Maclaurin serija ir kai kurių funkcijų išplėtimas

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 05:34

Aukštosios matematikos studentai turėtų žinoti, kad kai kurių laipsnių eilučių, priklausančių duotosios eilutės konvergencijos intervalui, suma pasirodo esanti ištisinė ir neribotą skaičių kartų diferencijuota funkcija. Kyla klausimas: ar galima teigti, kad duota savavališka funkcija f(x) yra kai kurių laipsnių eilučių suma? Tai yra, kokiomis sąlygomis funkcija f(x) gali būti pavaizduota laipsnių eilute? Šio klausimo svarba slypi tame, kad funkciją f(x) galima apytiksliai pakeisti kelių pirmųjų laipsnių eilutės narių suma, tai yra daugianario. Toks funkcijos pakeitimas gana paprasta išraiška – polinomu – patogus ir sprendžiant kai kuriuos matematinės analizės uždavinius, būtent: sprendžiant integralus, skaičiuojant diferencialines lygtis ir pan.

Įrodyta, kad kai kurioms funkcijoms f(х), kai kaimynystėje galima apskaičiuoti išvestines iki (n+1) eilės, įskaitant paskutinę (α _{- R; x}0 _{+ R) tam tikro taško x=α formulė galioja:}

Ši formulė pavadinta garsaus mokslininko Brooko Tayloro vardu. Serija, gauta iš ankstesnės, vadinama Maclaurin serija:

Taisyklė, leidžianti išplėsti Maclaurin seriją:

1. Nustatykite pirmos, antros, trečios… eilės išvestines.
2. Apskaičiuokite, kam yra lygios išvestinės, kai x=0.
3. Įrašykite šios funkcijos Maclaurin seriją, tada nustatykite jos konvergencijos intervalą.
4. Nustatykite intervalą (-R;R), kuriame lieka Maklaurino formulės dalis

R (x) -> 0 n -> begalybė. Jei tokia yra, joje esanti funkcija f(x) turi sutapti su Maclaurin serijos suma.

Dabar apsvarstykite Maclaurin seriją, skirtą atskiroms funkcijoms.

1. Taigi pirmasis bus f(x)=e^x. Žinoma, pagal savo ypatybes tokia funkcija turi įvairios eilės išvestines, o f^(k)(x)=e^x, kur k lygus visoms natūraliuosius skaičius. Pakeiskime x=0. Gauname f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{atrodytų taip:}

2. Funkcijos f(x)=sin x Maclaurin serija. Nedelsdami paaiškinkite, kad visų nežinomųjų funkcija turės išvestines, be f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), kur k lygus bet kuriam natūraliajam skaičiui. Tai yra, atlikę paprastus skaičiavimus, galime padaryti išvadą, kad f(x)=sin x eilutė atrodys taip:}

3. Dabar pabandykime apsvarstyti funkciją f(x)=cos x. Ji skirta visiems nežinomiemsturi savavališkos eilės išvestinius ir |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Vėlgi, atlikę kai kuriuos skaičiavimus, gauname, kad f(x)=cos x eilutė atrodys taip:

Taigi, mes išvardijome svarbiausias funkcijas, kurias galima išplėsti Maclaurin serijoje, tačiau kai kurioms funkcijoms jas papildo Taylor serija. Dabar mes juos išvardinsime. Taip pat verta paminėti, kad Taylor ir Maclaurin eilutės yra svarbi aukštosios matematikos eilių sprendimo praktikos dalis. Taigi, Taylor serija.

1. Pirmoji bus serija f-ii f(x)=ln(1+x). Kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose, atsižvelgiant į f (x)=ln (1 + x), galime pridėti eilutę naudodami bendrą Maclaurin serijos formą. tačiau šiai funkcijai Maclaurin seriją galima gauti daug paprasčiau. Integravę tam tikrą geometrinę eilutę, gauname šios imties f(x)=ln(1+x) eilutę:

2. O antrasis, kuris bus galutinis mūsų straipsnyje, bus serija f (x) u003d arctg x. Jei x priklauso intervalui [-1;1], galioja išplėtimas:

Štai ir viskas. Šiame straipsnyje buvo nagrinėjamos dažniausiai naudojamos Taylor ir Maclaurin serijos aukštojoje matematikoje, ypač ekonomikos ir technikos universitetuose.