Poliedrai ne tik užima svarbią vietą geometrijoje, bet ir pasitaiko kiekvieno žmogaus kasdieniame gyvenime. Jau nekalbant apie dirbtinai sukurtus namų apyvokos daiktus įvairių daugiakampių pavidalu, pradedant degtukų dėžute ir baigiant architektūriniais elementais, kristalais kubo (druska), prizmės (kristalo), piramidės (scheelito), oktaedro (deimanto) pavidalu, ir tt e.
Daugiakampio samprata, daugiakampių tipai geometrijoje
Geometrijoje kaip moksle yra stereometrijos skyrius, kuriame tiriamos trimačių figūrų charakteristikos ir savybės. Geometriniai kūnai, kurių kraštines trimatėje erdvėje sudaro ribotos plokštumos (veideliai), vadinami „daugiakampiais“. Daugiakampių tipų yra daugiau nei tuzinas atstovų, kurie skiriasi veidų skaičiumi ir forma.
Tačiau visi daugiakampiai turi bendrų savybių:
- Jie visi turi 3 pagrindinius komponentus: veidą(daugiakampio paviršius), viršūnė (kampai, suformuoti veidų sandūroje), briauna (figūros arba atkarpos pusė, suformuota dviejų paviršių sandūroje).
- Kiekviena daugiakampio briauna jungia du ir tik du paviršius, esančius greta vienas kito.
- Išgaubtumas reiškia, kad kūnas yra visiškai išsidėstęs tik vienoje plokštumos pusėje, kurioje guli vienas iš veidų. Taisyklė galioja visiems daugiakampio paviršiams. Tokios geometrinės figūros stereometrijoje vadinamos išgaubtomis daugiakampėmis. Išimtis yra žvaigždės formos daugiakampiai, kurie yra taisyklingų daugiakampių geometrinių kietųjų kūnų dariniai.
Daugiakampės gali būti sąlyginai skirstomos į:
- Išgaubtų daugiakampių tipai, susidedantys iš šių klasių: paprastoji arba klasikinė (prizmė, piramidė, gretasienis), taisyklinga (taip pat vadinama platoniniais kietaisiais kūnais), pusiau taisyklinga (antrasis pavadinimas – Archimedo kietieji kūnai).
- Neišgaubtas daugiakampis (žvaigždės formos).
Prizmė ir jos savybės
Stereometrija kaip geometrijos šaka tiria trimačių figūrų savybes, daugiakampių tipus (viena iš jų yra prizmė). Prizmė yra geometrinis kūnas, kuris būtinai turi du visiškai identiškus paviršius (jie taip pat vadinami pagrindais), esančius lygiagrečiose plokštumose, ir n-ąjį skaičių šoninių paviršių lygiagretainių pavidalu. Savo ruožtu prizmė taip pat turi keletą atmainų, įskaitant tokius daugiakampio tipus kaip:
- Lygiagretainis – susidaro, jei pagrindas yra lygiagretainis –daugiakampis su 2 poromis vienodų priešingų kampų ir 2 poromis sutampančių priešingų kraštinių.
- Tiesios prizmės briaunos yra statmenos pagrindui.
- Pakreipta prizmė pasižymi nestačiaisiais kampais (išskyrus 90) tarp paviršių ir pagrindo.
- Taisyklingajai prizmei būdingi taisyklingo daugiakampio formos pagrindai su vienodais šoniniais paviršiais.
Pagrindinės prizmės savybės:
- Suderintos bazės.
- Visos prizmės briaunos yra lygios ir lygiagrečios viena kitai.
- Visi šoniniai paviršiai yra lygiagretainio formos.
