Sprendžiant iš užklausos „Fermato teorema – trumpas įrodymas“populiarumo, ši matematinė problema tikrai domina daugelį. Pirmą kartą šią teoremą Pierre'as de Fermat išdėstė 1637 m. Aritmetikos kopijos krašte, kur jis teigė, kad jis turi per didelį sprendimą, kad tilptų ant krašto.
Pirmasis sėkmingas įrodymas buvo paskelbtas 1995 m. – tai buvo pilnas Ferma teoremos įrodymas, kurį pateikė Andrew Wiles. Tai buvo apibūdinta kaip „stulbinanti pažanga“, dėl kurios Wilesas 2016 m. gavo Abelio premiją. Nors aprašyta gana trumpai, Ferma teoremos įrodymas taip pat įrodė didžiąją dalį moduliškumo teoremos ir atvėrė naujus metodus daugeliui kitų problemų bei veiksmingų moduliškumo pakėlimo metodų. Dėl šių pasiekimų matematika pažengė 100 metų į ateitį. Šiandien mažosios Ferma teoremos įrodymas nėrayra kažkas neįprasto.
Neišspręsta problema paskatino algebrinių skaičių teorijos plėtrą XIX amžiuje ir moduliškumo teoremos įrodymo paieškas XX amžiuje. Tai viena ryškiausių teoremų matematikos istorijoje ir iki visiško Ferma'o teoremos padalijimo įrodymo ji buvo įtraukta į Gineso rekordų knygą kaip „sunkiausia matematinė problema“, kurios vienas iš bruožų yra tas, kad ji turi daugiausiai nesėkmingų įrodymų.
Istorijos fonas
Pitagoro lygtis x2 + y2=z2 turi begalinį teigiamų skaičių sveikieji x, y ir z sprendiniai. Šie sprendimai yra žinomi kaip Pitagoro trejybės. Apie 1637 m. Fermatas knygos krašte parašė, kad bendresnė lygtis a + b =cneturi sprendiniai natūraliais skaičiais, jei n yra sveikasis skaičius, didesnis už 2. Nors pats Fermatas teigė turintis savo problemos sprendimą, jis nepaliko jokių detalių apie jo įrodymą. Elementarus Ferma teoremos įrodymas, kurį tvirtino jos kūrėjas, greičiau buvo jo pasigyrimas. Didžiojo prancūzų matematiko knyga buvo atrasta praėjus 30 metų po jo mirties. Ši lygtis, vadinama Paskutine Ferma teorema, matematikoje liko neišspręsta tris su puse šimtmečio.
Teorema ilgainiui tapo viena ryškiausių neišspręstų matematikos problemų. Bandymai tai įrodyti sukėlė reikšmingą skaičių teorijos raidą ir su ištraukalaiku, paskutinė Fermato teorema tapo žinoma kaip neišspręsta matematikos problema.
Trumpa įrodymų istorija
Jei n=4, kaip įrodė pats Fermatas, pakanka įrodyti indeksų n, kurie yra pirminiai skaičiai, teoremą. Per kitus du šimtmečius (1637–1839 m.) spėjimas buvo įrodytas tik pirminiams 3, 5 ir 7, nors Sophie Germain atnaujino ir įrodė metodą, taikomą visai pirminių skaičių klasei. XIX amžiaus viduryje Ernstas Kummeris tai išplėtė ir įrodė teoremą visiems taisyklingiesiems pirminiams pirmiesiems, pagal kuriuos netaisyklingi pirminiai pradiniai buvo analizuojami atskirai. Remdamiesi Kummero darbu ir pasitelkę sudėtingus kompiuterinius tyrimus, kiti matematikai sugebėjo išplėsti teoremos sprendimą, siekdami aprėpti visus pagrindinius eksponentus iki keturių milijonų, tačiau vis tiek nebuvo įrodymų visiems eksponentams (tai reiškia, kad matematikai teoremos sprendimas paprastai laikomas neįmanomu, itin sunkiu arba nepasiekiamu turimomis žiniomis).
