Tiriant kvadratinės lygties savybes, buvo nustatytas apribojimas – diskriminantui, mažesniam už nulį, sprendimo nėra. Iš karto buvo nustatyta, kad mes kalbame apie realiųjų skaičių aibę. Smalsus matematiko protas susidomės – kokia paslaptis slypi pastraipoje apie tikrąsias vertybes?
Laikui bėgant matematikai pristatė kompleksinių skaičių sąvoką, kai sąlyginė antrosios šaknies iš minus vieneto reikšmė yra paimama kaip vienetas.
Istorijos fonas
Matematinė teorija vystoma nuosekliai, nuo paprastos iki sudėtingos. Išsiaiškinkime, kaip atsirado sąvoka „sudėtingas skaičius“ir kodėl ji reikalinga.
Nuo neatmenamų laikų matematikos pagrindas buvo įprasta sąskaita. Tyrėjai žinojo tik natūralią vertybių rinkinį. Sudėti ir atimti buvo paprasta. Kai ekonominiai santykiai tapo sudėtingesni, vietoj tų pačių verčių pridėjimo imta naudoti dauginimą. Yra atvirkštinė operacijadaugyba – dalyba.
Natūralaus skaičiaus sąvoka apribojo aritmetinių veiksmų naudojimą. Neįmanoma išspręsti visų padalijimo problemų sveikųjų skaičių reikšmių aibėje. Darbas su trupmenomis iš pradžių atvedė prie racionalių vertybių sampratos, o paskui prie neracionalių vertybių. Jei racionaliesiems galima nurodyti tikslią taško vietą tiesėje, tai neracionaliesiems tokio taško nurodyti neįmanoma. Galite tik apytiksliai apskaičiuoti intervalą. Racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių sąjunga sudarė realią aibę, kurią galima pavaizduoti kaip tam tikrą tiesę su duota skale. Kiekvienas žingsnis išilgai linijos yra natūralusis skaičius, o tarp jų yra racionalios ir neracionalios reikšmės.
Prasidėjo teorinės matematikos era. Astronomijos, mechanikos, fizikos raida reikalavo spręsti vis sudėtingesnes lygtis. Apskritai kvadratinės lygties šaknys buvo rastos. Spręsdami sudėtingesnį kubinį daugianarį, mokslininkai susidūrė su prieštaravimu. Kubinės šaknies iš neigiamo samprata yra prasminga, tačiau kvadratinei šaknies atveju gaunamas neapibrėžtis. Be to, kvadratinė lygtis yra tik ypatingas kubinės lygties atvejis.
1545 m. italas J. Cardano pasiūlė įvesti įsivaizduojamo skaičiaus sąvoką.
Šis skaičius yra antroji minuso šaknis. Terminas kompleksinis skaičius galutinai susiformavo tik po trijų šimtų metų, žinomo matematiko Gauso darbuose. Jis pasiūlė formaliai išplėsti visus algebros dėsnius iki menamo skaičiaus. Tikroji linija buvo pratęsta ikilėktuvai. Pasaulis yra didesnis.
Pagrindinės sąvokos
Prisiminkite daugybę funkcijų, kurios turi apribojimų realiam rinkiniui:
- y=arcsin(x), apibrėžta tarp neigiamo ir teigiamo 1.
- y=ln(x), dešimtainis logaritmas yra prasmingas su teigiamais argumentais.
- kvadratinė šaknis y=√x, apskaičiuota tik x ≧ 0.
Žymėdami i=√(-1), tokią sąvoką pristatome kaip įsivaizduojamą skaičių, tai pašalins visus apribojimus iš minėtų funkcijų apibrėžimo srities. Tokios išraiškos kaip y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) turi prasmę tam tikroje kompleksinių skaičių erdvėje.
Algebrinę formą galima parašyti kaip išraišką z=x + i×y realiųjų x ir y reikšmių aibėje, o i2 =-1.
Nauja koncepcija pašalina visus apribojimus naudoti bet kokias algebrines funkcijas ir primena tiesės grafiką realių ir įsivaizduojamų reikšmių koordinatėmis.
