Vieno ir kelių kintamųjų diferencialinės skaičiavimo funkcijos

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-02 17:51

Skaičiavimas yra skaičiavimo šaka, tirianti išvestinius, diferencialus ir jų naudojimą tiriant funkciją.

Išvaizdos istorija

Diferencialinis skaičiavimas atsirado kaip savarankiška disciplina XVII amžiaus antroje pusėje, dėka Niutono ir Leibnizo darbų, kurie suformulavo pagrindines diferencialų skaičiavimo nuostatas ir pastebėjo ryšį tarp integracijos ir diferenciacijos. Nuo to momento disciplina vystėsi kartu su integralų skaičiavimu, taip sudarant matematinės analizės pagrindą. Šių skaičiavimų atsiradimas matematiniame pasaulyje atvėrė naują šiuolaikinį laikotarpį ir paskatino naujų mokslo disciplinų atsiradimą. Taip pat išplėtė matematikos mokslo taikymo gamtos moksluose ir technologijose galimybė.

Pagrindinės sąvokos

Diferencialinis skaičiavimas yra pagrįstas pagrindinėmis matematikos sąvokomis. Jie yra: realusis skaičius, tęstinumas, funkcija ir riba. Laikui bėgant jie įgavo modernią išvaizdą dėl integralinio ir diferencialinio skaičiavimo.

Kūrimo procesas

Diferencialinio skaičiavimo formavimas taikomojo, o vėliau mokslinio metodo forma įvyko prieš atsirandant filosofinei teorijai, kurią sukūrė Nikolajus Kuzietis. Jo darbai laikomi evoliucine raida, remiantis senovės mokslo sprendimais. Nepaisant to, kad pats filosofas nebuvo matematikas, jo indėlis į matematikos mokslo raidą yra neabejotinas. Kuzanskis buvo vienas pirmųjų, kurie aritmetikos nelaikė tiksliausia mokslo sritimi, todėl suabejojo to meto matematika.

Senovės matematikai vienetą naudojo kaip universalų kriterijų, o filosofas pasiūlė begalybę kaip naują matą vietoj tikslaus skaičiaus. Šiuo atžvilgiu tikslumo vaizdavimas matematikos moksle yra apverstas. Mokslo žinios, anot jo, skirstomos į racionaliąsias ir intelektualias. Antrasis, pasak mokslininko, yra tikslesnis, nes pirmasis duoda tik apytikslį rezultatą.

Idėja

Pagrindinė diferencialinio skaičiavimo idėja ir koncepcija yra susijusi su funkcija mažose tam tikrų taškų apylinkėse. Tam reikia sukurti matematinį aparatą funkcijai, kurios elgsena mažoje nustatytų taškų kaimynystėje yra artima daugianario ar tiesinės funkcijos elgsenai, tirti. Tai pagrįsta išvestinės ir diferencialo apibrėžimu.

Išvestinės sąvokos atsiradimą lėmė daugybė gamtos mokslų ir matematikos problemų,dėl kurių buvo rastos to paties tipo ribų reikšmės.

Viena iš pagrindinių problemų, kurios pateikiamos kaip pavyzdys, pradedant nuo vidurinės mokyklos, yra nustatyti taško, judančio tiesia linija, greitį ir sukonstruoti šios kreivės liestinę. Skirtumas yra susijęs su tuo, nes galima aproksimuoti funkciją nedidelėje tiesinės funkcijos nagrinėjamo taško kaimynystėje.

Palyginti su tikrojo kintamojo funkcijos išvestinės samprata, diferencialų apibrėžimas tiesiog pereina į bendro pobūdžio funkciją, ypač į vienos euklidinės erdvės vaizdą kitoje.