Šimuros ir Taniyamos darbas
1955 m. japonų matematikai Goro Shimura ir Yutaka Taniyama įtarė, kad yra ryšys tarp elipsinių kreivių ir modulinių formų – dviejų labai skirtingų matematikos šakų. Tuo metu žinomas kaip Taniyama-Shimura-Weyl spėjimas ir (galiausiai) kaip moduliškumo teorema, ji egzistavo pati, be jokio akivaizdaus ryšio su paskutine Ferma teorema. Ji pati buvo plačiai vertinama kaip svarbi matematinė teorema, tačiau buvo laikoma (kaip ir Ferma teorema) neįmanoma įrodyti. TuoTuo pat metu paskutinės Ferma teoremos įrodymas (padalijus ir taikant sudėtingas matematines formules) buvo atliktas tik po pusės amžiaus.
1984 m. Gerhardas Frey pastebėjo akivaizdų ryšį tarp šių dviejų anksčiau nesusijusių ir neišspręstų problemų. Išsamų patvirtinimą, kad dvi teoremos buvo glaudžiai susijusios, 1986 m. paskelbė Kenas Ribet, remdamasis daliniu Jeano-Pierre'o Serra įrodymu, kuris įrodė visas, išskyrus vieną, dalį, žinomą kaip „epsilono hipotezė“. Paprasčiau tariant, šie Frey, Serra ir Ribe darbai parodė, kad jei moduliškumo teoremą pavyktų įrodyti, bent jau pusiau apskaičiuojamai elipsinių kreivių klasei, tada anksčiau ar vėliau būtų atrastas ir paskutinės Ferma teoremos įrodymas. Bet koks sprendimas, galintis prieštarauti paskutinei Ferma teoremai, taip pat gali būti naudojamas moduliarumo teoremai prieštarauti. Todėl, jei moduliškumo teorema pasirodė teisinga, tai pagal apibrėžimą negali būti sprendimo, kuris prieštarautų paskutinei Ferma teoremai, o tai reiškia, kad ji turėjo būti greitai įrodyta.
Nors abi teoremos buvo sunkios matematikos problemos, laikomos neišsprendžiamomis, dviejų japonų darbas buvo pirmasis pasiūlymas, kaip paskutinę Ferma teoremą būtų galima išplėsti ir įrodyti visiems skaičiams, ne tik kai kuriems. Tyrimo temą pasirinkusiems tyrėjams buvo svarbu tai, kad, priešingai nei paskutinė Fermat teorema, moduliškumo teorema buvo pagrindinė aktyvi tyrimų sritis, kuriaibuvo sukurta įrodymų, o ne tik istorinių keistenybių, todėl jos darbui skirtas laikas gali būti pateisinamas profesiniu požiūriu. Tačiau bendras sutarimas buvo toks, kad Taniyama-Shimura spėlionių sprendimas pasirodė netinkamas.
Paskutinė ūkio teorema: Wileso įrodymas
Sužinojęs, kad Ribetas įrodė, kad Frey teorija teisinga, anglų matematikas Andrew Wilesas, kuris nuo vaikystės domėjosi paskutine Ferma teorema ir turi patirties dirbant su elipsinėmis kreivėmis ir gretimomis sritimis, nusprendė pabandyti įrodyti Taniyama-Shimura. Spėliojimas kaip būdas įrodyti paskutinę Ferma teoremą. 1993 m., praėjus šešeriems metams nuo savo tikslo paskelbimo, slapta dirbdamas ties teoremos sprendimo problema, Wilesas sugebėjo įrodyti susijusį spėjimą, kuris savo ruožtu padėtų jam įrodyti paskutinę Ferma teoremą. Wileso dokumentas buvo didžiulio dydžio ir apimties.
