Daugeliui žmonių matematinė analizė yra tik nesuprantamų skaičių, piktogramų ir apibrėžimų, kurie yra toli nuo tikrojo gyvenimo, rinkinys. Tačiau pasaulis, kuriame mes egzistuojame, yra sukurtas remiantis skaitiniais modeliais, kurių identifikavimas padeda ne tik sužinoti apie mus supantį pasaulį ir išspręsti sudėtingas jo problemas, bet ir supaprastinti kasdienes praktines užduotis. Ką matematikas turi omenyje sakydamas, kad skaičių seka susilieja? Tai turėtų būti aptarta išsamiau.
Kas yra be galo mažas?
Įsivaizduokime matrioškas, kurios telpa viena į kitą. Jų dydžiai, parašyti skaičių forma, pradedant didžiausiu ir baigiant mažiausiu iš jų, sudaro seką. Jei įsivaizduosite begalinį tokių ryškių figūrų skaičių, tada gauta eilutė bus fantastiškai ilga. Tai konvergencinė skaičių seka. Ir jis linkęs į nulį, nes kiekvienos paskesnės lizdinės lėlės dydis, katastrofiškai mažėjantis, pamažu virsta niekuo. Taigi tai lengvagalima paaiškinti: kas yra be galo maža.
Panašus pavyzdys būtų kelias, vedantis į tolį. O palei jį nuo stebėtojo tolstančio automobilio vizualiniai matmenys, palaipsniui mažėjantys, virsta beforme tašką primenančia dėmele. Taigi mašina, kaip ir objektas, tolstanti nežinoma kryptimi, tampa be galo maža. Nurodyto kūno parametrai niekada nebus nulis tiesiogine to žodžio prasme, bet visada linkę į šią vertę galutinėje riboje. Todėl ši seka vėl susilieja į nulį.
Apskaičiuokite viską po lašo
Įsivaizduokime dabar pasaulietišką situaciją. Gydytojas paskyrė pacientui gerti vaistus, pradedant nuo dešimties lašų per dieną ir įlašinant po du kiekvieną kitą dieną. Ir taip gydytoja pasiūlė tęsti tol, kol baigsis vaisto buteliuko, kurio tūris yra 190 lašų, turinys. Iš to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia, kad tokių skaičių, suplanuotų pagal dieną, bus šios skaičių eilutės: 10, 12, 14 ir pan.
Kaip sužinoti viso kurso baigimo laiką ir sekos narių skaičių? Čia, žinoma, galima primityviai skaičiuoti lašus. Tačiau, atsižvelgiant į modelį, daug lengviau naudoti aritmetinės progresijos su žingsniu d=2 formulę. Ir naudodamiesi šiuo metodu išsiaiškinkite, kad skaičių serijos narių skaičius yra 10. Šiuo atveju, a10=28. Varpos skaičius rodo vaisto vartojimo dienų skaičių, o 28 – lašų skaičių, kurį pacientas turi lašintinaudoti paskutinę dieną. Ar ši seka susilieja? Ne, nes nepaisant to, kad jis apribotas iki 10 iš apačios ir 28 iš viršaus, tokia skaičių serija, skirtingai nei ankstesniuose pavyzdžiuose, neturi ribų.
Koks skirtumas?
Dabar pabandykime išsiaiškinti: kada skaičių serija pasirodo esanti konvergentinė seka. Tokio pobūdžio apibrėžimas, kaip galima daryti iš to, kas išdėstyta aukščiau, yra tiesiogiai susijęs su baigtinės ribos samprata, kurios buvimas atskleidžia klausimo esmę. Taigi koks esminis skirtumas tarp anksčiau pateiktų pavyzdžių? Ir kodėl paskutiniame iš jų skaičius 28 negali būti laikomas skaičių serijos X =10 + 2(n-1) riba?
Norėdami išsiaiškinti šį klausimą, apsvarstykite kitą seką, pateiktą pagal toliau pateiktą formulę, kur n priklauso natūraliųjų skaičių aibei.
Ši narių bendruomenė yra bendrųjų trupmenų rinkinys, kurio skaitiklis yra 1, o vardiklis nuolat didėja: 1, ½ …
Nr. Ir kuo arčiau jos, tuo tankesnė jų koncentracija skaičių tiesėje. Ir atstumas tarp jų katastrofiškai sumažėja, virsdamas be galo mažu. Tai ženklas, kad seka konverguoja.
