Kūnas, mestas kampu į horizontą: trajektorijų tipai, formulės

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 05:34

Kiekvienas iš mūsų mėtė akmenis į dangų ir stebėjo jų kritimo trajektoriją. Tai yra labiausiai paplitęs standaus kūno judėjimo mūsų planetos gravitacinių jėgų lauke pavyzdys. Šiame straipsnyje apžvelgsime formules, kurios gali būti naudingos sprendžiant kampu į horizontą išmesto kūno laisvo judėjimo problemas.

Judėjimo link horizonto kampu koncepcija

Kai kuriam nors kietam objektui suteikiamas pradinis greitis ir jis pradeda didėti aukštyje, o paskui vėl nukrenta ant žemės, visuotinai pripažįstama, kad kūnas juda paraboline trajektorija. Tiesą sakant, tokio tipo judesių lygčių sprendimas rodo, kad kūno ore aprašyta linija yra elipsės dalis. Tačiau praktiniam naudojimui parabolinis aproksimavimas yra gana patogus ir leidžia gauti tikslius rezultatus.

Kūno, mesto kampu į horizontą, judėjimo pavyzdžiai yra sviedinio šaudymas iš patrankos snukio, kamuolio spardymas ir netgi šokinėjimas vandens paviršiumi akmenukais („rupūžės“), kurios yra vykotarptautiniai konkursai.

Judesio kampu tipą tiria balistika.

Nagrinėjamo judėjimo tipo savybės

Atsižvelgiant į kūno trajektoriją Žemės gravitacinių jėgų lauke, teisingi šie teiginiai:

• žinant pradinį aukštį, greitį ir kampą į horizontą galima apskaičiuoti visą trajektoriją;
• nukrypimo kampas yra lygus kūno kritimo kampui, jei pradinis aukštis lygus nuliui;
• vertikalus judėjimas gali būti vertinamas nepriklausomai nuo horizontalaus judėjimo;

Atkreipkite dėmesį, kad šios savybės galioja, jei trinties jėga kūno skrydžio metu yra nereikšminga. Ballistikoje, tiriant sviedinių skrydį, atsižvelgiama į daugybę skirtingų veiksnių, įskaitant trintį.

Parabolinio judėjimo tipai

Priklausomai nuo aukščio, nuo kurio judesys prasideda, kokiame aukštyje jis baigiasi ir kaip nukreiptas pradinis greitis, išskiriami šie parabolinio judėjimo tipai:

• Visa parabolė. Šiuo atveju kūnas numetamas nuo žemės paviršiaus ir nukrenta ant šio paviršiaus, apibūdindamas visą parabolę.
• Pusė parabolės. Toks kūno judėjimo grafikas stebimas, jei jis išmestas iš tam tikro aukščio h, nukreipiant greitį v lygiagrečiai horizontui, tai yra kampu θ=0^o.
• Parabolės dalis. Tokios trajektorijos atsiranda, kai kūnas metamas tam tikru kampu θ≠0^o, o skirtumaspradžios ir pabaigos aukščiai taip pat skiriasi nuo nulio (h-h₀≠0). Dauguma objektų judėjimo trajektorijų yra tokio tipo. Pavyzdžiui, šūvis iš patrankos, stovinčios ant kalvos, arba krepšininkas, įmetęs kamuolį į krepšį.

Kūno judėjimo, atitinkančio visą parabolę, grafikas parodytas aukščiau.

Reikalingos skaičiavimo formulės

Pateikime formules, apibūdinančias kūno, mesto kampu į horizontą, judėjimą. Nepaisydami trinties jėgos ir atsižvelgdami tik į gravitacijos jėgą, galime parašyti dvi objekto greičio lygtis:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ) - gt

Kadangi gravitacija nukreipta vertikaliai žemyn, ji nekeičia horizontaliosios greičio dedamosios v_x, todėl pirmoje lygybėje nėra priklausomybės nuo laiko. Komponentą v_y savo ruožtu įtakoja gravitacija, kuri suteikia g kūno pagreitį, nukreiptą į žemę (taigi ir minuso ženklas formulėje).

Dabar parašykime formules, kaip pakeisti kampu į horizontą išmesto kūno koordinates:

x=x₀+v₀cos(θ)t

y=y₀+ v₀sin(θ)t - gt² /2

Pradžios koordinatė x₀dažnai laikoma nuliu. Koordinatė y₀ yra ne kas kita, kaip aukštis h, iš kurio mestas kūnas (y₀=h).

Dabar išreikškime laiką t nuo pirmosios išraiškos ir pakeiskime jį antruoju, gausime:

y=h + tg(θ)x - g /(2v₀²cos ²(θ))x²

Ši geometrijos išraiška atitinka parabolę, kurios šakos nukreiptos žemyn.

Aukščiau pateiktų lygčių pakanka šio tipo judėjimo savybėms nustatyti. Taigi, jų sprendimas lemia tai, kad didžiausias skrydžio nuotolis pasiekiamas, jei θ=45^o, o didžiausias aukštis, iki kurio pakyla mestas kūnas, pasiekiamas, kai θ=90o.