Pitagoras tvirtino, kad skaičius kartu su pagrindiniais elementais yra pasaulio pagrindas. Platonas tikėjo, kad skaičius jungia reiškinį ir vardininką, padeda pažinti, išmatuoti ir daryti išvadas. Aritmetika kilusi iš žodžio „aritmos“– skaičius, matematikos pradų pradžia. Jis gali apibūdinti bet kokį objektą – nuo elementaraus obuolio iki abstrakčių erdvių.
Poreikiai kaip plėtros veiksnys
Ankstyvosiose visuomenės formavimosi stadijose žmonių poreikiai apsiribojo poreikiu skaičiuoti – vienas maišas grūdų, du maišai grūdų ir tt Tam pakako natūraliųjų skaičių, kurių aibė yra begalinė teigiama sveikųjų skaičių seka N.
Vėliau, tobulėjant matematikai kaip mokslui, atsirado poreikis atskiram sveikųjų skaičių Z laukui – joje yra neigiamos reikšmės ir nulis. Jo atsiradimą buitiniame lygmenyje išprovokavo tai, kad pirminėje apskaitoje reikėjo kažkaip pataisytiskolos ir nuostoliai. Moksliniu lygmeniu neigiami skaičiai leido išspręsti paprasčiausias tiesines lygtis. Be kita ko, dabar tapo įmanomas trivialios koordinačių sistemos vaizdas, nes atsirado atskaitos taškas.
Kitas žingsnis buvo poreikis įvesti trupmeninius skaičius, nes mokslas nestovė vietoje, vis daugiau atradimų reikalavo teorinio pagrindo naujam augimo impulsui. Taip atsirado racionaliųjų skaičių laukas Q.
Galiausiai racionalumas nustojo tenkinti prašymus, nes visas naujas išvadas reikėjo pagrįsti. Atsirado realiųjų skaičių R laukas, Euklido darbai apie tam tikrų dydžių nesuderinamumą dėl jų neracionalumo. Tai reiškia, kad senovės graikų matematikai skaičių pozicionavo ne tik kaip konstantą, bet ir kaip abstraktų dydį, kuriam būdingas nesuderinamų dydžių santykis. Dėl to, kad atsirado realūs skaičiai, tokie dydžiai kaip „pi“ir „e“„išvydo šviesą“, be kurių šiuolaikinė matematika negalėtų išsiversti.
Paskutinė naujovė buvo kompleksinis skaičius C. Jis atsakė į daugybę klausimų ir paneigė anksčiau įvestus postulatus. Dėl spartaus algebros vystymosi rezultatas buvo nuspėjamas – turint realius skaičius daugelio uždavinių išspręsti buvo neįmanoma. Pavyzdžiui, kompleksinių skaičių dėka išsiskyrė stygų ir chaoso teorija, išsiplėtė hidrodinamikos lygtys.
Aibių teorija. Cantor
Begalybės samprata visais laikaissukėlė ginčų, nes to nebuvo galima nei įrodyti, nei paneigti. Matematikos, kuri operavo griežtai patikrintais postulatais, kontekste tai ryškiausiai pasireiškė, juolab kad teologinis aspektas moksle vis dar turėjo svarbą.
Tačiau matematiko Georgo Kantoro darbo dėka laikui bėgant viskas susidėliojo į savo vietas. Jis įrodė, kad yra begalinis skaičius begalinių aibių ir kad laukas R yra didesnis už lauką N, net jei jie abu neturi pabaigos. XIX amžiaus viduryje jo idėjos buvo garsiai vadinamos nesąmonėmis ir nusik altimu prieš klasikinius, nepajudinamus kanonus, tačiau laikas viską sustatė į savo vietas.
Pagrindinės lauko savybės R
Tikrieji skaičiai turi ne tik tas pačias savybes kaip ir į juos įtraukti poaibiai, bet ir papildomi kitais dėl jų elementų mastelio:
- Nulis egzistuoja ir priklauso laukui R. c + 0=c bet kuriam c iš R.
- Nulis egzistuoja ir priklauso laukui R. c x 0=0 bet kuriam c iš R.
- Sąryšis c: d, kai d ≠ 0, egzistuoja ir galioja bet kuriam c, d nuo R.