PanašusTaigi paveiksle pavaizduoti įvairiaspalviai stačiakampiai, tolstant erdvėje, vizualiai yra labiau perpildyti, hipotetinėje riboje virsta nereikšmingais.
Be galo didelės sekos
Išanalizavę konvergencinės sekos apibrėžimą, pereikime prie priešingų pavyzdžių. Daugelis jų žmogui žinomi nuo senų senovės. Paprasčiausi skirtingų sekų variantai yra natūraliųjų ir lyginių skaičių eilutės. Jie kitaip vadinami be galo dideliais, nes jų nariai, nuolat didėjantys, vis labiau artėja prie teigiamos begalybės.
Tokių pavyzdžių taip pat gali būti bet kuri aritmetinė ir geometrinė progresija, kurios žingsnis ir vardiklis atitinkamai yra didesni už nulį. Be to, skaitinės eilutės laikomos skirtingomis sekomis, kurios visiškai neturi ribų. Pavyzdžiui, X =(-2) -1.
Fibonačio seka
Praktinė anksčiau minėtos skaičių serijos nauda žmonijai yra neabejotina. Tačiau yra begalė kitų puikių pavyzdžių. Vienas iš jų yra Fibonačio seka. Kiekvienas jos narys, prasidedantis vienu, yra ankstesnių narių suma. Pirmieji du jo atstovai yra 1 ir 1. Trečiasis 1+1=2, ketvirtasis 1+2=3, penktasis 2+3=5. Toliau, remiantis ta pačia logika, seka skaičiai 8, 13, 21 ir tt.
Ši skaičių serija didėja neribotą laiką ir neturigalutinė riba. Tačiau jis turi dar vieną nuostabų turtą. Kiekvieno ankstesnio skaičiaus ir kito skaičiaus santykis vis labiau artėja prie 0,618. Čia galite suprasti skirtumą tarp konvergentinės ir divergentinės sekos, nes jei padarysite gautų dalinių padalijimų eilę, nurodyta skaitinė sistema turi baigtinę ribą, lygią 0,618.
Fibonačio koeficientų seka
Aukščiau nurodytos skaičių serijos yra plačiai naudojamos praktiniais tikslais atliekant techninę rinkų analizę. Tačiau tai neapsiriboja jo galimybėmis, kurias egiptiečiai ir graikai žinojo ir sugebėjo pritaikyti senovėje. Tai įrodo jų pastatytos piramidės ir Partenonas. Juk skaičius 0,618 yra pastovus aukso pjūvio koeficientas, gerai žinomas senais laikais. Pagal šią taisyklę bet kurį savavališką atkarpą galima padalyti taip, kad santykis tarp jo dalių sutaptų su didžiausio segmento ir bendro ilgio santykiu.
Sukonstruokime nurodytų ryšių seriją ir pabandykime išanalizuoti šią seką. Skaičių serija bus tokia: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 ir pan. Taip tęsdami galime įsitikinti, kad konvergencinės sekos riba tikrai bus 0,618. Tačiau būtina atkreipti dėmesį į kitas šio dėsningumo savybes. Čia skaičiai atrodo atsitiktinai, o ne didėjimo ar mažėjimo tvarka. Tai reiškia, kad ši konverguojanti seka nėra monotoniška. Kodėl taip yra, bus aptarta toliau.
Monotoniškumas ir apribojimai
Skaičių serijos narių skaičius gali aiškiai mažėti didėjant skaičiui (jei x1>x2>x3>…>x >…) arba didėja (jei x1<x213<…<x <…). Šiuo atveju sakoma, kad seka yra griežtai monotoniška. Taip pat galima pastebėti kitus modelius, kai skaitinės eilutės bus nemažėjančios ir nedidėjančios (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… arba x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), tada iš eilės konvergencinė taip pat yra monotoniška, tik ne griežtąja prasme. Geras pirmosios iš šių parinkčių pavyzdys yra skaičių serija, pateikta pagal šią formulę.
Nupiešę šios serijos numerius, matote, kad bet kuris jos narys, neribotą laiką artėjantis prie 1, niekada neviršys šios vertės. Šiuo atveju sakoma, kad konvergencinė seka yra ribojama. Taip atsitinka, kai yra toks teigiamas skaičius M, kuris visada yra didesnis nei bet kuris iš modulio serijos sąlygų. Jei skaičių eilutė turi monotoniškumo požymius ir turi ribą, todėl susilieja, tada ji būtinai turi tokią savybę. Ir priešingai nebūtinai turi būti tiesa. Tai liudija konvergencinės sekos ribos teorema.
