcijai į ašį, statmeną pasvirusiajai plokštumai, tai yra:
N=mgcos(45o)
Tada trinties jėga yra:
Ff=Μmgcos(45o)=0, 739, 81/√2 ≈ 14, 57 N.
Pakeiskite rastąsias jėgas į judėjimo lygtį, gausime:
a=(Fg- Ff)/m=(20,81–14,57)/3=2,08 m/ c2.
Taigi blokas leisis žemyn pasvirusia plokštuma, kas sekundę didindamas savo greitį 2,08 m/s.
