Jei linijinis kūnų judėjimas klasikinėje mechanikoje aprašomas naudojant Niutono dėsnius, tai mechaninių sistemų judėjimo apskritimo trajektorijomis charakteristikos apskaičiuojamos naudojant specialią išraišką, kuri vadinama momentų lygtimi. Apie kokius momentus mes kalbame ir kokia yra šios lygties prasmė? Šie ir kiti klausimai atskleisti straipsnyje.
Jėgos momentas
Visi puikiai žino Niutono jėgą, kuri, veikdama kūną, suteikia jam pagreitį. Kai tokia jėga veikia objektą, kuris yra pritvirtintas prie tam tikros sukimosi ašies, tada ši charakteristika paprastai vadinama jėgos momentu. Jėgos momento lygtį galima parašyti taip:
M¯=L¯F¯
Šią išraišką paaiškinanti nuotrauka parodyta žemiau.
Čia matote, kad jėga F¯ nukreipta į vektorių L¯ kampu Φ. Pats vektorius L¯ yra nukreiptas nuo sukimosi ašies (rodomos rodyklės) į taikymo tašką. F¯.
Aukščiau pateikta formulė yra dviejų vektorių sandauga, todėl M¯ taip pat yra kryptinė. Kur pasisuks jėgos M¯ momentas? Tai galima nustatyti pagal dešinės rankos taisyklę (keturi pirštai nukreipti išilgai trajektorijos nuo vektoriaus L¯ galo iki F¯ pabaigos, o kairysis nykštys rodo M¯ kryptį).
Aukščiau pateiktame paveikslėlyje jėgos momento išraiška skaliarine forma bus tokia:
M=LFsin(Φ)
Jei atidžiai pažvelgsite į figūrą, pamatysite, kad Lsin(Φ)=d, tada turime formulę:
M=dF
D reikšmė yra svarbi charakteristika apskaičiuojant jėgos momentą, nes ji atspindi sistemoje taikomo F efektyvumą. Ši vertė vadinama jėgos svirtimi.
Fizikinė M reikšmė slypi jėgos gebėjime pasukti sistemą. Kiekvienas gali pajusti šį gebėjimą, jei atidaro duris už rankenos, pastumdamas jas šalia vyrių arba bandydamas atsukti veržlę trumpu ir ilgu raktu.
Sistemos pusiausvyra
Jėgos momento sąvoka yra labai naudinga, kai atsižvelgiama į sistemos, kurią veikia kelios jėgos ir kuri turi ašį arba sukimosi tašką, pusiausvyrą. Tokiais atvejais taikykite formulę:
∑iMi¯=0
Tai yra, sistema bus pusiausvyroje, jei visų jai veikiančių jėgų momentų suma bus lygi nuliui. Atkreipkite dėmesį, kad šioje formulėje yra vektorinis momento ženklas, tai yra, sprendžiant reikia nepamiršti atsižvelgti į šio ženklo ženkląkiekiai. Visuotinai priimta taisyklė yra ta, kad veikianti jėga, kuri sukasi sistemą prieš laikrodžio rodyklę, sukuria teigiamą Mi¯.
Stulbinantis tokio tipo problemų pavyzdys yra Archimedo svertų pusiausvyros problemos.
Pagreičio akimirka
Tai dar viena svarbi apskrito judėjimo savybė. Fizikoje jis apibūdinamas kaip impulso ir svirties sandauga. Impulso lygtis atrodo taip:
T¯=r¯p¯
Čia p¯ yra impulso vektorius, r¯ yra vektorius, jungiantis besisukantį medžiagos tašką su ašimi.
Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta ši išraiška.
Čia ω yra kampinis greitis, kuris bus rodomas toliau momento lygtyje. Atkreipkite dėmesį, kad vektoriaus T¯ kryptis nustatoma pagal tą pačią taisyklę kaip ir M¯. Aukščiau pateiktame paveikslėlyje T¯ kryptis sutaps su kampinio greičio vektoriumi ω¯.
Fizikinė T¯ reikšmė yra tokia pati kaip ir p¯ charakteristikos tiesinio judėjimo atveju, t.y. kampinis momentas apibūdina sukimosi judesio dydį (saugomą kinetinę energiją).
Inercijos momentas
Trečia svarbi charakteristika, be kurios neįmanoma suformuluoti besisukančio objekto judėjimo lygties, yra inercijos momentas. Fizikoje jis atsiranda dėl materialaus taško kampinio momento formulės matematinių transformacijų. Parodykime, kaip tai daroma.
Įsivaizduokime vertęT¯ taip:
T¯=r¯mv¯, kur p¯=mv¯
Naudodami ryšį tarp kampinių ir tiesinių greičių, šią išraišką galime perrašyti taip:
T¯=r¯mr¯ω¯, kur v¯=r¯ω¯
Parašykite paskutinę išraišką taip:
T¯=r2mω¯
Vertė r2m yra masės taško m inercijos momentas I, kuris sukamuoju judesiu aplink ašį yra atstumu r nuo jo. Šis ypatingas atvejis leidžia mums įvesti bendrąją savavališkos formos kūno inercijos momento lygtį:
I=∫m (r2dm)
I yra priedinis dydis, kurio reikšmė slypi besisukančios sistemos inercijoje. Kuo didesnis aš, tuo sunkiau sukti kūną, o norint jį sustabdyti, reikia daug pastangų.
Momentinė lygtis
Apsvarstėme tris dydžius, kurių pavadinimas prasideda žodžiu „akimirka“. Tai buvo padaryta sąmoningai, nes jie visi yra sujungti viena išraiška, vadinama 3 momentų lygtimi. Išmeskime.
Apsvarstykite kampinio momento išraišką T¯:
T¯=Iω¯
Suraskite, kaip T¯ vertė keičiasi laikui bėgant, turime:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Atsižvelgiant į tai, kad kampinio greičio išvestinė yra lygi tiesinio greičio išvestinei, padalytai iš r, ir išplėtus I reikšmę, gauname išraišką:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, kur a¯=dv¯/dt yra tiesinis pagreitis.
Atkreipkite dėmesį, kad masės ir pagreičio sandauga yra ne kas kita, kaip veikianti išorinė jėga F¯. Dėl to gauname:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Priėjome įdomios išvados: kampinio momento pokytis lygus veikiančios išorinės jėgos momentui. Ši išraiška paprastai rašoma šiek tiek kitokia forma:
M¯=Iα¯, kur α¯=dω¯/dt – kampinis pagreitis.
Ši lygybė vadinama momentų lygtimi. Tai leidžia apskaičiuoti bet kokią besisukančio kūno charakteristiką, žinant sistemos parametrus ir išorinio poveikio jam dydį.
Apsaugos įstatymas T¯
Ankstesnėje pastraipoje gauta išvada rodo, kad jei išorinis jėgų momentas lygus nuliui, tai kampinis momentas nepasikeis. Šiuo atveju rašome išraišką:
T¯=konst. arba I1ω1¯=I2ω2 ¯
Ši formulė vadinama T¯ išsaugojimo dėsniu. Tai yra, bet kokie sistemos pakeitimai nekeičia bendro kampinio momento.
Šiuo faktu savo pasirodymų metu naudojasi dailiojo čiuožimo sportininkai ir balerinos. Jis taip pat naudojamas, jei reikia pasukti erdvėje judantį dirbtinį palydovą aplink savo ašį.