Tokių stebėjimų taikymas praktikoje yra labai naudingas. Pateiksime konkretų pavyzdį, išnagrinėdami sekos X =savybesn/n+1, ir įrodyti jo konvergenciją. Nesunku parodyti, kad jis monotoniškas, nes (x +1 – x) yra teigiamas skaičius bet kurioms n reikšmėms. Sekos riba lygi skaičiui 1, o tai reiškia, kad tenkinamos visos aukščiau pateiktos teoremos, dar vadinamos Veierstraso teorema, sąlygos. Konvergencinės sekos ribos teorema teigia, kad jei ji turi ribą, tai bet kuriuo atveju ji pasirodo esanti ribojama. Tačiau paimkime toliau pateiktą pavyzdį. Skaičių serija X =(-1) iš apačios apribota -1, o iš viršaus - 1. Tačiau ši seka nėra monotoniška, neturi riba, todėl nesutampa. Tai yra, ribos egzistavimas ir konvergencija ne visada išplaukia iš apribojimo. Kad tai veiktų, apatinė ir viršutinė ribos turi sutapti, kaip ir Fibonačio koeficientų atveju.
Visatos skaičiai ir dėsniai
Paprasčiausi konvergencinės ir besiskiriančios sekos variantai galbūt yra skaitinė eilutė X =n ir X =1/n. Pirmasis iš jų yra natūrali skaičių serija. Jis, kaip jau minėta, be galo didelis. Antroji konvergentinė seka yra ribojama, o jos terminai yra artimi be galo mažiems dydžiams. Kiekviena iš šių formulių įasmenina vieną iš daugialypės Visatos pusių, padeda žmogui įsivaizduoti ir apskaičiuoti kažką nežinomo, neprieinamo ribotam suvokimui skaičių ir ženklų kalba.
Visatos dėsniai, nuo nereikšmingų iki neįtikėtinai didelių, taip pat išreiškia auksinį santykį 0,618. Mokslininkaijie tiki, kad tai yra daiktų esmės pagrindas ir gamtos naudojama jo dalims formuoti. Jau minėti kitų ir ankstesnių Fibonacci serijos narių santykiai nepabaigia šios unikalios serijos nuostabių savybių demonstravimo. Jei laikysime koeficientą, padalijantį ankstesnį narį iš kito iš vieneto, gausime eilutę 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 ir pan. Įdomu tai, kad ši ribota seka susilieja, ji nėra monotoniška, tačiau gretimų skaičių, esančių kraštutiniais nuo tam tikro nario, santykis visada yra maždaug lygus 0,382, kuris taip pat gali būti naudojamas architektūroje, techninėje analizėje ir kitose pramonės šakose.
Yra ir kitų įdomių Fibonacci serijos koeficientų, jie visi atlieka ypatingą vaidmenį gamtoje, be to, žmonės juos naudoja praktiniais tikslais. Matematikai įsitikinę, kad Visata vystosi pagal tam tikrą „auksinę spiralę“, susidariusią iš nurodytų koeficientų. Jų pagalba galima apskaičiuoti daugybę Žemėje ir erdvėje vykstančių reiškinių – nuo tam tikrų bakterijų skaičiaus augimo iki tolimų kometų judėjimo. Pasirodo, DNR kodas paklūsta panašiems dėsniams.
Mažėjanti geometrinė progresija
Yra teorema, kuri tvirtina konvergencinės sekos ribos unikalumą. Tai reiškia, kad jis negali turėti dviejų ar daugiau ribų, o tai neabejotinai svarbu ieškant jo matematinių charakteristikų.
Pažiūrėkime kai kuriuosatvejų. Bet kuri skaitinė eilutė, sudaryta iš aritmetinės progresijos narių, yra skirtinga, išskyrus atvejį, kai žingsnis yra nulis. Tas pats pasakytina ir apie geometrinę progresiją, kurios vardiklis yra didesnis nei 1. Tokių skaitinių eilučių ribos yra begalybės „pliusas“arba „minusas“. Jei vardiklis yra mažesnis nei -1, tada nėra jokios ribos. Galimos ir kitos parinktys.