Išvestinė

Tegul taškas juda Oy ašies kryptimi, kol imsime x, kuris skaičiuojamas nuo tam tikro momento pradžios. Tokį judėjimą galima apibūdinti funkcija y=f(x), kuri priskiriama kiekvienam judinamo taško koordinatės laiko momentui x. Mechanikoje ši funkcija vadinama judėjimo dėsniu. Pagrindinė judesio, ypač netolygaus, charakteristika yra momentinis greitis. Kai taškas juda išilgai Oy ašies pagal mechanikos dėsnį, tada atsitiktiniu momentu x jis įgyja koordinatę f (x). Laiko momentu x + Δx, kur Δx žymi laiko prieaugį, jo koordinatė bus f(x + Δx). Taip susidaro formulė Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), kuri vadinama funkcijos prieaugiu. Tai reiškia kelią, kurį nuėjo laiko taškas nuo x iki x + Δx.

Dėl šio atsiradimogreitis laiku, įvedama išvestinė. Savavališkoje funkcijoje išvestinė fiksuotame taške vadinama riba (darant prielaidą, kad ji egzistuoja). Jis gali būti žymimas tam tikrais simboliais:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Išvestinės apskaičiavimo procesas vadinamas diferencijavimu.

Kelių kintamųjų funkcijos diferencialinis skaičiavimas

Šis skaičiavimo metodas naudojamas nagrinėjant funkciją su keliais kintamaisiais. Esant dviem kintamiesiems x ir y, dalinė išvestinė x atžvilgiu taške A vadinama šios funkcijos išvestine x atžvilgiu su fiksuotu y.

Gali būti pavaizduotas šiais simboliais:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x arba ∂f(x, y)’/∂x.

Reikalingi įgūdžiai

Sėkmingai studijuoti ir gebėti spręsti pasklaidas būtini integravimo ir diferencijavimo įgūdžiai. Kad būtų lengviau suprasti diferencialines lygtis, turėtumėte gerai suprasti išvestinės ir neapibrėžtosios integralo temą. Taip pat nepakenks išmokti rasti netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę. Taip yra dėl to, kad studijuojant integralus ir diferenciaciją dažnai teks naudoti.

Diferencialinių lygčių tipai

Beveik visuose bandymo darbuose, susijusiuose su pirmos eilės diferencialinėmis lygtimis, yra 3 lygčių rūšys: vienalytės, su atskiriamais kintamaisiais, tiesinės nehomogeniškos.

Yra ir retesnių lygčių variantų: su suminiais diferencialais, Bernulio lygtimis ir kitomis.

Sprendimo pagrindai

Pirma, turėtumėte atsiminti algebrines lygtis iš mokyklos kurso. Juose yra kintamųjų ir skaičių. Norėdami išspręsti įprastą lygtį, turite rasti skaičių aibę, atitinkančią tam tikrą sąlygą. Paprastai tokios lygtys turėjo vieną šaknį, o norint patikrinti teisingumą, tereikia šia reikšme pakeisti nežinomą.

Diferencialinė lygtis yra panaši į šią. Paprastai tokia pirmos eilės lygtis apima:

• Nepriklausomas kintamasis.
• Pirmosios funkcijos išvestinė.
• Funkcija arba priklausomas kintamasis.

Kai kuriais atvejais gali trūkti vieno iš nežinomųjų x arba y, tačiau tai nėra taip svarbu, nes sprendiniui ir diferencialui būtinas pirmosios išvestinės be aukštesnės eilės išvestinių buvimas skaičiavimas yra teisingas.

Spręsti diferencialinę lygtį reiškia rasti visų funkcijų, atitinkančių pateiktą išraišką, rinkinį. Toks funkcijų rinkinys dažnai vadinamas bendruoju DE sprendimu.

Integrinis skaičiavimas

Integrinis skaičiavimas yra viena iš matematinės analizės skyrių, tiria integralo sampratą, savybes ir jo skaičiavimo metodus.

Dažnai integralas apskaičiuojamas skaičiuojant kreivinės figūros plotą. Šis plotas reiškia ribą, iki kurios tam tikroje figūroje įrašyto daugiakampio plotas linkęs palaipsniui didėjant jo kraštinei, o šios kraštinės gali būti mažesnės nei bet kuri anksčiau nurodyta savavališka.maža vertė.

