Matematikoje ir apdorojime analitinio signalo sąvoka (trumpiau - C, AC) yra sudėtinga funkcija, neturinti neigiamo dažnio komponentų. Tikroji ir įsivaizduojama šio reiškinio dalys yra realios funkcijos, tarpusavyje susijusios Hilberto transformacija. Analitinis signalas yra gana dažnas reiškinys chemijoje, kurio esmė panaši į matematinį šios sąvokos apibrėžimą.
Spektakliai
Analitinis tikrosios funkcijos vaizdas yra analitinis signalas, kuriame yra pradinė funkcija ir jos Hilberto transformacija. Šis vaizdavimas palengvina daugelį matematinių manipuliacijų. Pagrindinė mintis yra ta, kad tikrosios funkcijos Furjė transformacijos (arba spektro) neigiami dažnio komponentai yra pertekliniai dėl tokio spektro hermitinės simetrijos. Šių neigiamo dažnio komponentų galima išmesti be jųinformacijos praradimas, jei vietoj to norite atlikti sudėtingą funkciją. Dėl to tam tikri funkcijų atributai tampa lengviau pasiekiami ir lengviau gauti moduliavimo ir demoduliavimo metodus, pvz., SSB.
Neigiami komponentai
Kol funkcija, kuria manipuliuojama, neturi neigiamo dažnio komponentų (ty ji vis dar yra analitinė), konvertuoti iš kompleksinio atgal į realią tereikia atmesti įsivaizduojamą dalį. Analitinis vaizdavimas yra vektoriaus sampratos apibendrinimas: vektoriaus amplitudė, fazė ir dažnis yra ribojamas laiko atžvilgiu, o kokybinė analitinio signalo analizė leidžia nustatyti laikui bėgant kintančius parametrus.
Momentinė amplitudė, momentinė fazė ir dažnis kai kuriose programose naudojami vietinėms C ypatybėms matuoti ir aptikti. Kitas analitinio vaizdavimo pritaikymas yra susijęs su moduliuojamų signalų demoduliavimu. Polinės koordinatės patogiai atskiria AM ir fazės (arba dažnio) moduliacijos efektus ir efektyviai demoduliuoja tam tikras rūšis.
Tada paprastas žemųjų dažnių filtras su realiais koeficientais gali atkirsti dominančią dalį. Kitas motyvas yra sumažinti maksimalų dažnį, o tai sumažina minimalų ne slapyvardžio atrankos dažnį. Dažnio poslinkis nesumenkina matematinio vaizdavimo naudingumo. Taigi šia prasme konvertavimas žemyn vis dar yra analitinis. Tačiau tikrosios reprezentacijos atkūrimasnebėra paprastas tikrojo komponento ištraukimas. Gali prireikti konvertuoti į viršų, o jei signalas yra atrinktas (diskretus laikas), taip pat gali prireikti interpoliacijos (aukštyno atranka), kad būtų išvengta slapyvardžio.
Kintamieji
Sąvoka yra gerai apibrėžta vieno kintamojo reiškiniams, kurie paprastai yra laikini. Šis laikinumas glumina daugelį pradedančiųjų matematikų. Dviejų ar daugiau kintamųjų atveju analitinis C gali būti apibrėžtas skirtingais būdais, o toliau pateikiami du metodai.
Tikroji ir įsivaizduojama šio reiškinio dalys atitinka du vektoriaus vertės monogeninio signalo elementus, kaip apibrėžta panašiems reiškiniams su vienu kintamuoju. Tačiau monogeniškumą galima išplėsti iki savavališko skaičiaus kintamųjų paprastu būdu, sukuriant (n + 1) matmenų vektorinę funkciją n kintamųjų signalų atveju.
Signalo konvertavimas
Galite konvertuoti realų signalą į analitinį, pridėdami įsivaizduojamą (Q) komponentą, kuris yra tikrojo komponento Hilberto transformacija.
Beje, tai nėra naujiena jo skaitmeniniame apdorojime. Vienas iš tradicinių vienos šoninės juostos (SSB) AM generavimo būdų, fazinis metodas, apima signalų kūrimą generuojant Hilberto garso signalo transformaciją analoginiame rezistorių-kondensatorių tinkle. Kadangi jis turi tik teigiamus dažnius, jį lengva konvertuoti į moduliuotą RF signalą tik su viena šonine juosta.
Apibrėžčių formulės
Analitinio signalo išraiška yra holomorfinė kompleksinė funkcija, apibrėžta viršutinės kompleksinės pusplokštumos ribose. Viršutinės pusės plokštumos riba sutampa su atsitiktine, todėl C pateikiamas kartografijos fa: R → C. Nuo praėjusio amžiaus vidurio, kai Denisas Gaboras 1946 m. pasiūlė naudoti šį reiškinį pastoviai amplitudei ir fazei tirti., signalas rado daugybę pritaikymų. Buvo pabrėžtas šio reiškinio ypatumas [Vak96], kur buvo parodyta, kad tik kokybinė analitinio signalo analizė atitinka fizines amplitudės, fazės ir dažnio sąlygas.
