Simbolinė logika yra mokslo šaka, tirianti teisingas samprotavimo formas. Jis vaidina pagrindinį vaidmenį filosofijoje, matematikoje ir kompiuterių moksle. Kaip ir filosofija ir matematika, logika turi senas šaknis. Ankstyviausi traktatai apie teisingo samprotavimo prigimtį buvo parašyti daugiau nei prieš 2000 metų. Kai kurie garsiausi senovės Graikijos filosofai apie išlaikymo prigimtį rašė daugiau nei prieš 2300 metų. Senovės Kinijos mąstytojai maždaug tuo pačiu metu rašė apie loginius paradoksus. Nors logikos šaknys siekia toli, ji vis dar yra gyvybinga studijų sritis.
Matematinė simbolinė logika
Taip pat reikia mokėti suprasti ir samprotauti, todėl ypatingas dėmesys buvo skiriamas loginėms išvadoms, kai nebuvo specialios aparatūros įvairioms gyvenimo sritims analizuoti ir diagnozuoti. Šiuolaikinė simbolinė logika kilo iš Aristotelio (384–322 m. pr. Kr.), didžiojo graikų filosofo ir vieno įtakingiausių visų laikų mąstytojų, darbų. Buvo ir tolesnių pasisekimųgraikų stoikų filosofas Chrysippus, sukūręs to, ką dabar vadiname teiginių logika, pagrindus.
Matematinė arba simbolinė logika aktyviai vystėsi tik XIX a. Pasirodė Boole, de Morgan, Schroeder darbai, kuriuose mokslininkai algebraizavo Aristotelio mokymus, taip sudarydami teiginio skaičiavimo pagrindą. Po to sekė Frege ir Preece darbas, kuriame buvo pristatytos kintamųjų ir kvantiklių sąvokos, kurios pradėtos taikyti logikoje. Taip susiformavo predikatų – teiginių apie dalyką skaičiavimas.
Logika reiškė neginčijamų faktų įrodymą, kai nebuvo tiesioginio tiesos patvirtinimo. Loginės išraiškos turėjo įtikinti pašnekovą tikrumu.
Loginės formulės buvo sukurtos matematinio įrodymo principu. Taigi jie įtikino pašnekovus tikslumu ir patikimumu.
Tačiau visi argumentai buvo parašyti žodžiais. Nebuvo formalių mechanizmų, kurie sukurtų loginį išskaičiavimo skaičiavimą. Žmonės pradėjo abejoti, ar mokslininkas slepiasi už matematinių skaičiavimų, po jais slėpdamas savo spėjimų absurdiškumą, nes kiekvienas gali pateikti savo argumentus skirtingai.
Prasmės gimimas: tvirta logika matematikoje kaip tiesos įrodymas
XVIII amžiaus pabaigoje matematinė arba simbolinė logika atsirado kaip mokslas, apimantis išvadų teisingumo tyrimo procesą. Jie turėjo turėti logišką pabaigą ir ryšį. Bet kaip tai buvo įrodytaarba pagrįsti tyrimo duomenis?
Didysis vokiečių filosofas ir matematikas Gottfriedas Leibnicas vienas pirmųjų suprato būtinybę formalizuoti loginius argumentus. Tai buvo Leibnizo svajonė: sukurti universalią formalią mokslo kalbą, kuri redukuotų visus filosofinius ginčus iki paprasto skaičiavimo, tokia kalba perdirbant samprotavimus tokiose diskusijose. Matematinė arba simbolinė logika atsirado formulių pavidalu, palengvinančių uždavinius ir sprendimus filosofiniuose klausimuose. Taip, ir ši mokslo sritis tapo reikšmingesnė, nes tada beprasmis filosofinis plepėjimas tapo tuo dugnu, kuriuo remiasi pati matematika!
Mūsų laikais tradicinė logika yra simbolinė aristoteliška, kuri yra paprasta ir nepretenzinga. XIX amžiuje mokslas susidūrė su aibių paradoksu, dėl kurio atsirado tų labai garsių Aristotelio loginių sekų sprendimų neatitikimų. Šią problemą reikėjo išspręsti, nes moksle negali būti net paviršutiniškų klaidų.
Lewiso Carrollo formalumas – simbolinė logika ir jos transformacijos žingsniai
Formalioji logika dabar yra į kursą įtrauktas dalykas. Tačiau savo išvaizdą jis skolingas simbolinei, kuri buvo sukurta iš pradžių. Simbolinė logika yra loginių išraiškų vaizdavimo metodas, naudojant simbolius ir kintamuosius, o ne įprastą kalbą. Tai pašalina dviprasmiškumą, lydintį įprastas kalbas, pvz., rusų, ir palengvina darbą.