Pagrindinė idėja skaičiuojant savavališkos geometrinės figūros plotą yra apskaičiuoti stačiakampio plotą, tai yra įrodyti, kad jo plotas yra lygus ilgio ir pločio sandaugai. Kalbant apie geometriją, visos konstrukcijos yra pagamintos naudojant liniuotę ir kompasą, o tada ilgio ir pločio santykis yra racionali reikšmė. Skaičiuodami stačiakampio trikampio plotą, galite nustatyti, kad šalia jo padėjus tą patį trikampį, susidaro stačiakampis. Lygiagretainyje plotas apskaičiuojamas panašiu, bet šiek tiek sudėtingesniu metodu per stačiakampį ir trikampį. Daugiakampiuose plotas apskaičiuojamas per į jį įtrauktus trikampius.

Nustatant savavališkos kreivės taupymą, šis metodas neveiks. Jei suskaidysi į pavienius kvadratus, tada liks neužpildytų vietų. Šiuo atveju bandoma naudoti du viršelius su stačiakampiais viršuje ir apačioje, todėl juose yra funkcijos grafikas, o ne. Čia išlieka svarbus padalijimo į šiuos stačiakampius metodas. Be to, jei paimsime vis mažesnes pertvaras, sritis aukščiau ir žemiau turėtų susilyginti ties tam tikra verte.

Turėtų grįžti prie padalijimo į stačiakampius metodo. Yra du populiarūs metodai.

Riemanas įformino Leibnizo ir Niutono sukurtą integralo apibrėžimą kaip pografo sritį. Šiuo atveju buvo atsižvelgta į figūras, sudarytas iš tam tikro skaičiaus vertikalių stačiakampių ir gautas dalijantsegmentas. Kai, mažėjant skaidiniui, yra riba, iki kurios sumažėja panašios figūros plotas, ši riba vadinama funkcijos Riemano integralu tam tikrame intervale.

Antrasis metodas yra Lebesgue integralo konstravimas, kurį sudaro tai, kad vietoje apibrėžto ploto padalijamas į integrando dalis ir tada sudaroma integralo suma iš šiose dalyse gautų verčių., jo reikšmių diapazonas yra padalintas į intervalus, o tada sumuojamas su atitinkamais šių integralų pirminių vaizdų matais.

Šiuolaikiniai privalumai

Vieną iš pagrindinių diferencialinio ir integralinio skaičiavimo studijų vadovų parašė Fikhtengolts – „Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas“. Jo vadovėlis yra pagrindinis matematinės analizės, kuri išleista daug leidimų ir išversta į kitas kalbas, studijų vadovas. Sukurta universiteto studentams ir jau seniai naudojama daugelyje mokymo įstaigų kaip viena pagrindinių mokymosi priemonių. Suteikia teorinių duomenų ir praktinių įgūdžių. Pirmą kartą paskelbta 1948 m.

Funkcijų tyrimo algoritmas

Norėdami ištirti funkciją naudodami diferencialinio skaičiavimo metodus, turite vadovautis jau pateiktu algoritmu:

1. Raskite funkcijos apimtį.
2. Raskite pateiktos lygties šaknis.
3. Apskaičiuokite kraštutinumus. Norėdami tai padaryti, apskaičiuokite išvestinę ir taškus, kur ji lygi nuliui.
4. Pakeiskite gautą reikšmę į lygtį.

Diferencialinių lygčių įvairovė

pirmos eilės valdymas (kitaip diferencialasvieno kintamojo skaičiavimas) ir jų tipai:

• Atskiriama lygtis: f(y)dy=g(x)dx.
• Paprasčiausios lygtys arba vieno kintamojo funkcijos diferencialinis skaičiavimas, kurio formulė: y'=f(x).
• Tiesinė nehomogeniška pirmosios eilės DE: y'+P(x)y=Q(x).
• Bernoulio diferencialinė lygtis: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Lygtis su bendrais skirtumais: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Antros eilės diferencialinės lygtys ir jų tipai:

• Tiesinė antros eilės vienalytė diferencialinė lygtis su pastoviomis koeficientų reikšmėmis: y +py'+qy=0 p, q priklauso R.
• Tiesinė nehomogeniška antros eilės diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais: y +py'+qy=f(x).
• Tiesinė vienalytė diferencialinė lygtis: y +p(x)y'+q(x)y=0 ir nehomogeniška antros eilės lygtis: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Didesnės eilės diferencialinės lygtys ir jų tipai:

• Diferencialinė lygtis, kurią galima sumažinti eilės tvarka: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Tiesinė aukštesnės eilės vienalytė lygtis: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0 ir nehomogeniška: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Diferencialinės lygties uždavinio sprendimo žingsniai

Nuotolinio valdymo pulto pagalba sprendžiami ne tik matematiniai ar fiziniai klausimai, bet ir įvairios problemos išbiologija, ekonomika, sociologija ir kt. Nepaisant daugybės temų, sprendžiant tokias problemas reikėtų laikytis vienos loginės sekos:

1. Nuotolinio valdymo pulto rinkinys. Vienas iš sudėtingiausių žingsnių, reikalaujantis maksimalaus tikslumo, nes bet kokia klaida sukels visiškai neteisingus rezultatus. Reikėtų atsižvelgti į visus veiksnius, turinčius įtakos procesui, ir nustatyti pradines sąlygas. Ji taip pat turėtų būti pagrįsta faktais ir loginėmis išvadomis.
2. Suformuluotos lygties sprendimas. Šis procesas yra paprastesnis nei pirmasis žingsnis, nes reikia atlikti tik griežtus matematinius skaičiavimus.
3. Rezultatų analizė ir įvertinimas. Išvestinis sprendimas turi būti įvertintas, siekiant nustatyti praktinę ir teorinę rezultato vertę.

Diferencialinių lygčių naudojimo medicinoje pavyzdys

Nuotolinis valdymas medicinos srityje naudojamas kuriant epidemiologinį matematinį modelį. Kartu nereikėtų pamiršti, kad šios lygtys aptinkamos ir medicinai artimoje biologijoje bei chemijoje, nes joje svarbų vaidmenį atlieka įvairių biologinių populiacijų ir cheminių procesų žmogaus organizme tyrimas.

Aukščiau pateiktame epidemijos pavyzdyje galime apsvarstyti infekcijos plitimą izoliuotoje visuomenėje. Gyventojai skirstomi į tris tipus:

• Užkrėstas, skaičius x(t), susideda iš asmenų, infekcijos nešiotojų, kurių kiekvienas yra užkrečiamas (inkubacinis laikotarpis trumpas).
• Antras tipas apimaimlūs asmenys y(t), galintys užsikrėsti kontaktuodami su užsikrėtusiais asmenimis.
• Trečiajai rūšiai priklauso imuniniai individai z(t), kurie yra imunitetingi arba mirė dėl ligos.

Individų skaičius yra pastovus, neatsižvelgiama į gimimų, natūralių mirčių ir migracijos apskaitą. Iš esmės bus dvi hipotezės.

Sergamumo procentas tam tikru laiko momentu yra x(t)y(t) (remiantis teorija, kad atvejų skaičius yra proporcingas susikirtimų tarp sergančių ir imlių atstovų skaičiui, kuris pirm. aproksimacija bus proporcinga x(t)y(t)), dėl to atvejų skaičius didėja, o jautrių mažėja tokiu greičiu, kuris apskaičiuojamas pagal formulę ax(t)y(t) (a > 0).

Imunitetinių asmenų, kurie tapo imunitetais arba mirė, skaičius didėja tokiu greičiu, kuris yra proporcingas atvejų skaičiui, bx(t) (b > 0).

Dėl to galite sudaryti lygčių sistemą atsižvelgdami į visus tris rodiklius ir pagal ją padaryti išvadas.