Naujausi pasiekimai
Per pastaruosius kelis dešimtmečius buvo domimasi daugelio dimensijų signalų tyrimais, kuriuos paskatino problemos, kylančios įvairiose srityse: nuo vaizdo / vaizdo apdorojimo iki daugiamačių virpesių fizikos procesų, tokių kaip seisminiai, elektromagnetiniai ir gravitacinės bangos. Visuotinai priimta, kad norint teisingai apibendrinti analitinę C (kokybinę analizę) kelių dimensijų atveju, reikia pasikliauti algebrine konstrukcija, kuri patogiu būdu išplečia įprastus kompleksinius skaičius. Tokios konstrukcijos paprastai vadinamos hiperkompleksiniais skaičiais [SKE].
Pagaliau turėtų būti įmanoma sukurti hiperkompleksinį analitinį signalą fh: Rd → S, kur pavaizduota kokia nors bendra hiperkompleksinė algebrinė sistema, kuri natūraliai išplečia visas reikalingas savybes, kad gautų momentinę amplitudę irfazė.
Studijuoti
Nemažai straipsnių skirta įvairiems klausimams, susijusiems su teisingu hiperkompleksinės skaičių sistemos pasirinkimu, hiperkompleksinės Furjė transformacijos apibrėžimu ir trupmeninėmis Hilberto transformacijomis, skirtomis momentinei amplitudei ir fazei tirti. Didžioji šio darbo dalis buvo pagrįsta įvairių erdvių savybėmis, tokiomis kaip Cd, kvaternionai, Clearono algebra ir Cayley-Dixon konstrukcijos.
Toliau išvardinsime tik kai kuriuos darbus, skirtus daugelio dimensijų signalo tyrimui. Kiek mums žinoma, pirmieji darbai apie daugiamatį metodą buvo gauti 1990-ųjų pradžioje. Tai Ello darbas [Ell92] apie hiperkompleksines transformacijas; Bulow darbas apie analitinės reakcijos (analitinio signalo) metodo apibendrinimą daugeliui matavimų [BS01] ir Felsbergo bei Sommerio darbas apie monogeninius signalus.
Tolimesnės perspektyvos
Tikimasi, kad hiperkompleksinis signalas išplės visas naudingas savybes, kurias turime 1D atveju. Visų pirma, mes turime sugebėti išgauti ir apibendrinti momentinę amplitudę ir fazę matavimams. Antra, kompleksinio analitinio signalo Furjė spektras palaikomas tik teigiamais dažniais, todėl tikimės, kad hiperkompleksinė Furjė transformacija turės savo hipervertuotą spektrą, kuris bus palaikomas tik kokiame nors teigiamame hiperkompleksinės erdvės kvadrante. Nes tai labai svarbu.
Trečia, sujungtos sudėtingos koncepcijos dalysAnalitinio signalo yra susiję su Hilberto transformacija, ir galime tikėtis, kad konjuguoti komponentai hiperkompleksinėje erdvėje taip pat turi būti susiję su tam tikru Hilberto transformacijų deriniu. Ir galiausiai, iš tikrųjų, hiperkompleksinis signalas turi būti apibrėžtas kaip kelių hiperkompleksinių kintamųjų, apibrėžtų tam tikros formos ribose hiperkompleksinėje erdvėje, hiperkompleksinės holomorfinės funkcijos išplėtimas.
Šias problemas sprendžiame iš eilės. Visų pirma, pradedame nuo Furjė integralo formulės ir parodome, kad Hilberto transformacija į 1-D yra susijusi su modifikuota Furjė integralo formule. Šis faktas leidžia mums apibrėžti momentinę amplitudę, fazę ir dažnį be jokios nuorodos į hiperkompleksines skaičių sistemas ir holomorfines funkcijas.
Integralių modifikavimas
Mes ir toliau plečiame modifikuotą Furjė integralo formulę iki kelių matmenų ir nustatome visus būtinus fazės poslinkio komponentus, kuriuos galime surinkti į momentinę amplitudę ir fazę. Antra, kreipiamės į kelių hiperkompleksinių kintamųjų holomorfinių funkcijų egzistavimo klausimą. Po [Sch93] paaiškėja, kad elipsinių (e2i=−1) generatorių aibės generuojama komutacinė ir asociatyvioji hiperkompleksinė algebra yra tinkama erdvė hiperkompleksiniam analitiniam signalui gyventi, tokią hiperkompleksinę algebrą vadiname Schaefers erdve ir žymime. taiSd.
Todėl analitinių signalų hiperkompleksas apibrėžiamas kaip holomorfinė funkcija polidisko / viršutinės plokštumos riboje tam tikroje hiperkompleksinėje erdvėje, kurią vadiname bendra Schaefers erdve ir žymima Sd. Tada stebime Koši integralinės formulės galiojimą funkcijoms Sd → Sd, kurios apskaičiuojamos per hiperpaviršių daugiadisko Sd viduje ir gauname atitinkamas trupmenines Hilberto transformacijas, susijusias su hiperkompleksiniais konjugato komponentais. Galiausiai paaiškėja, kad Furjė transformacija su reikšmėmis Schaefers erdvėje palaikoma tik neneigiamais dažniais. Šio straipsnio dėka sužinojote, kas yra analitinis signalas.
