Kosinuso išvestinė randama pagal analogiją su sinuso išvestine, įrodymo pagrindas yra funkcijos ribos apibrėžimas. Galite naudoti kitą metodą, naudodami trigonometrines kampų kosinuso ir sinuso mažinimo formules. Išreikškite vieną funkciją kaip kitą – kosinusą kaip sinusą ir atskirkite sinusą kompleksiniu argumentu.
Apsvarstykite pirmąjį formulės (Cos(x)) išvedimo pavyzdį'
Funkcijos y=Cos(x) argumentui x suteikite nežymiai mažą prieaugį Δx. Su nauja argumento х+Δх reikšme gauname naują funkcijos Cos(х+Δх) reikšmę. Tada funkcijos prieaugis Δy bus lygus Cos(х+Δx)-Cos(x).
Funkcijos prieaugio santykis su Δх bus toks: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Atlikime identiškas transformacijas gautos trupmenos skaitiklyje. Prisiminkite kampų kosinusų skirtumo formulę, rezultatas bus sandauga -2Sin (Δx / 2) padauginus iš Sin (x + Δx / 2). Mes nustatome šio sandaugos lim dalinio ribą ties Δx, nes Δx linkęs į nulį. Yra žinoma, kad pirmasis(tai vadinama nuostabiu) riba lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) lygi 1, o riba -Sin(x+Δx/2) lygi -Sin(x) kaip Δx linkęs į nulį. Užrašykite rezultatą: (Cos(x))' išvestinė lygi - Sin(x).
Kai kurie žmonės renkasi antrąjį tos pačios formulės išvedimo būdą
Iš trigonometrijos eigos žinoma: Cos(x) yra lygus Sin(0, 5 ∏-x), panašiai Sin(x) yra lygus Cos(0, 5 ∏-x). Tada išskiriame kompleksinę funkciją – papildomo kampo sinusą (vietoj kosinuso x).
Gaujame sandaugą Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', nes sinuso x išvestinė lygi kosinusui X. Mes pereiname prie antrosios formulės Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x), pakeičiant kosinusą sinusu, atsižvelgiant į tai, kad (0,5 ∏-x)'=-1. Dabar gauname -Sin(x). Taigi, randama kosinuso išvestinė, y'=-Sin(x) funkcijai y=Cos(x).
Kvadratinio kosinuso išvestinė
Dažnai naudojamas pavyzdys, kai naudojama kosinuso išvestinė. Funkcija y=Cos2(x) yra sudėtinga. Pirmiausia randame laipsnio funkcijos diferencialą su eksponentu 2, jis bus 2·Cos(x), tada padauginame jį iš išvestinės (Cos(x))', kuri lygi -Sin(x). Gauname y'=-2 Cos(x) Sin(x). Kai taikome formulę Sin(2x), dvigubo kampo sinusą, gauname galutinį supaprastintąatsakymą y'=-Sin(2x)
Hiperbolinės funkcijos
Jie naudojami studijuojant daugelį techninių disciplinų: pavyzdžiui, matematikoje palengvina integralų skaičiavimą, diferencialinių lygčių sprendimą. Jie išreiškiami trigonometrinėmis funkcijomis su įsivaizduojamomisargumentas, taigi hiperbolinis kosinusas ch(x)=Cos(i x), kur i yra įsivaizduojamas vienetas, hiperbolinis sinusas sh(x)=Sin(i x).
Hiperbolinio kosinuso išvestinė apskaičiuojama gana paprastai.
Apsvarstykite funkciją y=(ex+e-x) /2, tai ir yra hiperbolinis kosinusas ch(x). Naudojame dviejų išraiškų sumos išvestinės radimo taisyklę, pastovaus koeficiento (Const) išvedimo iš išvestinės ženklo taisyklę. Antrasis narys 0,5 e-x yra sudėtinga funkcija (jos išvestinė yra -0,5 e-x), 0,5 eх – pirmoji kadencija. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' kitu būdu: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, nes išvestinė (e - x)' lygus -1 karto e-x. Rezultatas yra skirtumas, ir tai yra hiperbolinis sinusas sh(x).Išvestis: (ch(x))'=sh(x).
Pažvelkime į pavyzdį, kaip apskaičiuokite funkcijos y=ch išvestinę 3
+1) (x 3+1)', kur (x
3+1)'=3 x 2+0. Atsakymas: šios funkcijos išvestinė yra 3 x2sh(x3+1).
Nagrinėjamų funkcijų lentelės išvestinės y=ch(x) ir y=Cos(x)
Sprendžiant pavyzdžius, nereikia kiekvieną kartą jų diferencijuoti pagal siūlomą schemą, užtenka pasinaudoti išvada.
Pavyzdys. Atskirkite funkciją y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Lengva apskaičiuoti (naudokite lentelės duomenis), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
