Polinomas, arba daugianomas – viena iš pagrindinių algebrinių struktūrų, randama mokyklinėje ir aukštojoje matematikoje. Dauginamo tyrimas yra svarbiausia algebros kurso tema, nes, viena vertus, daugianariai yra gana paprasti, palyginti su kitų tipų funkcijomis, kita vertus, jie plačiai naudojami sprendžiant matematinės analizės uždavinius.. Taigi, kas yra daugianario?
Apibrėžimas
Sąvokos daugianario apibrėžimas gali būti pateiktas naudojant monomio arba vienanario sąvoką.
Monomialas yra cx1i1x2 išraiška i2 …x in. Čia с yra konstanta, x1, x2, … x - kintamieji, i1, i2, … in - kintamųjų rodikliai. Tada daugianomas yra bet kokia baigtinė vienanarių suma.
Norėdami suprasti, kas yra daugianomas, galite pažvelgti į konkrečius pavyzdžius.
Kvadratinis trinaris, išsamiai aptartas 8 klasės matematikos kurse, yra daugianario: ax2+bx+c.
Daugynomas su dviem kintamaisiais gali atrodyti taip: x2-xy+y2. Toksdaugianaris taip pat vadinamas nepilnu skirtumo tarp x ir y kvadratu.
Polinomų klasifikacijos
Polinominis laipsnis
Kiekvienam daugianario mononomui raskite eksponentų i1+i2+…+in sumą. Didžiausia iš sumų vadinama daugianario laipsniu, o šią sumą atitinkanti monomija vadinama didžiausia dalimi.
Beje, bet kuri konstanta gali būti laikoma nulinio laipsnio daugianario.
Sumažinti ir nesumažinti daugianariai
Jei koeficientas c yra lygus 1 didžiausiam nariui, tai daugianomas yra duotas, kitu atveju ne.
Pavyzdžiui, išraiška x2+2x+1 yra sumažintas polinomas, o 2x2+2x+1 nėra sumažintas.
Vienarūšiai ir nehomogeniški daugianariai
Jei visų daugianario narių laipsniai yra lygūs, tai sakome, kad toks daugianomas yra vienalytis. Visi kiti daugianariai laikomi nevienarūšiais.
Homogeniniai daugianariai: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogeninis: x+1, x2+y.
Yra specialūs dviejų ir trijų narių daugianario pavadinimai: atitinkamai dvinaris ir trinaris.
Vieno kintamojo polinomai priskiriami atskirai kategorijai.
Vieno kintamojo daugianario taikymas
Vieno kintamojo polinomai gerai apytiksliai apytiksliai atitinka įvairaus sudėtingumo tolydžios vieno argumento funkcijas.
Faktas yra tas, kad tokie daugianariai gali būti laikomi dalinėmis laipsnių eilutės sumomis, o ištisinė funkcija gali būti pavaizduota kaip serija su savavališkai maža paklaida. Funkcijos plėtimosi eilutės vadinamos Teiloro serijomis ir jųdalinės sumos daugianarių pavidalu – Teiloro daugianariai.
Funkcijos elgsenos grafinis tyrimas, aproksimuojant ją su kokiu nors daugianariumi, dažnai yra lengviau, nei tirti tą pačią funkciją tiesiogiai arba naudojant eilutę.
Paprasta ieškoti daugianario išvestinių. Norint rasti 4 ir žemesnio laipsnio daugianario šaknis, yra paruoštos formulės, o darbui su aukštesniais laipsniais naudojami didelio tikslumo apytiksliai algoritmai.
Taip pat yra kelių kintamųjų funkcijų aprašytų polinomų apibendrinimas.
Niutono dvinaris
Žymieji daugianariai yra Niutono daugianariai, kuriuos mokslininkai išvedė siekdami rasti išraiškos koeficientus (x + y).
Pakanka pažvelgti į pirmąsias dvinario skilimo laipsnius, kad įsitikintumėte, jog formulė nėra triviali:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Kiekvienam koeficientui yra išraiška, leidžianti jį apskaičiuoti. Tačiau gremėzdiškas formules įsiminti ir kaskart atlikti reikiamus aritmetinius veiksmus būtų itin nepatogu tiems matematikams, kuriems tokių plėtinių dažnai prireikia. Paskalio trikampis labai palengvino jų gyvenimą.
Figūra sukonstruota pagal tokį principą. Trikampio viršuje rašomas 1, o kiekvienoje kitoje eilutėje jis tampa dar vienu skaitmeniu, kraštuose dedamas 1, o eilutės vidurys užpildomas dviejų gretimų skaičių sumomis iš ankstesnio.
Pažiūrėjus į iliustraciją viskas tampa aišku.
Žinoma, daugianario naudojimas matematikoje neapsiriboja pateiktais pavyzdžiais, plačiausiais žinomais.