Yra daug simbolinės logikos sistemų, tokių kaip:
- Klasikinis teiginys.
- Pirmosios eilės logika.
- Modalinis.
Simbolinė logika, kaip supranta Lewisas Carrollas, turėtų nurodyti teisingus ir klaidingus teiginius užduotame klausime. Kiekvienas gali turėti atskirus simbolius arba neleisti naudoti tam tikrų simbolių. Štai keletas teiginių, kurie uždaro loginę išvadų grandinę, pavyzdžiai:
- Visi žmonės, kurie yra identiški man, yra būtybės, kurios egzistuoja.
- Visi herojai, identiški Betmenui, yra būtybės, kurios egzistuoja.
- Taigi (nes su Betmenu niekada nebuvome matyti toje pačioje vietoje), visi man identiški žmonės yra herojai, identiški Betmenui.
Tai nėra tinkamas formos silogizmas, tačiau ji yra tokia pati kaip ši:
- Visi šunys yra žinduoliai.
- Visos katės yra žinduoliai.
- Štai kodėl visi šunys yra katės.
Turėtų būti akivaizdu, kad aukščiau pateikta simbolinė logikos forma negalioja. Tačiau logikoje teisingumas apibrėžiamas šiuo posakiu: jei prielaida būtų teisinga, tada išvada būtų teisinga. Tai aiškiai netiesa. Tas pats pasakytina ir apie herojaus pavyzdį, kurio forma yra tokia pati. Galiojimas taikomas tik dedukciniams argumentams, kurie yra skirti užtikrintai įrodyti savo išvadą, nes dedukcinis argumentas negali būti pagrįstas. Šios „pataisos“taikomos ir statistikoje, kai yra duomenų klaidos rezultatas, o šiuolaikinė simbolinė logika kaipsupaprastintų duomenų formalumas padeda daugeliui šių dalykų.
Indukcija šiuolaikinėje logikoje
Indukcinis argumentas skirtas tik įrodyti savo išvadą su didele tikimybe arba paneigimu. Indukciniai argumentai yra stiprūs arba silpni.
Kaip indukcinis argumentas, superherojaus Betmeno pavyzdys yra tiesiog silpnas. Abejotina, kad Betmenas egzistuoja, todėl vienas iš teiginių jau yra klaidingas su didele tikimybe. Nors jūs niekada nematėte jo toje pačioje vietoje kaip kažkas kitas, juokinga laikyti šią išraišką įrodymu. Norėdami suprasti logikos esmę, įsivaizduokite:
- Jūs niekada nebuvote matyti toje pačioje vietoje kaip gimtoji Gvinėja.
- Neįtikėtina, kad jūs ir Gvinėjos žmogus esate tas pats asmuo.
- Dabar įsivaizduokite, kad jūs ir afrikietis niekada nebuvote susitikę toje pačioje vietoje. Neįtikėtina, kad jūs ir afrikietis esate tas pats asmuo. Tačiau gvinėjos ir afrikiečio keliai susikirto, todėl negalite būti abu vienu metu. Įrodymų, kad esate afrikietis arba Gvinėjos pilietis, labai sumažėjo.
Šiuo požiūriu pati simbolinės logikos idėja nereiškia a priori santykio su matematika. Viskas, ko reikia norint atpažinti logiką kaip simbolį, yra platus simbolių naudojimas loginėms operacijoms vaizduoti.
Karolio loginė teorija: įsipainiojimas arba minimalizmas matematinės filosofijos srityje
Carroll išmoko keletą neįprastų būdųkuri privertė jį spręsti gana sunkias problemas, su kuriomis susidūrė jo kolegos. Tai neleido jam padaryti didelės pažangos dėl loginių žymėjimų ir sistemų, kurias jis gavo dėl savo darbo, sudėtingumo. Kerolio simbolinės logikos raison d'être yra pašalinimo problema. Kaip rasti išvadą, kurią reikia padaryti iš prielaidų rinkinio dėl santykio tarp nurodytų terminų? Pašalinamas „vidutinis terminas“.
