Norint suprasti, kas yra funkcijos ekstremalieji taškai, visai nebūtina žinoti apie pirmosios ir antrosios išvestinių buvimą ir suprasti jų fizinę reikšmę. Pirmiausia turite suprasti šiuos dalykus:
- funkcijos ekstremalios funkcijos padidina arba, atvirkščiai, sumažina funkcijos reikšmę savavališkai mažoje kaimynystėje;
- Kraštutiniame taške neturėtų būti funkcijos pertraukos.
Ir dabar tas pats, tik paprasta kalba. Pažiūrėkite į tušinuko galiuką. Jei rašiklis dedamas vertikaliai, rašymo galu į viršų, tada pats rutulio vidurys bus kraštutinis taškas – aukščiausias taškas. Šiuo atveju kalbame apie maksimumą. Dabar, jei pasuksite rašiklį rašymo galu žemyn, tada rutulio viduryje jau bus funkcijos minimumas. Naudodami čia pateiktą paveikslėlį, galite įsivaizduoti išvardytas kanceliarinio pieštuko manipuliacijas. Taigi funkcijos ekstremumai visada yra kritiniai taškai: jos maksimumai arba minimumai. Gretima diagramos dalis gali būti savavališkai aštri arba lygi, tačiau ji turi egzistuoti iš abiejų pusių, tik šiuo atveju taškas yra ekstremumas. Jei diagrama yra tik vienoje pusėje, šis taškas nebus ekstremumas, net jei jis yra vienoje pusėjetenkinamos ekstremalios sąlygos. Dabar panagrinėkime funkcijos kraštutinumus moksliniu požiūriu. Kad taškas būtų laikomas ekstremumu, būtina ir pakanka, kad:
- pirmoji išvestinė buvo lygi nuliui arba taške jos nebuvo;
- pirmasis vedinys šiuo metu pakeitė savo ženklą.
Sąlyga interpretuojama kiek kitaip aukštesnės eilės išvestinių požiūriu: taške diferencijuojamai funkcijai pakanka, kad būtų nelyginės eilės išvestinė, kuri nėra lygi nuliui, o visos žemesnės eilės išvestinės priemonės turi egzistuoti ir būti lygios nuliui. Tai paprasčiausias teoremų aiškinimas iš aukštosios matematikos vadovėlių. Tačiau paprastiems žmonėms verta paaiškinti šį klausimą pavyzdžiu. Pagrindas yra įprasta parabolė. Nedelsdami padarykite rezervaciją, nuliniame taške jis turi minimumą. Šiek tiek matematikos:
- pirma išvestinė (X2)|=2X, nuliniam taškui 2X=0;
- antra išvestinė (2X)|=2, nuliniam taškui 2=2.
Tai paprastas sąlygų, lemiančių funkcijos ekstremumus tiek pirmosios, tiek aukštesnės eilės išvestinėms, iliustracija. Prie to galime pridurti, kad antroji išvestinė yra tik ta pati nelyginės eilės išvestinė, nelygi nuliui, kuri buvo aptarta kiek aukščiau. Kai kalbama apie dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumus, abiem argumentams turi būti įvykdytos sąlygos. Kadaįvyksta apibendrinimas, tada naudojami daliniai vediniai. Tai yra, būtina, kad taške būtų ekstremumas, kad abi pirmosios eilės išvestinės būtų lygios nuliui arba bent vienos iš jų nėra. Ekstremo buvimo pakankamumui tiriama išraiška, kuri yra skirtumas tarp antros eilės išvestinių sandaugos ir funkcijos mišrios antros eilės išvestinės kvadrato. Jei ši išraiška yra didesnė už nulį, tada yra ekstremumas, o jei yra nulis, tada klausimas lieka atviras ir reikia papildomų tyrimų.