Piramidė
Piramidė yra geometrinis kūnas, susidedantis iš vieno pagrindo ir n-ojo skaičiaus trikampių paviršių, sujungtų viename taške – viršuje. Reikėtų pažymėti, kad jei piramidės šoniniai paviršiai būtinai pavaizduoti trikampiais, tada pagrindas gali būti arba trikampis daugiakampis, arba keturkampis, arba penkiakampis ir t. t. iki begalybės. Šiuo atveju piramidės pavadinimas atitiks daugiakampį prie pagrindo. Pavyzdžiui, jei trikampis yra piramidės pagrinde, tai yra trikampė piramidė, keturkampis yra keturkampė ir tt
Piramidės yra kūgio formos daugiakampės. Šios grupės daugiabriauniai tipai, be aukščiau išvardytų, taip pat apima šiuos atstovus:
- Taisyklingos piramidės pagrinde yra taisyklingas daugiakampis, o jos aukštis projektuojamas į centrąapskritimas, įrašytas į pagrindą arba apibrėžtas aplink jį.
- Stačiakampė piramidė susidaro, kai viena iš šoninių briaunų stačiu kampu susikerta su pagrindu. Šiuo atveju taip pat teisinga šią briauną vadinti piramidės aukščiu.
Piramidės savybės:
- Jei visos piramidės šoninės briaunos yra vienodos (to paties aukščio), tada jos visos susikerta su pagrindu tuo pačiu kampu, o aplink pagrindą galite nubrėžti apskritimą, kurio centras sutampa su piramidės viršūnė.
- Jei piramidės pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, tada visos šoninės briaunos sutampa, o paviršiai yra lygiašoniai trikampiai.
Įprastas daugiakampis: daugiakampių tipai ir savybės
Stereometrijoje ypatingą vietą užima geometriniai kūnai su absoliučiai vienodais paviršiais, kurių viršūnėse sujungtas tiek pat briaunų. Šios kietosios medžiagos vadinamos platoniškomis kietosiomis medžiagomis arba įprastais daugiakampiais. Tokiomis savybėmis pasižymintys daugiakampiai turi tik penkias formas:
- Tetraedras.
- Šešiaedras.
- Octahedron.
- Dodekaedras.
- Ikozaedras.
Įprastos daugiakampės savo pavadinimą skolingos senovės graikų filosofui Platonui, kuris savo raštuose aprašė šiuos geometrinius kūnus ir susiejo juos su gamtos elementais: žeme, vandeniu, ugnimi, oru. Penktoji figūra buvo apdovanota panašumu į visatos struktūrą. Jo nuomone, natūralių elementų atomai savo forma primena taisyklingųjų daugiakampių tipus. Dėl savo įdomiausios savybės -simetrija, šie geometriniai kūnai labai domino ne tik senovės matematikus ir filosofus, bet ir visų laikų architektus, menininkus ir skulptorius. Tik 5 absoliučią simetriją turinčių daugiasluoksnių tipų buvimas buvo laikomas esminiu atradimu, jiems netgi buvo suteiktas ryšys su dieviškuoju principu.
Šešaedras ir jo savybės
Šešiakampio pavidalu Platono įpėdiniai padarė panašumą su žemės atomų sandara. Žinoma, šiuo metu ši hipotezė visiškai paneigta, tačiau tai netrukdo figūroms savo estetika šiais laikais patraukti įžymių veikėjų mintis.
Geometrijoje šešiakampis, taip pat žinomas kaip kubas, laikomas ypatingu gretasienio, kuris, savo ruožtu, yra savotiška prizmė, atvejis. Atitinkamai, kubo savybės yra susijusios su prizmės savybėmis, vienintelis skirtumas yra tas, kad visi kubo paviršiai ir kampai yra lygūs vienas kitam. Iš to išplaukia šios savybės:
- Visos kubo briaunos yra lygiagrečios ir yra lygiagrečiose plokštumose viena kitos atžvilgiu.
- Visi veidai yra sutampantys kvadratai (iš viso kube yra 6), bet kurį iš jų galima laikyti pagrindu.
- Visi sąsajos kampai yra 90.
- Iš kiekvienos viršūnės išeina vienodas briaunų skaičius, būtent 3.
