Kas yra aritmetika? Kada žmonija pradėjo naudoti skaičius ir su jais dirbti? Kur slypi tokių kasdienių sąvokų kaip skaičiai, trupmenos, atimtis, sudėtis ir daugyba, kurias žmogus padarė neatsiejama savo gyvenimo ir pasaulėžiūros dalimi, šaknys? Senovės graikų protai žavėjosi tokiais mokslais kaip matematika, aritmetika ir geometrija kaip gražiausiomis žmogaus logikos simfonijomis.
Gal aritmetika nėra tokia gili kaip kiti mokslai, bet kas su jais atsitiktų, jei žmogus pamirštų elementariąją daugybos lentelę? Mums įprastas loginis mąstymas, naudojant skaičius, trupmenas ir kitus įrankius, žmonėms nebuvo lengvas ir ilgą laiką buvo neprieinamas mūsų protėviams. Tiesą sakant, iki aritmetikos raidos jokia žmogaus žinių sritis nebuvo tikrai mokslinė.
Aritmetika yra matematikos ABC
Aritmetika yra skaičių mokslas, su kuriuo kiekvienas žmogus pradeda susipažinti su žaviu matematikos pasauliu. Kaip sakė M. V. Lomonosovas, aritmetika yra mokymosi vartai, atveriantys mums kelią į pasaulio pažinimą. Bet jis teisusAr pasaulio pažinimas gali būti atskirtas nuo skaičių ir raidžių, matematikos ir kalbos žinių? Galbūt senais laikais, bet ne šiuolaikiniame pasaulyje, kur sparti mokslo ir technologijų raida diktuoja savo dėsnius.
Graikų kilmės žodis „aritmetika“(graikiškai „aritmos“) reiškia „skaičius“. Ji studijuoja skaičius ir viską, kas gali būti su jais susijusi. Tai yra skaičių pasaulis: įvairios operacijos su skaičiais, skaitinės taisyklės, problemų, susijusių su daugyba, atimtimi ir kt., sprendimas.
Visuotinai pripažįstama, kad aritmetika yra pradinis matematikos žingsnis ir tvirtas pagrindas sudėtingesnėms jos dalims, tokioms kaip algebra, matematinė analizė, aukštoji matematika ir kt.
Pagrindinis aritmetikos objektas
Aritmetikos pagrindas yra sveikasis skaičius, kurio savybės ir modeliai nagrinėjami aukštesniojoje aritmetikoje arba skaičių teorijoje. Tiesą sakant, viso pastato stiprumas – matematika – priklauso nuo to, kaip teisingai laikomasi tokio mažo bloko natūraliojo skaičiaus.
Todėl į klausimą, kas yra aritmetika, galima atsakyti paprastai: tai yra skaičių mokslas. Taip, apie įprastus septynis, devynis ir visą šią įvairiapusę bendruomenę. Ir kaip be elementarios abėcėlės negali parašyti geros ar net vidutiniškiausios poezijos, taip be aritmetikos neišspręsi net elementaraus uždavinio. Štai kodėl visi mokslai pažengė į priekį tik išsivysčius aritmetikai ir matematikai, o prieš tai buvo tik prielaidų rinkinys.
Aritmetika yra fantominis mokslas
Kas yra aritmetika – gamtos mokslas ar fantomas? Iš tikrųjų, kaip teigė senovės graikų filosofai, realybėje neegzistuoja nei skaičiai, nei skaičiai. Tai tik fantomas, kuris susikuria žmogaus mąstyme, atsižvelgiant į aplinką su jos procesais. Tiesą sakant, kas yra skaičius? Niekur aplinkui nematome nieko panašaus, ką būtų galima pavadinti skaičiumi, greičiau skaičius yra žmogaus proto būdas tyrinėti pasaulį. O gal tai savęs tyrimas iš vidaus? Filosofai dėl to ginčijasi daugybę šimtmečių iš eilės, todėl mes nesiimame pateikti išsamaus atsakymo. Vienaip ar kitaip, aritmetika sugebėjo taip tvirtai užimti savo vietą, kad šiuolaikiniame pasaulyje niekas negali būti laikomas socialiai adaptuotu, nežinant jos pagrindų.
Kaip atsirado natūralusis skaičius
Žinoma, pagrindinis aritmetikos objektas yra natūralusis skaičius, pvz., 1, 2, 3, 4, …, 152… ir tt. Natūraliųjų skaičių aritmetika yra paprastų objektų, pavyzdžiui, karvių pievoje, skaičiavimo rezultatas. Vis dėlto „daug“arba „mažai“apibrėžimas žmonėms nustojo tikęs, todėl jie turėjo išrasti pažangesnius skaičiavimo būdus.