Trūkumas buvo aptiktas vienoje jo originalaus straipsnio dalyje atliekant tarpusavio peržiūrą, todėl prireikė dar vienerių metų bendradarbiavimo su Richardu Tayloru, kad kartu būtų išspręsta teorema. Dėl to netruko laukti galutinis Wileso paskutinės Ferma teoremos įrodymas. 1995 m. jis buvo paskelbtas daug mažesniu mastu nei ankstesnis Wileso matematinis darbas, o tai iliustruoja, kad jis neklydo savo ankstesnėse išvadose apie galimybę įrodyti teoremą. Wileso pasiekimai buvo plačiai nušviesti populiariojoje spaudoje ir išpopuliarinti knygose bei televizijos programose. Likusios Taniyama-Shimura-Weil spėlionės dalys, kurios dabar buvo įrodytos iržinomas kaip moduliškumo teorema, vėliau įrodė kiti matematikai, kurie rėmėsi Wileso darbu 1996–2001 m. Už savo pasiekimus Wilesas buvo pagerbtas ir gavo daugybę apdovanojimų, įskaitant 2016 m. Abelio premiją.
Wileso paskutinės Ferma teoremos įrodymas yra ypatingas elipsinių kreivių moduliškumo teoremos sprendimo atvejis. Tačiau tai yra garsiausias tokio didelio masto matematinės operacijos atvejis. Kartu su Ribe teoremos sprendimu britų matematikas gavo ir paskutinės Ferma teoremos įrodymą. Paskutinė Ferma teorema ir moduliavimo teorema šiuolaikinių matematikų buvo beveik visuotinai laikomos neįrodomomis, tačiau Andrew Wilesas sugebėjo įrodyti mokslo pasauliui, kad net žinovai gali klysti.
Wylesas pirmą kartą paskelbė apie savo atradimą 1993 m. birželio 23 d., trečiadienį per Kembridžo paskaitą, pavadintą „Modulinės formos, elipsinės kreivės ir Galois atvaizdai“. Tačiau 1993 m. rugsėjį buvo nustatyta, kad jo skaičiavimuose buvo klaida. Po metų, 1994 m. rugsėjo 19 d., tuo, ką jis vadintų „svarbiausiu savo darbinio gyvenimo momentu“, Wilesas netikėtai pamatė apreiškimą, leidusį išspręsti problemos sprendimą tiek, kad jis atitiktų matematinius reikalavimus. bendruomenė.
Darbo aprašymas
Fermato teoremos įrodymas, kurį pateikė Andrew Wiles, naudoja daug metodų iš algebrinės geometrijos ir skaičių teorijos ir turi daug pasekmių.matematikos sritis. Jis taip pat naudoja standartines šiuolaikinės algebrinės geometrijos konstrukcijas, pvz., schemų kategoriją ir Iwasawa teoriją, taip pat kitus XX amžiaus metodus, kurių Pierre'as de Fermat negalėjo pasiekti.
Du straipsniai, kuriuose pateikiami įrodymai, yra 129 puslapių ilgio ir buvo parašyti per septynerius metus. Johnas Coatesas apibūdino šį atradimą kaip vieną didžiausių skaičių teorijos laimėjimų, o Johnas Conway pavadino jį pagrindiniu XX amžiaus matematiniu laimėjimu. Wilesas, norėdamas įrodyti paskutinę Ferma teoremą, įrodydamas moduliškumo teoremą, skirtą specialiam pusiau išsidėsčiusių elipsinių kreivių atvejui, sukūrė galingus moduliškumo pakėlimo metodus ir atvėrė naujus metodus daugeliui kitų problemų. Už paskutinės Ferma teoremos išsprendimą jis buvo įšventintas į riterius ir gavo kitus apdovanojimus. Kai tapo žinoma, kad Wilesas laimėjo Abelio premiją, Norvegijos mokslų akademija jo laimėjimą apibūdino kaip „puikų ir elementarų paskutinės Ferma teoremos įrodymą“.
