Apskritimas yra pagrindinė geometrijos figūra, kurios ypatybės yra svarstomos mokykloje 8 klasėje. Viena iš tipiškų problemų, susijusių su apskritimu, yra rasti tam tikros jo dalies plotą, vadinamą apskritimu. Straipsnyje pateikiamos sektoriaus ploto ir jo lanko ilgio formulės, taip pat jų panaudojimo sprendžiant konkrečią problemą pavyzdys.
Apskritimo ir apskritimo samprata
Prieš pateikdami apskritimo sektoriaus ploto formulę, pagalvokime, koks yra nurodytas skaičius. Pagal matematinį apibrėžimą apskritimas suprantamas kaip tokia figūra plokštumoje, kurios visi taškai yra vienodu atstumu nuo vieno taško (centro).
Atsižvelgiant į apskritimą, vartojama tokia terminija:
- Spindulys – atkarpa, nubrėžta nuo centrinio taško iki apskritimo kreivės. Paprastai jis žymimas raide R.
- Skersmuo yra atkarpa, jungianti du apskritimo taškus, bet taip pat einanti per figūros centrą. Paprastai jis žymimas raide D.
- Arkas yra išlenkto apskritimo dalis. Jis matuojamas ilgio vienetais arba kampais.
Apskritimas yra dar viena svarbi geometrijos figūra, tai taškų rinkinys, kurį riboja lenktas apskritimas.
Apskritimo plotas ir perimetras
Elemento pavadinime nurodytos reikšmės apskaičiuojamos naudojant dvi paprastas formules. Jie išvardyti toliau:
- Apskritimas: L=2piR.
- Apskritimo plotas: S=piR2.
Šiose formulėse pi yra tam tikra konstanta, vadinama Pi. Jis yra neracionalus, tai yra, jis negali būti išreikštas tiksliai kaip paprasta trupmena. Pi yra maždaug 3,1416.
Kaip matote iš aukščiau pateiktų posakių, norint apskaičiuoti plotą ir ilgį, pakanka žinoti tik apskritimo spindulį.
Apskritimo sektoriaus plotas ir jo lanko ilgis
Prieš svarstant atitinkamas formules, primename, kad kampas geometrijoje paprastai išreiškiamas dviem pagrindiniais būdais:
- šešiasimaliais laipsniais, o visas sukimasis aplink savo ašį yra 360o;
- radianais, išreikštas pi dalimis ir susietas su laipsniais pagal šią lygtį: 2pi=360o.
Apskritimo sektorius yra figūra, kurią riboja trys linijos: apskritimo lankas ir du spinduliai, esantys šio lanko galuose. Apvalaus sektoriaus pavyzdys parodytas toliau esančioje nuotraukoje.
Lengva suprasti, kas yra apskritimo sektoriussuprasti, kaip apskaičiuoti jo plotą ir atitinkamo lanko ilgį. Iš aukščiau esančio paveikslo matyti, kad sektoriaus lankas atitinka kampą θ. Žinome, kad visas apskritimas atitinka 2pi radianus, todėl apskritimo sektoriaus ploto formulė bus tokia: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Čia kampas θ išreiškiamas radianais. Panaši sektoriaus srities formulė, jei kampas θ matuojamas laipsniais, atrodys taip: S1=piθR2 /360.
Sektorių sudarančio lanko ilgis apskaičiuojamas pagal formulę: L1=θ2piR/(2pi)=θR. Ir jei θ žinomas laipsniais, tai: L1=piθR/180.
Problemos sprendimo pavyzdys
Panaudokime paprasto uždavinio pavyzdį, kad parodytume, kaip naudoti apskritimo sektoriaus ploto ir jo lanko ilgio formules.
Žinoma, kad ratas turi 12 stipinų. Kai ratas padaro vieną pilną apsisukimą, jis įveikia 1,5 metro atstumą. Koks plotas yra tarp dviejų gretimų rato stipinų ir koks lanko ilgis tarp jų?
Kaip matote iš atitinkamų formulių, norint jas naudoti, reikia žinoti du dydžius: apskritimo spindulį ir lanko kampą. Spindulį galima apskaičiuoti žinant rato apskritimą, nes jo vienu apsisukimu nuvažiuotas atstumas tiksliai jį atitinka. Turime: 2Rpi=1,5, iš kur: R=1,5/(2pi)=0,2387 metro. Kampą tarp artimiausių stipinų galima nustatyti žinant jų skaičių. Darant prielaidą, kad visi 12 stipinų apskritimą tolygiai padalija į lygius sektorius, gauname 12 vienodų sektorių. Atitinkamai, lanko tarp dviejų stipinų kampinis matas yra: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radiano.
Mes radome visas reikalingas reikšmes, dabar jas galima pakeisti į formules ir apskaičiuoti reikšmes, kurių reikalauja problemos sąlyga. Gauname: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, arba 149cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m arba 12,5 cm.