Tačiau tikrasis lūžis įvyko tada, kai žmogaus mintis pasiekė tašką, kad galima priskirti 2 kilogramus, 2 plytas ir 2 dalis tuo pačiu skaičiumi „du“. Faktas yra tas, kad jums reikia abstrahuotis nuo objektų formų, savybių ir prasmės, tada galite atlikti kai kuriuos veiksmus su šiais objektais natūralių skaičių forma. Taip gimė skaičių aritmetika, kuritoliau plėtojama ir plečiama, užimdama vis didesnes pozicijas visuomenės gyvenime.
Tokios išsamios skaičių sąvokos kaip nulis ir neigiamas skaičius, trupmenos, skaičių žymėjimas skaičiais ir kitais būdais turi turtingą ir įdomią raidos istoriją.
Aritmetiniai ir praktiški egiptiečiai
Du seniausi žmonės tyrinėjant mus supantį pasaulį ir sprendžiant kasdienes problemas yra aritmetika ir geometrija.
Manoma, kad aritmetikos istorija kilusi iš Senovės Rytų: Indijos, Egipto, Babilono ir Kinijos. Taigi egiptiečių kilmės Rinda papirusas (taip pavadintas, nes priklausė to paties pavadinimo savininkui), XX a. BC, be kitų vertingų duomenų, apima vienos trupmenos išplėtimą į trupmenų su skirtingais vardikliais ir vieneto skaitikliu sumą.
Pavyzdžiui: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Bet kokia tokio sudėtingo skaidymo prasmė? Faktas yra tas, kad egiptiečių požiūris netoleravo abstrakčių minčių apie skaičius, priešingai, skaičiavimai buvo atliekami tik praktiniais tikslais. Tai yra, egiptietis užsiims tokiais dalykais kaip skaičiavimai, tik tam, kad, pavyzdžiui, pastatytų kapą. Reikėjo skaičiuoti konstrukcijos briaunos ilgį ir tai privertė žmogų atsisėsti už papiruso. Kaip matote, Egipto pažangą skaičiavimuose lėmė masinės statybos, o ne meilė mokslui.
Dėl šios priežasties papirusuose rastų skaičiavimų negalima pavadinti pamąstymais trupmenų tema. Greičiausiai tai praktinis pasiruošimas, kuris padėjo ateityje.išspręsti uždavinius su trupmenomis. Senovės egiptiečiai, nemokėję daugybos lentelių, darė gana ilgus skaičiavimus, skaidydavosi į daugybę papildomų užduočių. Galbūt tai yra viena iš tų papildomų užduočių. Nesunku pastebėti, kad skaičiavimai su tokiais ruošiniais yra labai sudėtingi ir neperspektyvūs. Galbūt dėl šios priežasties nematome didelio Senovės Egipto indėlio į matematikos raidą.
Senovės Graikija ir filosofinė aritmetika
Daugelį žinių apie Senovės Rytus sėkmingai įsisavino senovės graikai, garsūs abstrakčių, abstrakčių ir filosofinių apmąstymų mėgėjai. Ne mažiau juos domino praktika, tačiau sunku rasti geriausių teoretikų ir mąstytojų. Tai buvo naudinga mokslui, nes neįmanoma įsigilinti į aritmetiką, neatskiriant jos nuo realybės. Žinoma, galite padauginti 10 karvių ir 100 litrų pieno, bet toli nenueisite.
Giliai mąstantys graikai paliko reikšmingą pėdsaką istorijoje, o jų raštai pasiekė mus:
- Euklidas ir elementai.
- Pitagoras.
- Archimedas.
- Eratostenas.
- Zeno.
- Anaksagoras.
Ir, žinoma, viską filosofija pavertę graikai, o ypač Pitagoro kūrybos tęsėjai, taip susižavėjo skaičiais, kad laikė juos pasaulio harmonijos paslaptimi. Skaičiai buvo ištirti ir ištirti tiek, kad kai kuriems iš jų ir jų poroms buvo priskirtos ypatingos savybės. Pavyzdžiui:
- Tobuli skaičiai yra tie, kurie yra lygūs visų jų daliklių sumai, išskyrus patį skaičių (6=1+2+3).