Kaip buvo
Vienas iš žmonių, peržiūrėjusių originalų Wileso rankraštį su teoremos sprendimu, buvo Nickas Katzas. Peržiūros metu jis uždavė britui keletą paaiškinančių klausimų, kurie paskatino Wilesą pripažinti, kad jo darbe aiškiai yra spragų. Vienoje kritinėje įrodinėjimo dalyje buvo padaryta klaida, nurodanti konkrečios grupės eiliškumą: Eulerio sistema, naudojama išplėsti Kolyvagin ir Flach metodą, buvo neišsami. Tačiau klaida nepadarė jo darbo nenaudingu – kiekvienas Wileso darbas buvo labai reikšmingas ir naujoviškas pats savaime, kaip ir daugelis kitų.patobulinimai ir metodai, kuriuos jis sukūrė savo darbo metu ir kurie paveikė tik vieną rankraščio dalį. Tačiau šis originalus darbas, paskelbtas 1993 m., iš tikrųjų neturėjo paskutinės Ferma teoremos įrodymo.
Wylesas praleido beveik metus, bandydamas iš naujo atrasti teoremos sprendimą, iš pradžių vienas, o paskui bendradarbiaudamas su savo buvusiu mokiniu Richardu Tayloru, bet atrodė, kad viskas buvo veltui. Iki 1993 m. pabaigos pasklido gandai, kad Wileso įrodymas nepavyko, tačiau nebuvo žinoma, kiek rimta buvo ši nesėkmė. Matematikai pradėjo daryti spaudimą Wilesui atskleisti savo darbo detales, nesvarbu, ar jis buvo atliktas, ar ne, kad platesnė matematikų bendruomenė galėtų tyrinėti ir panaudoti viską, ką jis sugebėjo pasiekti. Užuot greitai ištaisęs savo klaidą, Wilesas tik atrado papildomų sunkių aspektų Ferma paskutinės teoremos įrodyme ir galiausiai suprato, kaip tai sunku.
Wylesas teigia, kad 1994 m. rugsėjo 19 d. rytą jis buvo ant pasidavimo ir pasidavimo slenksčio ir buvo beveik susitaikęs su nesėkme. Jis buvo pasirengęs paskelbti savo nebaigtą darbą, kad kiti galėtų jais remtis ir rasti, kur jis klydo. Anglų matematikas nusprendė duoti sau paskutinį šansą ir paskutinį kartą išanalizavo teoremą, bandydamas suprasti pagrindines priežastis, kodėl jo metodas nepasiteisino, kai staiga suprato, kad Kolyvagin-Flac metodas neveiks tol, kol jistaip pat įtrauks Iwasawa teoriją į įrodinėjimo procesą, todėl ji veiks.
Spalio 6 d. Wilesas paprašė trijų kolegų (įskaitant F altinsą) peržiūrėti jo naują darbą, o 1994 m. spalio 24 d. jis pateikė du rankraščius – „Modulinės elipsės kreivės ir paskutinė Ferma teorema“ir „Teorinės kai kurių Hecke algebrų žiedas“, antrasis Wilesas parašė kartu su Taylor ir įrodė, kad buvo įvykdytos tam tikros sąlygos, pateisinančios pagrindiniame straipsnyje pataisytą žingsnį.
Šie du straipsniai buvo peržiūrėti ir galiausiai paskelbti viso teksto leidimu 1995 m. gegužės mėn. „Annals of Mathematics“. Nauji Andrew skaičiavimai buvo plačiai išanalizuoti ir galiausiai priimti mokslo bendruomenės. Šiuose straipsniuose buvo nustatyta pusinių elipsinių kreivių moduliškumo teorema – paskutinis žingsnis siekiant įrodyti Paskutinę Ferma teoremą, praėjus 358 metams po jos sukūrimo.
Didžiosios problemos istorija
Šios teoremos sprendimas daugelį amžių buvo laikomas didžiausia matematikos problema. 1816 ir 1850 m. Prancūzijos mokslų akademija pasiūlė premiją už bendrą paskutinės Ferma teoremos įrodymą. 1857 metais Akademija Kummerui skyrė 3000 frankų ir aukso medalį už idealių skaičių tyrinėjimą, nors jis į premiją nepretendavo. Kitą premiją jam pasiūlė 1883 m. Briuselio akademija.
