Algebrinės nelygybės arba jų sistemos su racionaliais koeficientais, kurių sprendinių ieškoma integraliniais arba sveikaisiais skaičiais. Paprastai Diofanto lygtyse nežinomųjų skaičius yra didesnis. Taigi jie taip pat žinomi kaip neapibrėžtos nelygybės. Šiuolaikinėje matematikoje aukščiau pateikta sąvoka taikoma algebrinėms lygtims, kurių sprendinių ieškoma kai kurių Q-racionaliųjų kintamųjų lauko, p-adinių kintamųjų lauko ir tt išplėtimo algebriniuose sveikuosiuose skaičiuose.
Šių nelygybių ištakos
Diofantinių lygčių tyrimas yra ant ribos tarp skaičių teorijos ir algebrinės geometrijos. Sprendimų paieška sveikaisiais kintamaisiais yra viena iš seniausių matematinių problemų. Jau antrojo tūkstantmečio pr. Kr. pradžioje. senovės babiloniečiai sugebėjo išspręsti lygčių sistemas su dviem nežinomaisiais. Ši matematikos šaka labiausiai klestėjo senovės Graikijoje. Diofanto aritmetika (apie III a. po Kr.) yra svarbus ir pagrindinis š altinis, kuriame yra įvairių tipų ir sistemų lygčių.
Šioje knygoje Diofantas numatė daugybę antrosios ir trečiosios nelygybių tyrimo metodų.laipsnių, kurie buvo visiškai išplėtoti XIX a. Šiam senovės Graikijos tyrinėtojui sukūrus racionaliųjų skaičių teoriją, buvo analizuojami loginiai neapibrėžtų sistemų sprendimai, kuriais sistemingai vadovaujasi jo knygoje. Nors jo darbe yra konkrečių Diofanto lygčių sprendimų, yra pagrindo manyti, kad jis taip pat buvo susipažinęs su keliais bendraisiais metodais.
Šių nelygybių tyrimas paprastai siejamas su rimtais sunkumais. Dėl to, kad juose yra daugianario su sveikųjų skaičių koeficientais F (x, y1, …, y). Remiantis tuo buvo padarytos išvados, kad nėra vieno algoritmo, kuriuo būtų galima nustatyti bet kuriam duotam x, ar lygtis F (x, y1, …., y ). Situaciją galima išspręsti dėl y1, …, y . Tokių daugianarių pavyzdžius galima parašyti.
Paprasčiausia nelygybė
ax + by=1, kur a ir b yra santykinai sveikieji skaičiai ir pirminiai skaičiai, jis turi daugybę vykdymų (jei x0, y0 susidaro rezultatas, tada kintamųjų pora x=x0 + b ir y=y0 -an, kur n yra savavališkas, taip pat bus laikomas nelygybe). Kitas diofantinių lygčių pavyzdys yra x2 + y2 =z2. Šios nelygybės teigiami integraliniai sprendiniai yra mažųjų kraštinių x, y ir stačiųjų trikampių ilgiai, taip pat hipotenuzė z su sveikųjų kraštinių matmenimis. Šie skaičiai yra žinomi kaip Pitagoro skaičiai. Nurodyti visi trynukai pirminio skaičiaus atžvilgiuaukščiau pateikti kintamieji pateikti x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, kur m ir n yra sveikieji skaičiai ir pirminiai skaičiai (m>n>0).
Diofantas savo aritmetikoje ieško racionalių (nebūtinai vientisų) specialių savo nelygybių tipų sprendimų. Bendrą pirmojo laipsnio diofantinių lygčių sprendimo teoriją XVII amžiuje sukūrė C. G. Baschet. Kiti XIX amžiaus pradžios mokslininkai daugiausia tyrė panašias nelygybes, tokias kaip ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, kur a, b, c, d, e ir f yra bendrieji, nevienalyčiai, su dviem antrojo laipsnio nežinomaisiais. Lagrange'as savo tyrime naudojo tęstines frakcijas. Gaussas kvadratinėms formoms sukūrė bendrą teoriją, kuria grindžiami kai kurių tipų sprendimai.