- Draugiški skaičiai yra tie skaičiai, iš kurių vienasyra lygi visų antrojo daliklių sumai ir atvirkščiai (pitagoriečiai žinojo tik vieną tokią porą: 220 ir 284).
Graikai, tikėję, kad mokslą reikia mylėti, o ne būti su juo vardan pelno, sulaukė didžiulės sėkmės tyrinėdami, žaisdami ir pridėdami skaičius. Reikėtų pažymėti, kad ne visi jų tyrimai buvo plačiai naudojami, kai kurie iš jų liko tik „grožiui“.
Rytų mąstytojai viduramžiais
Panašiai viduramžiais aritmetika už savo vystymąsi skolinga Rytų amžininkams. Indai davė mums skaičius, kuriuos mes aktyviai naudojame, tokią sąvoką kaip „nulis“ir šiuolaikiniam suvokimui pažįstamą pozicinę skaičiavimo versiją. Iš Al-Kashi, dirbusio Samarkande XV amžiuje, paveldėjome dešimtaines trupmenas, be kurių sunku įsivaizduoti šiuolaikinę aritmetiką.
Daugeliu atžvilgių Europos pažintis su Rytų pasiekimais tapo įmanoma italų mokslininko Leonardo Fibonacci, parašiusio veikalą „Abako knyga“, pristatantį Rytų naujoves, darbo dėka. Tai tapo kertiniu algebros ir aritmetikos plėtros, tyrimų ir mokslinės veiklos Europoje akmeniu.
Rusiška aritmetika
Ir pagaliau aritmetika, kuri rado savo vietą ir prigijo Europoje, pradėjo plisti į Rusijos žemes. Pirmoji rusiška aritmetika buvo išleista 1703 m. – tai Leonty Magnitsky knyga apie aritmetiką. Ilgą laiką tai išliko vieninteliu matematikos vadovėliu. Jame yra pradiniai algebros ir geometrijos momentai. Pirmojo aritmetikos vadovėlio Rusijoje pavyzdžiuose naudojami skaičiai yra arabiški. Nors arabiškų skaitmenų buvo matyti ir anksčiau, raižiniuose, datuojamuose XVII a.
Pati knyga papuošta Archimedo ir Pitagoro atvaizdais, o pirmame lape – aritmetikos atvaizdas moters pavidalu. Ji sėdi soste, po ja hebrajų kalba parašyta Dievo vardą reiškiantis žodis, o ant laiptelių, vedančių į sostą, užrašyti žodžiai „dalijimas“, „dauginimas“, „pridėjimas“ir kt. kurie dabar laikomi įprastais.
600 puslapių vadovėlis apima pagrindinius dalykus, pvz., sudėties ir daugybos lenteles, ir navigacijos mokslų programas.
Nenuostabu, kad autorius savo knygai pasirinko graikų mąstytojų įvaizdžius, nes jį patį pakerėjo aritmetikos grožis, sakydamas: „Aritmetika yra skaitiklis, yra menas sąžiningas, nepavydėtinas…“. Toks požiūris į aritmetiką yra gana pagrįstas, nes būtent jos platus įvedimas gali būti laikomas sparčios mokslinės minties raidos Rusijoje ir bendrojo išsilavinimo pradžia.
Atšaukti pirminius skaičius
Pirminis skaičius yra natūralusis skaičius, turintis tik 2 teigiamus daliklius: 1 ir save patį. Visi kiti skaičiai, išskyrus 1, vadinami sudėtiniais. Pirminių skaičių pavyzdžiai: 2, 3, 5, 7, 11 ir visi kiti, kurie neturi daliklių, išskyrus 1 ir save patį.
Kalbant apie skaičių 1, jis yra specialioje sąskaitoje - yra susitarimas, kad jis neturėtų būti laikomas nei paprastu, nei sudėtiniu. Iš pirmo žvilgsnio paprastas, paprastas skaičius savyje slepia daug neįmintų paslapčių.
Euklido teorema sako, kad pirminių skaičių yra be galo daug, o Eratostenas išrado specialų aritmetinį „sietelį“, kuris pašalina nepirminius skaičius, paliekant tik paprastus.
Jo esmė – pabraukti pirmąjį neperbrauktą skaičių, o vėliau išbraukti tuos, kurie yra jo kartotiniai. Šią procedūrą kartojame daug kartų – ir gauname pirminių skaičių lentelę.
Pagrindinė aritmetikos teorema
Tarp pastebėjimų apie pirminius skaičius ypatingai reikėtų paminėti pagrindinę aritmetikos teoremą.