Sudėtinga plokštuma
Sudėtinių skaičių geometrinė forma leidžia vizualiai pavaizduoti daugelį jų savybių. Ašyje Re(z) pažymime tikrąsias x reikšmes, ant Im(z) - įsivaizduojamas y reikšmes, tada z taškas plokštumoje parodys reikiamą kompleksinę reikšmę.
Apibrėžimai:
- Re(z) – tikroji ašis.
- Im(z) – reiškia įsivaizduojamą ašį.
- z – sąlyginis kompleksinio skaičiaus taškas.
- Vektoriaus ilgio nuo nulio iki z skaitinė reikšmė vadinamamodulis.
- Realios ir įsivaizduojamos ašys padalija plokštumą į ketvirčius. Su teigiama koordinačių reikšme – I ketvirtis. Kai tikrosios ašies argumentas yra mažesnis už 0, o įsivaizduojama ašis yra didesnė nei 0 – II ketvirtis. Kai koordinatės neigiamos – III ketvirtis. Paskutiniame, ketvirtajame ketvirtyje yra daug teigiamų realių ir neigiamų įsivaizduojamų verčių.
Taigi, plokštumoje su x ir y koordinačių reikšmėmis visada galima vizualizuoti kompleksinio skaičiaus tašką. Simbolis i pristatomas siekiant atskirti tikrąją dalį nuo įsivaizduojamos.
Ypatybės
- Kai įsivaizduojamo argumento reikšmė lygi nuliui, gauname tik skaičių (z=x), kuris yra tikrojoje ašyje ir priklauso tikrajai aibei.
- Ypatingas atvejis, kai tikrojo argumento reikšmė tampa nuliu, išraiška z=i×y atitinka taško vietą įsivaizduojamoje ašyje.
- Bendra z=x + i×y forma bus skirta argumentų reikšmėms, kurios skiriasi nuo nulio. Nurodo kompleksinį skaičių apibūdinančio taško vietą viename iš ketvirčių.
Trigonometrinis žymėjimas
Prisiminkite polinę koordinačių sistemą ir trigonometrinių funkcijų sin ir cos apibrėžimą. Akivaizdu, kad šių funkcijų pagalba galima apibūdinti bet kurio plokštumos taško vietą. Norėdami tai padaryti, pakanka žinoti poliarinio pluošto ilgį ir pasvirimo kampą į tikrąją ašį.
Apibrėžimas. Formos ∣z ∣ įrašas, padaugintas iš trigonometrinių funkcijų cos(ϴ) ir įsivaizduojamosios dalies i ×sin(ϴ) sumos, vadinamas trigonometriniu kompleksiniu skaičiumi. Čia žymėjimas yra pasvirimo kampas į tikrąją ašį
ϴ=arg(z) ir r=∣z∣, sijos ilgis.
Iš trigonometrinių funkcijų apibrėžimo ir savybių išplaukia labai svarbi Moivre formulė:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Naudojant šią formulę patogu išspręsti daugelį lygčių sistemų, kuriose yra trigonometrinių funkcijų. Ypač tada, kai iškyla pakėlimo į valdžią problema.
Modulis ir fazė
Norėdami užbaigti sudėtingo rinkinio aprašymą, siūlome du svarbius apibrėžimus.
Žinant Pitagoro teoremą, nesunku apskaičiuoti pluošto ilgį poliarinėje koordinačių sistemoje.
r=∣z∣=√(x2 + y2), toks kompleksinės erdvės žymėjimas vadinamas modulis“ir apibūdina atstumą nuo 0 iki taško plokštumoje.
Sudėtingo pluošto polinkio į tikrąją liniją ϴ kampas paprastai vadinamas faze.
Apibrėžimas rodo, kad tikroji ir įsivaizduojama dalys aprašomos naudojant ciklines funkcijas. Būtent:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
Atvirkščiai, fazė susieta su algebrinėmis reikšmėmis pagal formulę:
ϴ=arctan(x / y) + µ, įvedama pataisa µ, kad būtų atsižvelgta į geometrinių funkcijų periodiškumą.