Tiriant šias antrojo laipsnio nelygybes, reikšminga pažanga buvo pasiekta tik XX a. A. Thue nustatė, kad Diofanto lygtis a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, kur n≧3, a0, …, a , c yra sveikieji skaičiai ir a0tn + …+ a negali turėti begalinio sveikųjų skaičių sprendinių. Tačiau Thu metodas nebuvo tinkamai išplėtotas. A. Bakeris sukūrė veiksmingas teoremas, kurios pateikia kai kurių tokio pobūdžio lygčių veikimo įvertinimus. BN Delaunay pasiūlė kitą tyrimo metodą, taikomą siauresnei šių nelygybių klasei. Visų pirma, forma ax3 + y3 =1 yra visiškai išsprendžiama tokiu būdu.
Diofantino lygtys: sprendimo metodai
Diofanto teorija turi daug krypčių. Taigi, gerai žinoma šios sistemos problema yra hipotezė, kad nėra netrivialaus diofantinių lygčių sprendimo xn + y =z n jei n ≧ 3 (Fermato klausimas). Nelygybės sveikųjų skaičių išsipildymo tyrimas yra natūralus Pitagoro trynukų problemos apibendrinimas. Euleris gavo teigiamą Ferma uždavinio sprendimą, kai n=4. Dėl šio rezultato jis nurodo lygties trūkstamo sveikojo skaičiaus įrodymą, kuris nėra nulis, jei n yra nelyginis pirminis skaičius.
Sprendimo tyrimas nebaigtas. Jo įgyvendinimo sunkumai yra susiję su tuo, kad paprastas faktorizavimas algebrinių sveikųjų skaičių žiede nėra unikalus. Šios sistemos daliklių teorija daugeliui pirminių eksponentų n klasių leidžia patvirtinti Ferma teoremos pagrįstumą. Taigi tiesinė Diofanto lygtis su dviem nežinomaisiais yra įvykdyta esamais metodais ir būdais.
Apibūdintų užduočių tipai ir tipai
Algebrinių sveikųjų skaičių žiedų aritmetika taip pat naudojama daugelyje kitų Diofantinių lygčių uždavinių ir sprendimų. Pavyzdžiui, tokie metodai buvo taikomi vykdant N(a1 x1 +…+ a nelygybes x)=m, kur N(a) yra a norma ir x1, …, xn Rasti integraliniai racionalieji kintamieji. Ši klasė apima Pell lygtį x2–dy2=1.
Pasirodo reikšmės a1, …, a , šios lygtys skirstomos į du tipus. Pirmasis tipas – vadinamosios pilnosios formos – apima lygtis, kuriose tarp a yra m tiesiškai nepriklausomų skaičių racionaliųjų kintamųjų Q lauke, kur m=[Q(a1, …, a):Q], kuriame yra algebrinių rodiklių Q laipsnis (a1, …, a ) virš Q. Neužbaigtos rūšys yra kurių didžiausias skaičius a i yra mažesnis nei m.
Visos formos paprastesnės, jų tyrimas baigtas, o visus sprendimus galima aprašyti. Antrasis tipas, nepilnos rūšys, yra sudėtingesnis, o tokios teorijos kūrimas dar nebaigtas. Tokios lygtys tiriamos naudojant diofantines aproksimacijas, kurios apima nelygybę F(x, y)=C, kur F (x, y) yra neredukuojamas, vienalytis n≧3 laipsnio daugianomas. Taigi galime daryti prielaidą, kad yi→∞. Atitinkamai, jei yi yra pakankamai didelis, tai nelygybė prieštaraus Thue, Siegel ir Roth teoremai, iš kurios išplaukia, kad F(x, y)=C, kur F yra trečiojo ar aukštesnio laipsnio forma, neredukuojama negali turėti begalinio sprendinių skaičiaus.
Kaip išspręsti Diofanto lygtį?