Pagrindinė aritmetikos teorema sako, kad bet koks sveikasis skaičius, didesnis už 1, yra pirminis arba gali būti unikaliu būdu išskaidytas į pirminių skaičių sandaugą iki veiksnių eilės.
Pagrindinė aritmetikos teorema pasirodė gana sudėtinga, o jos supratimas nebeatrodo kaip paprasčiausi pagrindai.
Iš pirmo žvilgsnio pirminiai skaičiai yra elementari sąvoka, bet taip nėra. Fizika taip pat kažkada laikė atomą elementariu, kol savo viduje rado visą visatą. Nuostabi matematiko Don Tzagiro istorija „Pirmieji penkiasdešimt milijonų pirminių skaičių“skirta pirminiams skaičiams.
Nuo „trijų obuolių“iki dedukcinių įstatymų
Tai, ką tikrai galima pavadinti sustiprintu viso mokslo pagrindu, yra aritmetikos dėsniai. Net vaikystėje visi susiduria su aritmetika, tyrinėja lėlių kojų ir rankų skaičių,kubelių, obuolių ir tt skaičius. Taip mokomės aritmetikos, kuri vėliau pereina į sudėtingesnes taisykles.
Visas gyvenimas mus supažindina su aritmetikos taisyklėmis, kurios paprastam žmogui tapo naudingiausiomis iš visko, ką duoda mokslas. Skaičių tyrimas yra „aritmetika-baby“, kuris ankstyvoje vaikystėje supažindina žmogų su skaičių pasauliu skaičių pavidalu.
Aukštoji aritmetika yra dedukcinis mokslas, tiriantis aritmetikos dėsnius. Mes žinome daugumą jų, nors galbūt nežinome tikslios jų formuluotės.
Sudėties ir daugybos dėsnis
Du bet kokie natūralieji skaičiai a ir b gali būti išreikšti suma a+b, kuri taip pat bus natūralusis skaičius. Papildymui taikomi šie įstatymai:
- Komutacinis, kuris sako, kad suma nesikeičia dėl terminų pertvarkymo, arba a+b=b+a.
- Asociatyvinis, kuris sako, kad suma nepriklauso nuo terminų grupavimo į vietas, arba a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Aritmetikos taisyklės, tokios kaip sudėjimas, yra vienos elementariausių, tačiau jomis naudojasi visi mokslai, jau nekalbant apie kasdienį gyvenimą.
Du bet kokie natūralieji skaičiai a ir b gali būti išreikšti sandauga ab arba ab, kuris taip pat yra natūralusis skaičius. Produktui galioja tie patys komutaciniai ir asociatyviniai dėsniai, kaip ir papildymui:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Įdomukad egzistuoja dėsnis, jungiantis sudėtį ir daugybą, dar vadinamas paskirstymo arba paskirstymo dėsniu:
a(b+c)=ab+ac
Šis dėsnis iš tikrųjų moko mus dirbti su skliaustais juos išplečiant, todėl galime dirbti su sudėtingesnėmis formulėmis. Tai yra dėsniai, kurie ves mus per keistą ir sudėtingą algebros pasaulį.
Aritmetinės tvarkos dėsnis
Tvarkos dėsnį kasdien naudoja žmogiškoji logika, lygindama laikrodžius ir skaičiuodama banknotus. Ir, nepaisant to, jis turi būti įformintas specialių formuluočių forma.
Jei turime du natūraliuosius skaičius a ir b, galimos šios parinktys:
- a lygus b, arba a=b;
- a yra mažesnis nei b arba a < b;
- a yra didesnis nei b arba a > b.
Iš trijų variantų tik vienas gali būti teisingas. Pagrindinis tvarką reglamentuojantis įstatymas sako: jei a < b ir b < c, tai a< c.
Taip pat yra daugybos ir sudėties dėsniai: jei a< yra b, tada a + c < b+c ir ac< bc.
Aritmetikos dėsniai moko dirbti su skaičiais, ženklais ir skliaustais, paversdami viską darnia skaičių simfonija.
Pozicinis ir nepozicinis skaičiavimas
Galima sakyti, kad skaičiai yra matematinė kalba, nuo kurios patogumo daug kas priklauso. Yra daug skaičių sistemų, kurios, kaip ir skirtingų kalbų abėcėlės, skiriasi viena nuo kitos.