Eulerio formulė
Matematikai dažnai naudoja eksponentinę formą. Sudėtiniai plokštumos skaičiai rašomi kaip išraiškos
z=r × ei×ϴ , kas išplaukia iš Eulerio formulės.
Šis įrašas plačiai naudojamas praktiniam fizikinių dydžių skaičiavimui. Pateikimo forma formojeEksponentiniai kompleksiniai skaičiai yra ypač patogūs inžineriniams skaičiavimams, kai reikia skaičiuoti grandines su sinusoidinėmis srovėmis ir reikia žinoti funkcijų integralų su duotu periodu reikšmę. Patys skaičiavimai naudojami kaip įrankis projektuojant įvairias mašinas ir mechanizmus.
Apibrėžkite operacijas
Kaip jau minėta, visi algebriniai darbo su pagrindinėmis matematinėmis funkcijomis dėsniai taikomi kompleksiniams skaičiams.
Sumos operacija
Pridedant sudėtingas reikšmes, pridedamos ir tikrosios bei įsivaizduojamos jų dalys.
z=z1 + z2 kur z1 ir z2 – bendrieji kompleksiniai skaičiai. Transformuodami išraišką, atidarę skliaustus ir supaprastinus žymėjimą, gauname tikrąjį argumentą x=(x1 + x2), įsivaizduojamą argumentą y=(y 1 + y2).
Diagramoje tai atrodo kaip dviejų vektorių pridėjimas pagal gerai žinomą lygiagretainio taisyklę.
Atimties operacija
Laikomas ypatingu sudėjimo atveju, kai vienas skaičius yra teigiamas, o kitas yra neigiamas, tai yra, yra veidrodiniame kvartale. Algebrinis žymėjimas atrodo kaip skirtumas tarp tikrosios ir įsivaizduojamos dalių.
z=z1 - z2 arba, atsižvelgiant į argumentų reikšmes, panašiai kaip pridėjus operaciją gauname tikrosioms reikšmėms x=(x1 - x2) ir įsivaizduojamai y=(y1- y2).
Daugyba sudėtingoje plokštumoje
Naudodami darbo su daugianariais taisykles išvedame formulękompleksiniams skaičiams išspręsti.
Laikydamiesi bendrųjų algebrinių taisyklių z=z1×z2, apibūdinkite kiekvieną argumentą ir išvardinkite panašius. Tikroji ir įsivaizduojama dalys gali būti parašytos taip:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Atrodytų gražiau, jei naudosime eksponentinius kompleksinius skaičius.
Išraiška atrodo taip: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Be to, moduliai padauginami ir fazės pridedamos.
Padalinys
Kai dalybos operaciją laikome atvirkštine daugybos operacija, gauname paprastą išraišką eksponentinės žymos forma. Reikšmės z1 padalijimas iš z2 yra jų modulių ir fazių skirtumo padalijimo rezultatas. Formaliai, naudojant kompleksinių skaičių eksponentinę formą, tai atrodo taip:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
Algebrinio žymėjimo forma kompleksinės plokštumos skaičių padalijimo operacija parašyta šiek tiek sudėtingiau:
z=z1 / z2.
Apibūdinant argumentus ir atliekant daugianario transformacijas, lengva gauti reikšmesx=x1 × x2 + y1 × y2, atitinkamai y=x2 × y1 - x1 × y2 , tačiau aprašytoje erdvėje ši išraiška prasminga, jei z2 ≠ 0.
Išskleiskite šaknį
Visa aukščiau išvardinta gali būti taikoma apibrėžiant sudėtingesnes algebrines funkcijas – didinant iki bet kokios laipsnio ir atvirkščiai – išimant šaknį.
Naudodami bendrą didinimo iki laipsnio n sąvoką, gauname apibrėžimą:
zn =(r × eiϴ).