Ekonomikos pavyzdys

Diferencialinis skaičiavimas dažnai naudojamas ekonominėje analizėje. Pagrindinė ekonominės analizės užduotis yra tirti dydžius iš ekonomikos, kurie užrašomi funkcijos forma. Tai naudojama sprendžiant tokias problemas kaip pajamų pasikeitimas iš karto padidinus mokesčius, įvedus muitus, keičiantis įmonės pajamoms, kai keičiasi gamybos savikaina, kokia dalimi galima pakeisti į pensiją išėjusius darbuotojus nauja įranga. Norint išspręsti tokias problemas, būtinasukurkite ryšio funkciją iš įvesties kintamųjų, kurie vėliau tiriami naudojant diferencialinį skaičiavimą.

Ekonominėje sferoje dažnai reikia rasti optimaliausius rodiklius: maksimalus darbo našumas, didžiausios pajamos, mažiausios išlaidos ir pan. Kiekvienas toks rodiklis yra vieno ar kelių argumentų funkcija. Pavyzdžiui, gamybą galima vertinti kaip darbo ir kapitalo sąnaudų funkciją. Šiuo atžvilgiu tinkamos reikšmės radimas gali būti sumažintas iki funkcijos didžiausios arba minimalios vertės iš vieno ar kelių kintamųjų.

Tokio pobūdžio problemos sukuria ekstremalių ekonomikos srities problemų klasę, kurioms išspręsti reikia diferencialinio skaičiavimo. Kai ekonominį rodiklį reikia sumažinti arba maksimaliai padidinti kaip kito rodiklio funkciją, tada maksimumo taške funkcijos prieaugio ir argumentų santykis bus linkęs į nulį, jei argumento prieaugis linkęs į nulį. Priešingu atveju, kai toks santykis linkęs į kokią nors teigiamą ar neigiamą reikšmę, nurodytas taškas netinka, nes padidinus arba sumažinus argumentą, priklausomą reikšmę galima keisti reikiama kryptimi. Diferencialinio skaičiavimo terminologijoje tai reikš, kad būtina funkcijos maksimumo sąlyga yra jos išvestinės vertės nulis.

Ekonomikoje dažnai kyla problemų ieškant funkcijos, turinčios kelis kintamuosius, ekstremumo, nes ekonominius rodiklius sudaro daugybė veiksnių. Tokie klausimai yra geri.studijavo kelių kintamųjų funkcijų teoriją, taikant diferencialinio skaičiavimo metodus. Tokios problemos apima ne tik maksimalias ir sumažintas funkcijas, bet ir apribojimus. Tokie klausimai susiję su matematiniu programavimu, o sprendžiami pasitelkus specialiai sukurtus metodus, taip pat remiantis šia mokslo šaka.

Tarp ekonomikoje naudojamų diferencialinio skaičiavimo metodų svarbi dalis yra ribinė analizė. Ekonominėje srityje šis terminas reiškia kintamų rodiklių ir rezultatų tyrimo metodų rinkinį, kai keičiamas kūrimo, vartojimo apimtys, remiantis jų ribinių rodiklių analize. Ribojantis rodiklis yra išvestinė arba dalinė išvestinė išvestinė priemonė su keliais kintamaisiais.

Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas yra svarbi tema matematinės analizės srityje. Norėdami atlikti išsamų tyrimą, galite naudoti įvairius aukštojo mokslo vadovėlius. Vieną žinomiausių sukūrė Fikhtengolts – „Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas“. Kaip rodo pavadinimas, darbo su integralais įgūdžiai turi didelę reikšmę sprendžiant diferencialines lygtis. Kai įvyksta vieno kintamojo funkcijos diferencialinis skaičiavimas, sprendimas tampa paprastesnis. Nors reikia pažymėti, kad jam taikomos tos pačios pagrindinės taisyklės. Norint praktiškai ištirti funkciją diferencialiniu skaičiavimu, užtenka vadovautis jau esamu algoritmu, kuris duodamas vidurinėje mokykloje ir tik šiek tiek komplikuojasi įvedant naujus.kintamieji.