Šis pavyzdys yra gana siaura klasė. Pavyzdžiui, nepaisant jų paprastumo, x3 + y3 + z3=N ir x2 +y 2 +z2 +u2 =N nėra įtraukti į šią klasę. Sprendimų tyrimas yra gana kruopščiai ištirta diofantinių lygčių šaka, kurios pagrindas yra vaizdavimas kvadratinėmis skaičių formomis. Lagranžassukūrė teoremą, kuri sako, kad įvykdymas egzistuoja visam natūraliajam N. Bet kuris natūralusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip trijų kvadratų suma (Gauso teorema), tačiau jis neturėtų būti 4a (8K-1), kur a ir k yra neneigiami sveikieji rodikliai.
Racionalūs arba integralūs F tipo diofantinės lygties sistemos sprendiniai (x1, …, x)=a, kur F (x 1, …, x) yra kvadratinė forma su sveikųjų skaičių koeficientais. Taigi, pagal Minkowskio-Hasse teoremą, nelygybė ∑aijxixj=b ijir b yra racionalus, turi integralinį sprendinį realiuose ir p-adiniuose skaičiuose kiekvienam pirminiam skaičiui p tik tuo atveju, jei jį galima išspręsti šioje struktūroje.
Dėl būdingų sunkumų skaičių studijos su savavališkomis trečiojo laipsnio ir aukštesnėmis formomis buvo tiriamos mažiau. Pagrindinis vykdymo būdas yra trigonometrinių sumų metodas. Šiuo atveju lygties sprendinių skaičius yra aiškiai parašytas Furjė integralu. Po to aplinkos metodas naudojamas atitinkamų kongruencijų nelygybės išsipildymo skaičiui išreikšti. Trigonometrinių sumų metodas priklauso nuo nelygybių algebrinių ypatybių. Egzistuoja daugybė elementarių linijinių diofantinių lygčių sprendimo metodų.
Diofantino analizė
Matematikos katedra, kurios dalykas – algebros lygčių sistemų integralinių ir racionalių sprendinių tyrimas geometrijos metodais, iš to patiessferos. 19 amžiaus antroje pusėje atsiradus šiai skaičių teorijai, Diofanto lygtys buvo tiriamos iš savavališko lauko su koeficientais, o sprendimai buvo svarstomi arba jame, arba jo žieduose. Lygiagrečiai su skaičiais sukurta algebrinių funkcijų sistema. Pagrindinė šių dviejų analogija, kurią pabrėžė D. Hilbertas ir ypač L. Kroneckeris, paskatino vienodai konstruoti įvairias aritmetines sąvokas, kurios paprastai vadinamos globaliomis.
Tai ypač pastebima, jei tiriamos algebrinės funkcijos baigtiniame konstantų lauke yra vienas kintamasis. Tokios sąvokos kaip klasės lauko teorija, daliklis ir šakojimasis bei rezultatai puikiai iliustruoja tai, kas išdėstyta pirmiau. Šis požiūris Diofantinių nelygybių sistemoje buvo perimtas tik vėliau, o sisteminiai tyrimai ne tik su skaitiniais koeficientais, bet ir su koeficientais, kurie yra funkcijos, pradėti tik 1950 m. Vienas iš lemiamų šio metodo veiksnių buvo algebrinės geometrijos plėtra. Skaičių ir funkcijų laukų, iškylančių kaip du vienodai svarbūs to paties dalyko aspektai, tyrimas vienu metu davė ne tik elegantiškų ir įtikinamų rezultatų, bet ir paskatino abipusį praturtinti dvi temas.
Algebrinėje geometrijoje įvairovės sąvoka pakeičiama nekintamų nelygybių rinkiniu tam tikrame lauke K, o jų sprendiniai pakeičiami racionaliais taškais, kurių reikšmės yra K arba baigtiniame jo plėtinyje. Atitinkamai galima teigti, kad pagrindinė diofantinės geometrijos problema yra racionalių taškų tyrimasalgebrinės aibės X(K), o X yra tam tikri skaičiai lauke K. Sveikasis skaičius turi geometrinę reikšmę tiesinėse diofantinės lygtyse.