Naudodami įprastas ypatybes, perrašykite kaip:
zn =rn × eiϴ.
Gavome paprastą formulę, kaip kompleksinį skaičių pakelti į laipsnį.
Iš laipsnio apibrėžimo gauname labai svarbią pasekmę. Lyginė įsivaizduojamo vieneto galia visada yra 1. Bet kokia nelyginė įsivaizduojamo vieneto galia visada yra -1.
Dabar išstudijuokime atvirkštinę funkciją – šaknies ištraukimą.
Kad būtų lengviau žymėti, imkime n=2. Kvadratinė šaknis w iš kompleksinės reikšmės z kompleksinėje plokštumoje C laikoma išraiška z=±, galiojančia bet kuriam realiam argumentui, didesniam arba lygiam nulis. Jei w ≦ 0, sprendimo nėra.
Pažiūrėkime į paprasčiausią kvadratinę lygtį z2 =1. Naudodami kompleksinių skaičių formules perrašykite r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Iš įrašo matyti, kad r2 =1 ir ϴ=0, todėl turime unikalų sprendimą, lygų 1. Tačiau tai prieštarauja nuostatai, kad z=-1 taip pat atitinka kvadratinės šaknies apibrėžimą.
Išsiaiškinkime, į ką neatsižvelgiame. Jei prisiminsime trigonometrinį žymėjimą, tada atkuriame teiginį - periodiškai keičiant fazę ϴ, kompleksinis skaičius nesikeičia. Tegul p žymi laikotarpio reikšmę, tada turime r2 × ei2ϴ =ei(0+p), iš kur 2ϴ=0 + p, arba ϴ=p / 2. Todėl ei0 =1 ir eip/2 =-1. Gavome antrąjį sprendimą, kuris atitinka bendrą kvadratinės šaknies supratimą.
Taigi, norėdami rasti savavališką kompleksinio skaičiaus šaknį, atliksime procedūrą.
- Parašykite eksponentinę formą w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k yra savavališkas sveikasis skaičius.
- Norimas skaičius taip pat pateikiamas Eulerio forma z=r × eiϴ.
- Naudokite bendrąjį šaknies ištraukimo funkcijos apibrėžimą r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- Iš bendrųjų modulių ir argumentų lygybės savybių rašome rn =∣w∣ ir nϴ=arg (w) + p×k.
- Galutinis kompleksinio skaičiaus šaknies įrašas apibūdinamas formule z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Pastaba. ∣w∣ reikšmė pagal apibrėžimą,yra teigiamas tikrasis skaičius, todėl bet kurio laipsnio šaknis turi prasmę.
Laukas ir konjugacija
Apibendrinant, pateikiame du svarbius apibrėžimus, kurie yra mažai svarbūs sprendžiant taikomąsias problemas su kompleksiniais skaičiais, tačiau yra būtini tolesniam matematinės teorijos vystymuisi.
Teigiama, kad sudėties ir daugybos išraiškos sudaro lauką, jei jos atitinka bet kurių kompleksinės plokštumos z elementų aksiomas:
- Sudėtinė suma nesikeičia keičiantis sudėtinių terminų vietoms.
- Teiginys teisingas – sudėtingoje išraiškoje bet kurią dviejų skaičių sumą galima pakeisti jų reikšme.
- Yra neutrali reikšmė 0, kuriai z + 0=0 + z=z yra teisinga.
- Bet kuriam z yra priešingybė - z, prie kurios pridėjus gaunamas nulis.
- Keičiant sudėtingų veiksnių vietas, kompleksinis produktas nesikeičia.
- Bet kurių dviejų skaičių daugyba gali būti pakeista jų verte.
- Yra neutrali reikšmė 1, iš kurios dauginant kompleksinis skaičius nekeičiamas.
- Kiekvienam z ≠ 0 yra atvirkštinė z-1, kuri padauginama iš 1.
- Dviejų skaičių sumos padauginimas iš trečdalio prilygsta kiekvieno iš jų padauginimui iš šio skaičiaus ir rezultatų pridėjimui.