- Kubas turi 9 simetrijos ašis, kurios visos susikerta šešiakampio įstrižainių susikirtimo taške, vadinamame simetrijos centru.
Tetraedras
Tetraedras yra tetraedras, kurio paviršiai yra vienodi trikampių pavidalu, kurių kiekviena viršūnėyra trijų paviršių sandūros taškas.
Taisyklingo tetraedro savybės:
- Visi tetraedro paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai, o tai reiškia, kad visi tetraedro paviršiai yra vienodi.
- Kadangi pagrindas pavaizduotas taisyklinga geometrine figūra, tai yra, jo kraštinės yra lygios, tetraedro paviršiai susilieja tuo pačiu kampu, tai yra, visi kampai yra lygūs.
- Plokščių kampų suma kiekvienoje iš viršūnių yra 180, nes visi kampai yra lygūs, tada bet kuris taisyklingo tetraedro kampas yra 60.
- Kiekviena viršūnė projektuojama į priešingo (ortocentrinio) paviršiaus aukščių susikirtimo tašką.
Oktaedras ir jo savybės
Apibūdinant taisyklingųjų daugiakampių tipus, negalima nepastebėti tokio objekto kaip oktaedras, kurį vizualiai galima pavaizduoti kaip dvi keturkampes taisyklingas piramides, suklijuotas pagrindais.
Oktaedro savybės:
- Pats geometrinio kūno pavadinimas rodo jo veidų skaičių. Aštuonkampis susideda iš 8 lygiakraščių trikampių, kurių kiekvienoje viršūnėje susilieja vienodas paviršių skaičius, būtent 4.
- Kadangi visi oktaedro paviršiai yra lygūs, jo sąsajos kampai taip pat yra lygūs, kiekvienas iš jų lygus 60, todėl bet kurios viršūnės plokštumos kampų suma yra 240.
Dodekaedras
Jei įsivaizduosime, kad visi geometrinio kūno paviršiai yra taisyklingas penkiakampis, gautume dodekaedrą -12 daugiakampių figūra.
Dodekaedro savybės:
- Trys veidai susikerta kiekvienoje viršūnėje.
- Visi paviršiai yra vienodi, jų kraštų ilgis ir plotas vienodas.
- Dodekaedras turi 15 ašių ir simetrijos plokštumų, ir bet kuri iš jų eina per veido viršūnę ir priešingo krašto vidurį.
Ikozaedras
Ne mažiau įdomi nei dodekaedras, ikosaedro figūra yra trimatis geometrinis kūnas su 20 vienodų veidų. Tarp įprasto dvidešimties edrono savybių galima pastebėti:
- Visi ikosaedro paviršiai yra lygiašoniai trikampiai.
- Penki paviršiai susilieja kiekvienoje daugiakampio viršūnėje, o gretimų viršūnės kampų suma yra 300.
- Ikozaedras, kaip ir dodekaedras, turi 15 ašių ir simetrijos plokštumų, einančių per priešingų paviršių vidurio taškus.
Pusiau taisyklingi daugiakampiai
Be platoniškų kietųjų kūnų, išgaubtų daugiakampių grupei taip pat priklauso Archimedo kietieji kūnai, kurie yra sutrumpinti taisyklingi daugiakampiai. Šios grupės daugiakampių tipai turi šias savybes:
- Geometriniai kūnai turi poromis vienodus kelių tipų paviršius, pavyzdžiui, nupjautas tetraedras turi 8 paviršius, kaip ir įprastas tetraedras, tačiau Archimedo kietojo kūno atveju 4 paviršiai bus trikampiai, o 4 - šešiakampiai.
- Visi vienos viršūnės kampai yra vienodi.
Žvaigždžių daugiakampis
Netūrinių geometrinių kūnų tipų atstovai yra daugiakampiai, kurių veidai kerta vienas kitą. Jie gali būti suformuoti sujungiant du įprastus 3D kietuosius elementus arba išplečiant jų paviršius.
Nr.