Šiai pagrindinei logikos problemai išspręsti XIX amžiaus viduryje buvo išrasti simboliniai, diagraminiai ir net mechaniniai prietaisai. Tačiau Carrollo metodai, kaip apdoroti tokias „logines sekas“(kaip jis jas vadino), ne visada davė teisingą sprendimą. Vėliau filosofas paskelbė du straipsnius apie hipotezes, kurios atsispindi žurnale Mind: Logical Paradox (1894) ir What the Tortoise Said to Achilas (1895).
Šiuos dokumentus plačiai aptarinėjo XIX ir XX amžių logikai (Pearce, Russell, Ryle, Prior, Quine ir kt.). Pirmasis straipsnis dažnai cituojamas kaip gera materialių implikacijų paradoksų iliustracija, o antrasis veda į vadinamąjį išvadų paradoksą.
Simbolių paprastumas logikoje
Simbolinė logikos kalba yra ilgų dviprasmiškų sakinių pakaitalas. Patogu, nes rusiškai apie skirtingas aplinkybes galima pasakyti tą patį, kas leis susipainioti, o matematikoje simboliai pakeis kiekvienos reikšmės tapatybę.
- Pirma, trumpumas yra svarbus efektyvumui. Simbolinė logika neapsieina be ženklų ir pavadinimų, kitaip ji liktų tik filosofinė, be teisės į tikrąją prasmę.
- Antra, simboliai padeda lengviau pamatyti ir suformuluoti logines tiesas. 1 ir 2 punktai skatina „algebrinį“manipuliavimą loginėmis formulėmis.
- Trečia, kai logika išreiškia logines tiesas, simbolinė formuluotė skatina tyrinėti logikos struktūrą. Tai susiję su ankstesniu punktu. Taigi simbolinė logika tinka matematiniam logikos tyrimui, kuris yra matematinės logikos dalyko atšaka.
- Ketvirta, kartojant atsakymą, simbolių naudojimas padeda išvengti įprastos kalbos neapibrėžtumo (pvz., kelių reikšmių). Tai taip pat padeda užtikrinti, kad reikšmė būtų unikali.
Galiausiai, simbolinė logikos kalba leidžia naudoti Frege įvestą predikatinį skaičiavimą. Bėgant metams, pats predikatinio skaičiavimo simbolinis žymėjimas buvo tobulinamas ir tapo efektyvesnis, nes geras žymėjimas yra svarbus matematikoje ir logikoje.
Aristotelio antikos ontologija
Mokslininkai susidomėjo mąstytojo darbais, kai interpretuodami pradėjo naudoti Slinino metodus. Knygoje pateikiamos klasikinės ir modalinės logikos teorijos. Svarbi koncepcijos dalis buvo teiginio logikos formulės redukavimas į CNF simbolinėje logikoje. Santrumpa reiškia kintamųjų jungtį arba disjunkciją.
Slinin Ya. A. pasiūlė, kad sudėtingi neigimai, dėl kurių reikia pakartotinai redukuoti formules, turėtų virsti subformule. Taigi jis kai kurias reikšmes konvertavo į minimalesnes ir išsprendė problemas sutrumpintoje versijoje. Darbas su neiginiais buvo redukuotas iki de Morgano formulių. De Morgano vardu pavadinti dėsniai yra pora susijusių teoremų, leidžiančių teiginius ir formules paversti alternatyviais ir dažnai patogesniais. Įstatymai yra tokie:
- Disjunkcijos neigimas (arba nenuoseklumas) lygus alternatyvų neigimo sąjungai – p arba q nelygus p ir ne q arba simboliškai ~ (p ⊦ q) ≡ ~p ~q.
- Jungtuko neigimas yra lygus pradinių jungtukų neigimo disjunkcijai, ty ne (p ir q) nėra lygus ne p arba ne q, arba simboliškai ~ (p q) ≡ ~p ⊦ ~q.
Šių pradinių duomenų dėka daugelis matematikų pradėjo taikyti formules sudėtingoms loginėms problemoms spręsti. Daugelis žino, kad yra paskaitų kursas, kuriame tiriama funkcijų susikirtimo sritis. O matricos interpretacija taip pat pagrįsta logikos formulėmis. Kokia yra algebrinio ryšio logikos esmė? Tai lygmens linijinė funkcija, kai skaičių mokslą ir filosofiją galite sudėti į tą patį dubenį kaip „besielėjusią“ir nenaudingą samprotavimo sritį. Nors E. Kantas manė kitaip, būdamas matematikas ir filosofas. Jis pažymėjo, kad filosofija yra niekas, kol neįrodyta kitaip. Ir įrodymai turi būti moksliškai pagrįsti. Taip atsitiko, kad filosofija pradėjo turėti reikšmęsutampa su tikrąja skaičių ir skaičiavimų prigimtimi.