- 0 ≠ 1.
Skaičiai z1 =x + i×y ir z2 =x - i×y vadinami konjugatais.
Teorema. Konjugacijai teisingas teiginys:
- Sumos konjugacija yra lygi konjuguotų elementų sumai.
- Produkto konjugatas yrakonjugacijų produktas.
- Konjugacijos konjugacija yra lygi pačiam skaičiui.
Bendrojoje algebroje tokios savybės vadinamos lauko automorfizmais.
Pavyzdžiai
Laikydamiesi pateiktų kompleksinių skaičių taisyklių ir formulių, galite lengvai su jais dirbti.
Panagrinėkime paprasčiausius pavyzdžius.
1 uždavinys. Naudodami lygtį 3y +5 x i=15 - 7i, nustatykite x ir y.
Sprendimas. Prisiminkite sudėtingų lygčių apibrėžimą, tada 3y=15, 5x=-7. Todėl x=-7 / 5, y=5.
2 užduotis. Apskaičiuokite reikšmes 2 + i28 ir 1 + i135.
Sprendimas. Akivaizdu, kad 28 yra lyginis skaičius, iš kompleksinio skaičiaus apibrėžimo laipsnyje i28 =1, o tai reiškia, kad išraiška 2 + i 28 =3. Antroji reikšmė, i135 =-1, tada 1 + i135 =0.
3 užduotis. Apskaičiuokite 2 + 5i ir 4 + 3i reikšmių sandaugą.
Sprendimas. Iš bendrųjų kompleksinių skaičių daugybos savybių gauname (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Nauja vertė bus -7 + 26i.
4 užduotis. Apskaičiuokite lygties šaknis z3 =-i.
Sprendimas. Yra keletas būdų, kaip rasti sudėtingą skaičių. Panagrinėkime vieną iš galimų. Pagal apibrėžimą ∣ - i∣=1, fazė -i yra -p / 4. Pradinė lygtis gali būti perrašyta į r3ei3ϴ =e-p/4+pk, iš kur z=e-p / 12 + pk/3, bet kuriam sveikajam skaičiui k.
Sprendimų rinkinys turi formą (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Kodėl mums reikia kompleksinių skaičių
Istorija žino daugybę pavyzdžių, kai mokslininkai, dirbdami ties teorija, net negalvoja apie praktinį savo rezultatų pritaikymą. Matematika – tai visų pirma proto žaidimas, griežtas priežasties-pasekmės santykių laikymasis. Beveik visos matematinės konstrukcijos redukuojamos iki integralinių ir diferencialinių lygčių sprendimo, o tos, savo ruožtu, su tam tikra aproksimacija, sprendžiamos ieškant daugianario šaknų. Čia pirmiausia susiduriame su įsivaizduojamų skaičių paradoksu.
Mokslininkai gamtininkai, spręsdami visiškai praktinius uždavinius, griebdamiesi įvairių lygčių sprendimų, atranda matematinius paradoksus. Šių paradoksų aiškinimas veda prie absoliučiai nuostabių atradimų. Vienas iš tokių pavyzdžių yra dvejopa elektromagnetinių bangų prigimtis. Sudėtingi skaičiai vaidina lemiamą vaidmenį suprantant jų savybes.
Tai, savo ruožtu, buvo praktiškai pritaikyta optikos, radijo elektronikos, energetikos ir daugelyje kitų technologijų sričių. Kitas pavyzdys, daug sunkiau suvokiami fiziniai reiškiniai. Ant rašiklio galiuko buvo numatyta antimedžiaga. Ir tik po daugelio metų prasideda bandymai jį fiziškai susintetinti.
Nemanykite, kad tik fizikoje yra tokių situacijų. Ne mažiau įdomūs atradimai daromi laukinėje gamtoje, makromolekulių sintezėje, tiriant dirbtinį intelektą. Ir visa tai dėkamūsų sąmonės išplėtimas, nutolimas nuo paprasto natūralių vertybių pridėjimo ir atėmimo.
