Kas yra kintamieji? Kintamasis matematikoje

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-02 17:51

Kintamųjų svarba matematikoje yra didžiulė, nes per jos egzistavimą mokslininkai sugebėjo padaryti daug atradimų šioje srityje, o norėdami trumpai ir aiškiai išdėstyti vieną ar kitą teoremą, kintamaisiais rašome atitinkamas formules.. Pavyzdžiui, Pitagoro teorema tiesiame trikampyje: a² =b² + c^{2. Kaip rašyti kiekvieną kartą sprendžiant uždavinį: pagal Pitagoro teoremą hipotenuzės kvadratas lygus kojų kvadratų sumai – tai užrašome formule, ir viskas iš karto tampa aišku.}

Taigi, šiame straipsnyje bus aptariami kintamieji, jų tipai ir savybės. Taip pat bus svarstomos įvairios matematinės išraiškos: nelygybės, formulės, sistemos ir jų sprendimo algoritmai.

Kintanti koncepcija

Visų pirma, kas yra kintamasis? Tai skaitinė reikšmė, kuri gali turėti daug reikšmių. Jis negali būti pastovus, nes įvairiose problemose ir lygtyse patogumo dėlei sprendimus priimame kaipkintamieji skirtingi skaičiai, tai yra, pavyzdžiui, z yra bendras kiekvieno kiekio, kuriam jis paimtas, žymėjimas. Paprastai jie žymimi lotyniškos arba graikiškos abėcėlės raidėmis (x, y, a, b ir tt).

Yra įvairių kintamųjų. Jie nustato ir kai kuriuos fizinius dydžius – kelią (S), laiką (t), ir tiesiog nežinomas reikšmes lygtyse, funkcijose ir kitose išraiškose.

Pavyzdžiui, yra formulė: S=Vt. Čia kintamieji žymi tam tikrus dydžius, susijusius su realiu pasauliu – kelią, greitį ir laiką.

Ir yra formos lygtis: 3x - 16=12x. Čia x jau laikomas abstraktiu skaičiumi, kuris turi prasmę šiame žymėjime.

Kiekių tipai

Suma reiškia kažką, kas išreiškia tam tikro objekto, medžiagos ar reiškinio savybes. Pavyzdžiui, oro temperatūra, gyvūno svoris, vitaminų procentas tabletėje – tai visi kiekiai, kurių skaitines reikšmes galima apskaičiuoti.

Kiekvienas dydis turi savo matavimo vienetus, kurie kartu sudaro sistemą. Ji vadinama skaičių sistema (SI).

Kas yra kintamieji ir konstantos? Apsvarstykite juos su konkrečiais pavyzdžiais.

Paimkime tiesinį vienodą judesį. Erdvės taškas kiekvieną kartą juda tuo pačiu greičiu. Tai yra, laikas ir atstumas keičiasi, bet greitis išlieka toks pat. Šiame pavyzdyje laikas ir atstumas yra kintamieji, o greitis yra pastovus.

Arba, pavyzdžiui, „pi“. Tai neracionalus skaičius, kuris tęsiasi nesikartojantskaitmenų seka ir negali būti parašyta visa, todėl matematikoje ji išreiškiama visuotinai priimtu simboliu, kuris ima tik tam tikros begalinės trupmenos reikšmę. Tai yra, „pi“yra pastovi reikšmė.

Istorija

Kintamųjų žymėjimo istorija prasideda XVII amžiuje nuo mokslininko René Descarteso.

Žinomas reikšmes jis pažymėjo pirmosiomis abėcėlės raidėmis: a, b ir tt, o nežinomiesiems pasiūlė naudoti paskutines raides: x, y, z. Pastebėtina, kad Dekartas tokius kintamuosius laikė neneigiamais skaičiais, o susidūręs su neigiamais parametrais prieš kintamąjį padėjo minuso ženklą arba, jei nebuvo žinoma, koks tas skaičius, elipsę. Tačiau laikui bėgant kintamųjų pavadinimai pradėjo žymėti bet kurio ženklo skaičius, ir tai prasidėjo matematiku Johanu Hudde'u.