Nelygybės tyrimai ir vykdymo galimybės
Tiriant racionalius (arba integralinius) taškus algebrinėse atmainose, iškyla pirmoji problema – jų egzistavimas. Dešimtoji Hilberto problema suformuluota kaip bendro šios problemos sprendimo metodo suradimo problema. Kuriant tikslų algoritmo apibrėžimą ir įrodžius, kad daugeliui uždavinių tokių vykdymų nėra, problema gavo akivaizdų neigiamą rezultatą, o įdomiausias klausimas yra Diofantinių lygčių klasių apibrėžimas. kuriems egzistuoja aukščiau nurodyta sistema. Natūraliausias būdas algebriniu požiūriu yra vadinamasis Hasse principas: pradinis laukas K tiriamas kartu su jo užbaigimais Kv per visus galimus įverčius. Kadangi X(K)=X(Kv) yra būtina egzistavimo sąlyga, o taškas K atsižvelgia į tai, kad aibė X(Kv) nėra tuščias visoms v.
Svarbumas slypi tame, kad jis sujungia dvi problemas. Antrasis yra daug paprastesnis, jį galima išspręsti pagal žinomą algoritmą. Konkrečiu atveju, kai atmaina X yra projekcinė, Hanselio lema ir jos apibendrinimai leidžia toliau redukuoti: problemą galima redukuoti į racionalių taškų tyrimą baigtiniame lauke. Tada jis nusprendžia sukurti koncepciją nuosekliais tyrimais arba veiksmingesniais metodais.
PaskutinisSvarbu atsižvelgti į tai, kad aibės X(Kv) yra netuščios visiems, išskyrus baigtinį v skaičių, todėl sąlygų skaičius visada yra baigtinis ir jas galima efektyviai patikrinti. Tačiau Hasse principas netaikomas laipsnių kreivėms. Pavyzdžiui, 3x3 + 4y3=5 turi taškų visuose p-adic skaičių laukuose ir realiųjų skaičių sistemoje, bet neturi racionalių taškų.
Šis metodas buvo atspirties taškas kuriant koncepciją, apibūdinančią Abelio atmainų pagrindinių vienalyčių erdvių klases, kad būtų atliktas „nukrypimas“nuo Hasse principo. Jis apibūdinamas pagal specialią struktūrą, kuri gali būti susieta su kiekvienu kolektorius (Tate-Shafarevich grupė). Pagrindinis teorijos sunkumas slypi tame, kad sunku gauti grupių skaičiavimo metodus. Ši sąvoka taip pat buvo išplėsta į kitas algebrinių variantų klases.
Ieškokite algoritmo, kaip įvykdyti nelygybes
Kita euristinė idėja, naudojama diofantinių lygčių tyrime, yra ta, kad jei nelygybių rinkinyje dalyvaujančių kintamųjų skaičius yra didelis, tada sistema paprastai turi sprendimą. Tačiau tai labai sunku įrodyti kiekvienu konkrečiu atveju. Bendrasis požiūris į tokio tipo problemas naudoja analitinę skaičių teoriją ir yra pagrįstas trigonometrinių sumų įverčiais. Šis metodas iš pradžių buvo taikomas specialioms lygčių rūšims.
Tačiau vėliau su jo pagalba buvo įrodyta, kad jei nelyginio laipsnio forma yra F, dir n kintamųjų ir su racionaliais koeficientais, tada n yra pakankamai didelis, palyginti su d, todėl projekcinis hiperpaviršius F=0 turi racionalųjį tašką.. Pagal Artino spėjimą šis rezultatas yra teisingas net jei n > d2. Tai buvo įrodyta tik kvadratinėms formoms. Panašių problemų galima užduoti ir kitose srityse. Pagrindinė diofantinės geometrijos problema yra sveikųjų arba racionaliųjų taškų aibės struktūra ir jų tyrimas, todėl pirmiausia reikia išsiaiškinti, ar ši aibė yra baigtinė. Šioje užduotyje situacija paprastai turi baigtinį vykdymų skaičių, jei sistemos laipsnis yra daug didesnis nei kintamųjų skaičius. Tai yra pagrindinė prielaida.