Panagrinėkime skaičių sistemas pozicijos įtakos kiekybinei reikšmei požiūriuskaičiai šioje pozicijoje. Taigi, pavyzdžiui, romėniškoji sistema yra nepozicinė, kur kiekvienas skaičius yra užkoduotas tam tikru specialiųjų simbolių rinkiniu: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Jie atitinkamai lygūs skaičiams 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. Tokioje sistemoje skaičius nekeičia savo kiekybinio apibrėžimo, priklausomai nuo to, kokioje padėtyje jis yra: pirmas, antras ir tt Norint gauti kitus skaičius, reikia pridėti bazinius. Pavyzdžiui:
- DCC=700.
- CCM=800.
Skaičių sistema, kuri mums labiau pažįstama naudojant arabiškus skaitmenis, yra pozicinė. Tokioje sistemoje skaičiaus skaitmuo lemia skaitmenų skaičių, pavyzdžiui, triženkliai skaičiai: 333, 567 ir kt. Bet kurio skaitmens svoris priklauso nuo padėties, kurioje yra tas ar kitas skaitmuo, pavyzdžiui, antroje pozicijoje esantis skaičius 8 turi reikšmę 80. Tai būdinga dešimtainei sistemai, yra ir kitų padėties sistemų, pvz., dvejetainis.
Dvejetainė aritmetika
Esame susipažinę su dešimtaine sistema, kurią sudaro vienženkliai ir daugiaženkliai skaičiai. Daugiaženklio skaičiaus kairėje esantis skaičius yra dešimt kartų reikšmingesnis nei dešinėje. Taigi, mes įpratę skaityti 2, 17, 467 ir tt Skyrius, pavadintas „dvejetaine aritmetika“, turi visiškai skirtingą logiką ir požiūrį. Tai nenuostabu, nes dvejetainė aritmetika buvo sukurta ne žmogaus, o kompiuterinei logikai. Jei skaičių aritmetika atsirado skaičiuojant objektus, kurie buvo toliau abstrahuojami nuo objekto savybių iki „plikos“aritmetikos, tai su kompiuteriu tai neveiks. Kad būtų galima dalintisTurėdamas kompiuterio žinių, žmogus turėjo sugalvoti tokį skaičiavimo modelį.
Dvejetainė aritmetika veikia su dvejetaine abėcėle, kurią sudaro tik 0 ir 1. O šios abėcėlės naudojimas vadinamas dvejetaine sistema.
Skirtumas tarp dvejetainės aritmetikos ir dešimtainės aritmetikos yra tas, kad pozicijos kairėje reikšmė yra nebe 10, o 2 kartus. Dvejetainiai skaičiai yra 111, 1001 ir tt Kaip suprasti tokius skaičius? Taigi apsvarstykite skaičių 1100:
- Pirmasis skaitmuo kairėje yra 18=8, prisiminus, kad ketvirtas skaitmuo, o tai reiškia, kad jį reikia padauginti iš 2, gauname 8 poziciją.
- Antras skaitmuo 14=4 (4 padėtis).
- Trečias skaitmuo 02=0 (2 padėtis).
- Ketvirtasis skaitmuo 01=0 (1 padėtis).
- Taigi mūsų skaičius yra 1100=8+4+0+0=12.
Tai yra, pereinant prie naujo skaitmens kairėje, jo reikšmė dvejetainėje sistemoje padauginama iš 2, o dešimtainėje - iš 10. Tokia sistema turi vieną minusą: tai per didelis padidėjimas skaitmenys, reikalingi skaičiams rašyti. Dešimtainių skaičių vaizdavimo dvejetainiais skaičiais pavyzdžius rasite šioje lentelėje.
Dvejetainės formos dešimtainiai skaičiai rodomi toliau.
Taip pat naudojamos ir aštuntainės, ir šešioliktainės sistemos.
Ši paslaptinga aritmetika
Kas yra aritmetika, „du kartus du“arba neištirtos skaičių paslaptys? Kaip matote, aritmetika iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti paprasta, tačiau jos akivaizdus lengvumas yra apgaulingas. Taip pat gali mokytis vaikai kartu su teta Pelėda išanimacinį filmuką „Aritmetika-kūdikis“, ir galėsite pasinerti į giliai mokslinį kone filosofinės tvarkos tyrimą. Istorijoje ji nuo daiktų skaičiavimo perėjo prie skaičių grožio garbinimo. Tikrai žinoma tik viena: nustačius pagrindinius aritmetikos postulatus, visas mokslas gali pasikliauti savo tvirtu pečiu.