Logikos taikymas moksle ir materialiame tikrovės pasaulyje
Filosofai paprastai netaiko loginio samprotavimo mokslo tik kokiam nors ambicingam projektui baigus studijas (dažniausiai turintiems aukštą specializacijos laipsnį, pavyzdžiui, įtraukiant į socialinius mokslus, psichologiją ar etinį skirstymą į kategorijas). Paradoksalu, kad tiesos ir melo skaičiavimo metodą „pagimdė“filosofijos mokslas, tačiau patys filosofai juo nesinaudoja. Taigi kam sukurti ir transformuoti tokie aiškūs matematiniai silogizmai?
- Programuotojai ir inžinieriai naudojo simbolinę logiką (kuri nelabai skiriasi nuo originalo), kad įdiegtų kompiuterines programas ir net projektuotų plokštes.
- Kompiuterių atveju logika tapo pakankamai sudėtinga, kad būtų galima atlikti daugybę funkcijų iškvietimų, taip pat tobulinti matematiką ir išspręsti matematines problemas. Didžioji jo dalis yra pagrįsta žiniomis apie matematinių problemų sprendimą ir tikimybę kartu su loginėmis pašalinimo, išplėtimo ir sumažinimo taisyklėmis.
- Kompiuterių kalbos negali būti lengvai suprantamos, kad jos veiktų logiškai neperžengiant matematikos žinių ir net atliktų specialias funkcijas. Didžioji kompiuterinės kalbos dalis tikriausiai yra patentuota arba suprantama tik kompiuteriams. Dabar programuotojai dažnai leidžia kompiuteriams atlikti logines užduotis ir jas išspręsti.
Atlikdami tokias sąlygas, daugelis mokslininkų daro prielaidą, kad pažangią medžiagą kuria ne dėl mokslo, o dėlžiniasklaidos ir technologijų naudojimo paprastumas. Galbūt netrukus logika prasiskverbs į ekonomikos, verslo ir net į „dvipusį“kvantą, kuris elgiasi ir kaip atomas, ir kaip banga.
Kvantinė logika šiuolaikinėje matematinės analizės praktikoje
Kvantinė logika (QL) buvo sukurta kaip bandymas sukurti teiginio struktūrą, kuri leistų apibūdinti įdomius kvantinės mechanikos (QM) įvykius. QL pakeitė Būlio struktūrą, kurios nepakako atominei sferai reprezentuoti, nors ji tinka klasikinės fizikos diskursui.
Matematinė teiginių kalbos apie klasikines sistemas struktūra yra galių rinkinys, iš dalies sutvarkytas pagal įtraukimo rinkinį, su operacijų pora, vaizduojančia jungtį ir disjunkciją.
Ši algebra atitinka tiek klasikinių, tiek reliatyvistinių reiškinių diskursą, tačiau yra nesuderinama su teorija, kuri draudžia, pavyzdžiui, pateikti vienalaikes tiesos vertes. Buvo sukurtas QL įkūrėjų pasiūlymas pakeisti klasikinės logikos Būlio struktūrą silpnesne struktūra, kuri susilpnintų konjunkcijos ir disjunkcijos paskirstymo savybes.
Susilpnėjęs simbolinis įsiskverbimas: ar tikrai matematikoje kaip tiksliajame moksle reikia tiesos
Kvantinė logika savo raidos metu pradėjo remtis ne tik tradicinėmis, bet ir keliomis šiuolaikinių tyrimų sritimis, kurios bandė suprasti mechaniką loginiu požiūriu. Daugkartiniskvantiniai metodai, skirti pristatyti įvairias kvantinės mechanikos literatūroje aptartas strategijas ir problemas. Kai tik įmanoma, nereikalingos formulės pašalinamos, kad būtų galima intuityviai suprasti sąvokas prieš gaunant ar įvedant susijusią matematiką.
Daugelis klausimas aiškinant kvantinę mechaniką yra tai, ar yra iš esmės klasikinių kvantinės mechanikos reiškinių paaiškinimų. Kvantinė logika suvaidino svarbų vaidmenį formuojant ir tobulinant šią diskusiją, ypač leido mums gana tiksliai suprasti, ką turime omenyje klasikiniu paaiškinimu. Dabar galima tiksliai nustatyti, kurios teorijos gali būti laikomos patikimomis, o kurios iš jų yra loginė matematinių sprendimų išvada.