Tiesių ir kreivių nelygybės
Grupę X(K) galima pavaizduoti kaip tiesioginę r eilės laisvosios struktūros ir baigtinės n eilės grupės sumą. Nuo 1930-ųjų buvo tiriamas klausimas, ar šie skaičiai yra apriboti visų elipsinių kreivių aibe tam tikrame lauke K. Sukimo n ribojimas buvo parodytas aštuntajame dešimtmetyje. Funkciniu atveju yra savavališkai aukšto rango kreivės. Skaitiniu atveju atsakymo į šį klausimą vis dar nėra.
Galiausiai Mordell spėjimas teigia, kad integralinių taškų skaičius yra baigtinis g>1 genties kreivėje. Funkciniu atveju šią koncepciją pademonstravo Yu. I. Manin 1963 m. Pagrindinis įrankis, naudojamas įrodant baigtinumo teoremas Diofantinėje geometrijoje, yra aukštis. Iš algebrinių atmainų matmenys virš vieno yra Abeliokolektoriai, kurie yra daugiamačiai elipsinių kreivių analogai, buvo nuodugniausiai ištirti.
A. Weilas apibendrino teoremą apie racionalių taškų grupės generatorių skaičiaus baigtinumą bet kokios dimensijos Abelio atmainoms (Mordelio-Weilo koncepcija), ją išplėsdamas. 1960-aisiais pasirodė Birch ir Swinnerton-Dyer spėjimas, pagerinantis šią ir kolektoriaus grupės bei zeta funkcijas. Šią hipotezę patvirtina skaitiniai įrodymai.
Išsprendžiamumo problema
Algoritmo, kuriuo būtų galima nustatyti, ar kuri nors Diofanto lygtis turi sprendimą, radimo problema. Esminis keliamos problemos bruožas – universalaus metodo, kuris tiktų bet kokiai nelygybei, paieška. Toks metodas leistų išspręsti ir minėtas sistemas, nes jis yra ekvivalentiškas P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 arba p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Problemą, kaip rasti tokį universalų būdą, kaip rasti sveikųjų skaičių tiesinių nelygybių sprendimus, iškėlė D. Gilbertas.
XX amžiaus šeštojo dešimtmečio pradžioje pasirodė pirmieji tyrimai, kurių tikslas buvo įrodyti, kad neegzistuoja Diofanto lygčių sprendimo algoritmas. Tuo metu pasirodė Daviso spėjimas, kuriame teigiama, kad bet koks suskaičiuojamas rinkinys taip pat priklauso graikų mokslininkui. Kadangi algoritmiškai neapsprendžiamų aibių pavyzdžiai yra žinomi, bet yra rekursyviai suskaičiuojami. Iš to išplaukia, kad Daviso spėjimas yra teisingas ir šių lygčių išsprendžiamumo problematuri neigiamą vykdymą.
Po to, Daviso spėjimui, belieka įrodyti, kad yra nelygybės transformavimo metodas, kuris taip pat (arba neturėjo) tuo pačiu metu turi sprendimą. Parodyta, kad toks Diofanto lygties pokytis galimas, jeigu ji turi dvi aukščiau nurodytas savybes: 1) bet kuriame tokio tipo sprendinyje v ≦ uu; 2) bet kuris k yra vykdymas su eksponentiniu augimu.
Šios klasės tiesinės diofantinės lygties pavyzdys užbaigė įrodymą. Šių racionaliųjų skaičių nelygybių išsprendžiamumo ir atpažinimo algoritmo egzistavimo problema vis dar laikoma svarbiu ir atviru klausimu, kuris nėra pakankamai ištirtas.