Su kintamaisiais matematikos skaičiavimus išspręsti lengviau, nes, pavyzdžiui, kaip dabar sprendžiame dvikvadratines lygtis? Įvedame kintamąjį. Pavyzdžiui:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Už x2 imame šiek tiek k ir lygtis tampa aiški:

x2=k, jei k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

Štai ką matematikai suteikia kintamųjų įvedimas.

Nelygybės, sprendimų pavyzdžiai

Nelygybė yra įrašas, kuriame dvi matematinės išraiškos arba du skaičiai yra sujungti palyginimo ženklais:, ≦, ≧. Jie yra griežti ir nurodomi ženklais arba negriežti ženklais ≦, ≧.

Pirmą kartą šie ženklai pristatytiTomas Hariotas. Po Tomo mirties buvo išleista jo knyga su šiais užrašais, matematikams jie patiko ir laikui bėgant jie buvo plačiai naudojami matematiniams skaičiavimams.

Spręsdami vieno kintamojo nelygybes reikia laikytis kelių taisyklių:

Perkeldami skaičių iš vienos nelygybės dalies į kitą, pakeiskite jo ženklą į priešingą.
Nelygybės dalis dauginant arba dalijant iš neigiamo skaičiaus, jų ženklai pakeičiami.
Jei abi nelygybės puses padauginsite arba padalinsite iš teigiamo skaičiaus, gausite nelygybę, lygią pradinei.

Nelygybės sprendimas reiškia, kad reikia rasti visas galiojančias kintamojo reikšmes.

Vieno kintamojo pavyzdys:

10x – 50 > 150

Spręsiame kaip įprastą tiesinę lygtį – terminus su kintamuoju perkeliame į kairę, be kintamojo – į dešinę ir pateikiame panašius terminus:

10x > 200

Padalijame abi nelygybės puses iš 10 ir gauname:

x > 20

Aiškumo dėlei nelygybės su vienu kintamuoju sprendimo pavyzdyje nubrėžkite skaičių tiesę, pažymėkite joje pradurtą tašką 20, nes nelygybė yra griežta ir šis skaičius neįtrauktas į jos sprendinių aibę.

Šios nelygybės sprendimas yra intervalas (20; +∞).

Negriežtos nelygybės sprendimas vykdomas taip pat, kaip ir griežtoji:

6x – 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Tačiau yra viena išimtis. Įrašas, kurio forma x ≧ 5, turėtų būti suprantamas taip: x yra didesnis arba lygus penkiems, o tai reiškiaskaičius penki yra įtrauktas į visų nelygybės sprendinių aibę, tai yra, rašydami atsakymą, prieš skaičių penki dedame laužtinius skliaustus.

x ∈ [5; +∞)

Kvadratinės nelygybės

Jei paimsime kvadratinę lygtį formos ax2 + bx +c=0 ir pakeisime lygybės ženklą į nelygybės ženklą, tada atitinkamai gausime kvadratinė nelygybė.

Norėdami išspręsti kvadratinę nelygybę, turite mokėti išspręsti kvadratines lygtis.

y=ax2 + bx + c yra kvadratinė funkcija. Jį galime išspręsti naudodami diskriminantą arba Vieta teoremą. Prisiminkite, kaip išsprendžiamos šios lygtys:

1) y=x2 + 12x + 11 – funkcija yra parabolė. Jo šakos nukreiptos į viršų, nes koeficiento „a“ženklas yra teigiamas.

2) x2 + 12x + 11=0 – prilyginkite nuliui ir išspręskite naudodami diskriminantą.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 šaknys

Pagal kvadratinės lygties šaknų formulę gauname:

x₁ =-1, x_2=-11

Ar galite išspręsti šią lygtį naudodami Vieta teoremą:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Naudodami pasirinkimo metodą, gauname tas pačias lygties šaknis.

Parabola

Taigi, pirmasis kvadratinės nelygybės sprendimo būdas yra parabolė. Jo sprendimo algoritmas yra toks:

1. Nustatykite, kur nukreiptos parabolės šakos.

2. Prilyginkite funkciją nuliui ir raskite lygties šaknis.

3. Nubrėžiame skaičių tiesę, pažymime joje šaknis, nubrėžiame parabolę ir randame reikiamą tarpą, priklausomai nuo nelygybės ženklo.