Wolfskell prizas
1908 m. vokiečių pramonininkas ir matematikas mėgėjas Paulas Wolfskelis testamentu paliko 100 000 aukso markių (tuo metu didelė suma). Getingeno mokslų akademiją, kad šie pinigai taptų prizu už visišką paskutinės Ferma teoremos įrodymą. 1908 m. birželio 27 d. Akademija paskelbė devynias apdovanojimų taisykles. Be kita ko, šios taisyklės reikalavo, kad įrodymas būtų paskelbtas recenzuojamame žurnale. Apdovanojimas turėjo būti įteiktas tik po dvejų metų nuo paskelbimo. Konkursas turėjo baigtis 2007 m. rugsėjo 13 d. – praėjus maždaug šimtmečiui nuo jo pradžios. 1997 m. birželio 27 d. Wilesas gavo Wolfschel piniginį prizą ir dar 50 000 USD. 2016 m. kovo mėn. jis gavo 600 000 eurų iš Norvegijos vyriausybės kaip dalį Abelio premijos už „nuostabų paskutinės Ferma teoremos įrodymą, naudojant modularumo spėliojimą dėl pusiau skaičiuojamų elipsinių kreivių, atveriančių naują skaičių teorijos erą“. Tai buvo nuolankaus anglo pasaulinis triumfas.
Prieš Wileso įrodymą, Fermato teorema, kaip minėta anksčiau, šimtmečius buvo laikoma visiškai neišsprendžiama. Volfskellio komitetui įvairiu metu buvo pateikti tūkstančiai neteisingų įrodymų, kurių dydis sudarė maždaug 10 pėdų (3 metrų) korespondencijos. Tik pirmaisiais premijos gyvavimo metais (1907-1908) buvo pateikta 621 paraiška, pretenduojanti išspręsti teoremą, nors iki septintojo dešimtmečio jų skaičius sumažėjo iki maždaug 3-4 prašymų per mėnesį. Pasak Wolfschel apžvalgininko F. Schlichtingo, dauguma įrodymų buvo pagrįsti elementariais mokyklose mokomais metodais ir dažnai buvo pateikiami kaip „žmonės su techninėmis žiniomis, bet nesėkminga karjera“. Matematikos istoriko Howardo Aveso teigimu, paskutinisFerma teorema pasiekė savotišką rekordą – tai teorema su daugiausiai neteisingų įrodymų.
Ūkio laurus nuskynė japonai
Kaip minėta anksčiau, apie 1955 m., japonų matematikai Goro Shimura ir Yutaka Taniyama atrado galimą ryšį tarp dviejų akivaizdžiai visiškai skirtingų matematikos šakų – elipsinių kreivių ir modulinių formų. Gauta moduliškumo teorema (tada žinoma kaip Taniyama-Shimura prielaida) teigia, kad kiekviena elipsinė kreivė yra modulinė, o tai reiškia, kad ją galima susieti su unikalia moduline forma.
Ši teorija iš pradžių buvo atmesta kaip mažai tikėtina arba labai spekuliatyvi, tačiau į ją buvo imtasi rimčiau, kai skaičių teoretikas André Weilas rado įrodymų, patvirtinančių japonų išvadas. Dėl to hipotezė dažnai buvo vadinama Taniyama-Shimura-Weil hipoteze. Ji tapo Langlands programos dalimi, kuri yra svarbių hipotezių, kurias reikės įrodyti ateityje, sąrašas.
Net po rimto patikrinimo šiuolaikiniai matematikai spėjimą pripažino kaip nepaprastai sudėtingą, o gal ir neįrodomą. Dabar ši konkreti teorema laukia savo Andrew Wileso, kuris savo sprendimu galėtų nustebinti visą pasaulį.
Fermato teorema: Perelmano įrodymas
Nepaisant populiaraus mito, rusų matematikas Grigorijus Perelmanas, nepaisant savo genialumo, neturi nieko bendra su Ferma teorema. Tačiau tai jokiu būdu to nesumenkina.daug prisidėjo prie mokslo bendruomenės.