- Laukas R yra sutvarkytas, tai yra, jei c ≦ d, d ≦ c, tada c=d bet kuriam c, d iš R.
- Papildymas lauke R yra komutatyvus, t. y. c + d=d + c bet kuriam c, d iš R.
- Daugyba lauke R yra komutacinė, t. y. c x d=d x c bet kuriam c, d iš R.
- Papildymas lauke R yra asociatyvus, t. y. (c + d) + f=c + (d + f) bet kuriam c, d, f iš R.
- Daugyba lauke R yra asociatyvi, t. y. (c x d) x f=c x (d x f) bet kuriam c, d, f iš R.
- Kiekvienam skaičiui lauke R yra priešingybė, kad c + (-c)=0, kur c, -c yra iš R.
- Kiekvienam skaičiui iš lauko R yra atvirkštinė reikšmė, kad c x c-1 =1, kur c, c-1 nuo R.
- Vienetas egzistuoja ir priklauso R, todėl c x 1=c, bet kuriam c iš R.
- Paskirstymo dėsnis galioja, todėl c x (d + f)=c x d + c x f, bet kuriam c, d, f iš R.
- R laukelyje nulis nėra lygus vienetui.
- Laukas R yra tranzityvus: jei c ≦ d, d ≦ f, tada c ≦ f bet kuriam c, d, f iš R.
- Lauke R tvarka ir pridėjimas yra susiję: jei c ≦ d, tai c + f ≦ d + f bet kuriam c, d, f iš R.
- Lauke R tvarka ir daugyba yra susijusios: jei 0 ≦ c, 0 ≦ d, tai 0 ≦ c x d bet kuriam c, d iš R.
- Tiek neigiami, tiek teigiami realieji skaičiai yra tęstiniai, tai yra, bet kuriam c, d iš R yra f iš R, kad c ≦ f ≦ d.
Modulis lauke R
Tikrieji skaičiai apima modulį.
Žymima kaip |f| bet kuriam f iš R. |f|=f, jei 0 ≦ f ir |f|=-f, jei 0 > f. Jei modulį laikysime geometriniu dydžiu, tai yra nuvažiuotas atstumas – nesvarbu, ar „perėjote“nulį į minusą, ar pirmyn į pliusą.
Sudėtiniai ir realieji skaičiai. Kokie yra panašumai ir kuo skiriasi?
Iš esmės sudėtingieji ir realieji skaičiai yra vienas ir tas pats, išskyrus taiįsivaizduojamas vienetas i, kurio kvadratas yra -1. Laukų R ir C elementus galima pavaizduoti tokia formule:
c=d + f x i, kur d, f priklauso laukui R, o i yra įsivaizduojamas vienetas
Norint gauti c iš R šiuo atveju, f tiesiog nustatomas lygus nuliui, tai yra, lieka tik tikroji skaičiaus dalis. Dėl to, kad kompleksinių skaičių laukas turi tokias pačias savybes kaip ir realiųjų skaičių laukas, f x i=0, jei f=0.
Dėl praktinių skirtumų, pavyzdžiui, R lauke kvadratinė lygtis neišsprendžiama, jei diskriminantas yra neigiamas, o C laukas tokio apribojimo nenustato dėl įsivaizduojamo vieneto i įvedimo.
Rezultatai
Aksiomų ir postulatų, kuriais grindžiama matematika, „plytos“nesikeičia. Dėl informacijos gausėjimo ir naujų teorijų diegimo ant kai kurių iš jų uždedamos tokios „plytos“, kurios ateityje gali tapti pagrindu kitam žingsniui. Pavyzdžiui, natūralūs skaičiai, nepaisant to, kad jie yra tikrojo lauko R poaibis, nepraranda savo aktualumo. Jais remiasi visa elementari aritmetika, nuo kurios prasideda žmogaus pažinimas apie pasaulį.
Praktiniu požiūriu tikrieji skaičiai atrodo kaip tiesi linija. Jame galite pasirinkti kryptį, nurodyti kilmę ir žingsnį. Tiesią liniją sudaro begalinis taškų skaičius, kurių kiekvienas atitinka vieną realųjį skaičių, nesvarbu, ar jis racionalus, ar ne. Iš aprašymo aišku, kad kalbame apie sąvoką, kuria remiasi ir matematika apskritai, ir matematinė analizė apskritai.ypač.