Išspręskite nelygybę x2 + x - 12 > 0

Išrašykite kaip funkciją:

1) y=x2 + x - 12 – parabolė, šakos aukštyn.

Nustatyti į nulį.

2) x2 + x -12=0

Toliau išsprendžiame kaip kvadratinę lygtį ir randame funkcijos nulius:

x₁ =3, x_2=-4

3) Nubrėžkite skaičių liniją su taškais 3 ir -4. Parabolė praeis per juos, išsišakoja aukštyn ir atsakymas į nelygybę bus teigiamų reikšmių rinkinys, tai yra (-∞; -4), (3; +∞).

Intervalinis metodas

Antras būdas yra tarpų metodas. Jo sprendimo algoritmas:

1. Raskite lygties, kurios nelygybė lygi nuliui, šaknis.

2. Juos pažymime skaičių eilutėje. Taigi jis yra padalintas į kelis intervalus.

3. Nustatykite bet kurio intervalo ženklą.

4. Mes dedame ženklus likusiais intervalais, keičiame juos po vieno.

Išspręskite nelygybę (x - 4) (x - 5) (x + 7) ≦ 0

1) Nelygybės nuliai: 4, 5 ir -7.

2) Nubrėžkite juos skaičių eilutėje.

3) Nustatykite intervalų požymius.

Atsakymas: (-∞; -7]; [4; 5].

Išspręskite dar vieną nelygybę: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Nelygybės nuliai: 0, 2, -2 ir 1.

2. Pažymėkite juos skaičių eilutėje.

3. Nustatykite intervalo ženklus.

Eilutė suskirstyta į intervalus – nuo -2 iki 0, nuo 0 iki 1, nuo 1 iki 2.

Paimkite pirmojo intervalo reikšmę – (-1). Pakaitalas nelygybėje. Su šia verte nelygybė tampa teigiama, o tai reiškia, kad šio intervalo ženklas bus +.

Toliau, pradedant nuo pirmo tarpelio, išdėstome ženklus, keičiant juos po vieno.

Nelygybė didesnė už nulį, tai yra, eilutėje reikia rasti teigiamų reikšmių rinkinį.

Atsakymas: (-2; 0), (1; 2).

Lygčių sistemos

Lygčių sistema su dviem kintamaisiais yra dvi lygtys, sujungtos riestiniu skliaustu, kurioms reikia rasti bendrą sprendimą.

Sistemos gali būti lygiavertės, jei vienos iš jų bendras sprendimas yra kitos sprendimas arba abi jos neturi sprendimų.

Tirsime lygčių sistemų su dviem kintamaisiais sprendimą. Yra du būdai juos išspręsti – pakeitimo metodas arba algebrinis metodas.

Algebrinis metodas

Norėdami šiuo metodu išspręsti paveikslėlyje pavaizduotą sistemą, pirmiausia turite padauginti vieną iš jos dalių iš tokio skaičiaus, kad vėliau galėtumėte abipusiai atšaukti vieną kintamąjį iš abiejų lygties dalių. Čia padauginame iš trijų, nubrėžiame liniją po sistema ir sudedame jos dalis. Dėl to x moduliai tampa identiški, bet priešingi pagal ženklą, ir mes juos sumažiname. Tada gauname tiesinę lygtį su vienu kintamuoju ir ją išsprendžiame.

Radome Y, bet negalime sustoti, nes dar neradome X. PakaitalasY į dalį, iš kurios bus patogu išimti X, pvz.:

-x + 5y=8, kai y=1

-x + 5=8

Išspręskite gautą lygtį ir raskite x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Sistemos sprendime pagrindinis dalykas yra teisingai užrašyti atsakymą. Daugelis studentų daro klaidą rašydami:

Atsakymas: -3, 1.

Bet tai neteisingas įrašas. Juk, kaip jau minėta, spręsdami lygčių sistemą, ieškome bendro jos dalių sprendimo. Teisingas atsakymas būtų:

(-3; 1)