Apsvarstykite skaičių seką, pateiktą pagal formulę X =(1/4) -1. Iš pirmo žvilgsnio nesunku pastebėti, kad ši konverguojanti seka yra ribota, nes ji griežtai mažėja ir jokiu būdu negali gauti neigiamų reikšmių.
Parašykime keletą jos narių iš eilės.
Paaiškės: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 ir pan. Pakanka gana paprastų skaičiavimų, kad suprastum, kaip greitai ši geometrinė progresija mažėja nuo vardklių 0<q<1. Nors terminų vardiklis didėja neribotai, jie patys tampa be galo maži. Tai reiškia, kad skaičių serijos riba yra 0. Šis pavyzdys dar kartą parodo ribotą konvergencinės sekos pobūdį.
Pagrindinės sekos
Augustinas Louisas Cauchy, prancūzų mokslininkas, atskleidė pasauliui daugybę darbų, susijusių su matematine analize. Jis apibrėžė tokias sąvokas kaip diferencialas, integralas, riba ir tęstinumas. Jis taip pat ištyrė pagrindines konvergencinių sekų savybes. Kad suprastų jo idėjų esmę,reikia apibendrinti kai kurias svarbias detales.
Pačioje straipsnio pradžioje buvo parodyta, kad yra tokių sekų, kurioms yra kaimynystė, kai taškai, atstovaujantys tam tikros serijos narius tikroje tiesėje, pradeda kauptis, vis labiau išsirikiuodami tankiai. Tuo pačiu metu, didėjant kito atstovo skaičiui, atstumas tarp jų mažėja, virsdamas be galo mažu. Taigi paaiškėja, kad tam tikroje kaimynystėje yra sugrupuotas begalinis skaičius tam tikros serijos atstovų, o už jos ribų jų yra baigtinis skaičius. Tokios sekos vadinamos pagrindinėmis.
Žymusis Koši kriterijus, sukurtas prancūzų matematiko, aiškiai rodo, kad tokios savybės pakanka įrodyti sekos konvergavimą. Ir atvirkščiai.
Pažymėtina, kad ši prancūzų matematiko išvada daugiausia yra grynai teorinė. Jo taikymas praktikoje laikomas gana sudėtingu dalyku, todėl, norint išsiaiškinti eilučių konvergenciją, daug svarbiau įrodyti sekos baigtinės ribos egzistavimą. Kitu atveju jis laikomas skirtingu.
Spręsdami uždavinius, reikia atsižvelgti ir į pagrindines konvergentinių sekų savybes. Jie rodomi toliau.
Begalinės sumos
Tokie garsūs antikos mokslininkai kaip Archimedas, Euklidas, Eudoksas kreivių ilgiams ir kūnų tūriams apskaičiuoti naudojo begalinių skaičių eilučių sumas.ir figūrų plotai. Visų pirma, tokiu būdu buvo galima sužinoti parabolinio segmento plotą. Tam buvo panaudota geometrinės progresijos, kurios q=1/4, skaitinių eilučių suma. Panašiai buvo rasti ir kitų savavališkų figūrų tūriai ir plotai. Ši parinktis buvo vadinama „išnaudojimo“metodu. Idėja buvo ta, kad tiriamas sudėtingos formos kūnas buvo suskaidytas į dalis, kurios buvo figūros su lengvai išmatuojamais parametrais. Dėl šios priežasties nebuvo sunku apskaičiuoti jų plotus ir tūrius, o tada jie buvo sumuojami.
Beje, panašios užduotys yra labai žinomos šiuolaikiniams moksleiviams ir randamos USE užduotyse. Unikalus metodas, kurį rado tolimi protėviai, yra pats paprasčiausias sprendimas. Net jei yra tik dvi ar trys dalys, į kurias padalyta skaitinė figūra, jų plotų pridėjimas vis tiek yra skaičių serijos suma.
Daug vėliau nei senovės graikų mokslininkai Leibnicas ir Niutonas, remdamiesi savo išmintingų pirmtakų patirtimi, išmoko integralinio skaičiavimo modelius. Žinios apie sekų savybes padėjo jiems išspręsti diferencialines ir algebrines lygtis. Šiuo metu serijų teorija, sukurta daugelio kartų talentingų mokslininkų pastangomis, suteikia galimybę išspręsti daugybę matematinių ir praktinių problemų. O skaitinių sekų tyrimas buvo pagrindinė matematinės analizės išspręsta problema nuo pat jos įkūrimo.
