Lėktuvas kosmose. Lėktuvų išsidėstymas erdvėje

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-02 17:51

Plokštuma yra geometrinis objektas, kurio savybės naudojamos konstruojant taškų ir tiesių projekcijas, taip pat skaičiuojant atstumus ir dvikampius kampus tarp trimačių figūrų elementų. Šiame straipsnyje panagrinėkime, kokias lygtis galima naudoti plokštumų vietai erdvėje tirti.

Lėktuvo apibrėžimas

Kiekvienas intuityviai įsivaizduoja, apie kokį objektą bus kalbama. Geometriniu požiūriu plokštuma yra taškų rinkinys, tarp kurių esantys vektoriai turi būti statmeni kokiam nors vienam vektoriui. Pavyzdžiui, jei erdvėje yra m skirtingų taškų, tai iš jų galima padaryti m(m-1) / 2 skirtingus vektorius, jungiančius taškus poromis. Jei visi vektoriai yra statmeni kuriai nors vienai krypčiai, tai yra pakankama sąlyga, kad visi taškai m priklausytų tai pačiai plokštumai.

Bendroji lygtis

Erdvinėje geometrijoje plokštuma apibūdinama naudojant lygtis, kuriose paprastai yra trys nežinomos koordinatės, atitinkančios x, y ir z ašis. Įgaukite bendrąją lygtį erdvėje plokštumos koordinatėmis, tarkime, kad yra vektorius n¯(A; B; C) ir taškas M(x₀; y₀; z_{0). Naudojant šiuos du objektus, plokštuma gali būti vienareikšmiškai apibrėžta.}

Iš tiesų, tarkime, kad yra koks nors antrasis taškas P(x; y; z), kurio koordinatės nežinomos. Pagal aukščiau pateiktą apibrėžimą vektorius MP¯ turi būti statmenas n¯, tai yra, jų skaliarinė sandauga yra lygi nuliui. Tada galime parašyti tokią išraišką:

(n¯MP¯)=0 arba

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Atverę skliaustus ir įvedę naują koeficientą D, gauname išraišką:

Ax + By + Cz + D=0, kur D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Ši išraiška vadinama bendrąja plokštumos lygtimi. Svarbu atsiminti, kad koeficientai priešais x, y ir z sudaro statmenai plokštumai vektoriaus n¯(A; B; C) koordinates. Tai sutampa su įprasta ir yra lėktuvo vadovas. Norint nustatyti bendrąją lygtį, nesvarbu, kur nukreiptas šis vektorius. Tai yra, plokštumos, pastatytos ant vektorių n¯ ir -n¯, bus vienodos.

Aukščiau pateiktame paveikslėlyje pavaizduota plokštuma, jai normalus vektorius ir plokštumai statmena linija.

Segmentai, nupjauti ašių plokštumos ir atitinkamos lygties

Bendroji lygtis leidžia naudoti paprastas matematines operacijas, kad būtų galima nustatytikokiuose taškuose plokštuma kirs koordinačių ašis. Šią informaciją svarbu žinoti norint susidaryti supratimą apie plokštumos padėtį erdvėje, taip pat vaizduojant ją brėžiniuose.

Norint nustatyti pavadintus susikirtimo taškus, naudojama lygtis atkarpomis. Jis taip vadinamas, nes jame yra aiškiai nurodytos plokštumos nupjautų atkarpų ilgių reikšmės koordinačių ašyse, skaičiuojant nuo taško (0; 0; 0). Gaukime šią lygtį.

Parašykite bendrąją plokštumos išraišką taip:

Ax + By + Cz=-D

Kairę ir dešinę dalis galima padalyti iš -D nepažeidžiant lygybės. Turime:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 arba

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Sukurkite kiekvieno termino vardiklius nauju simboliu, gausime:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C, tada

x/p + y/q + z/r=1

Tai lygtis, paminėta anksčiau segmentais. Iš to išplaukia, kad kiekvieno nario vardiklio reikšmė rodo susikirtimo su atitinkama plokštumos ašimi koordinatę. Pavyzdžiui, jis kerta y ašį taške (0; q; 0). Tai lengva suprasti, jei lygtyje pakeisite nulines x ir z koordinates.

Atkreipkite dėmesį, kad jei atkarpose lygtyje nėra kintamojo, tai reiškia, kad plokštuma nekerta atitinkamos ašies. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į išraišką:

x/p + y/q=1

Tai reiškia, kad plokštuma nukirs segmentus p ir q atitinkamai x ir y ašyse, bet bus lygiagreti z ašiai.

Išvada apie lėktuvo elgesį, kaikai kurių kintamųjų nebuvimas jos lygtyje taip pat galioja bendrojo tipo išraiškai, kaip parodyta paveikslėlyje toliau.

Vektoriaus parametrų lygtis

Yra trečios rūšies lygtis, leidžianti apibūdinti plokštumą erdvėje. Jis vadinamas parametriniu vektoriumi, nes jį pateikia du vektoriai, esantys plokštumoje, ir du parametrai, kurie gali turėti savavališkas nepriklausomas reikšmes. Parodykime, kaip galima gauti šią lygtį.

Tarkime, yra keletas žinomų vektorių u ¯(a₁; b₁; c₁) ir v¯(a₂; b₂; c₂). Jei jie nėra lygiagretūs, juos galima naudoti norint nustatyti konkrečią plokštumą, fiksuojant vieno iš šių vektorių pradžią žinomame taške M(x₀; y₀; z_{0). Jei savavališkas vektorius MP¯ gali būti pavaizduotas kaip tiesinių vektorių u¯ ir v¯ derinys, tai reiškia, kad taškas P(x; y; z) priklauso tai pačiai plokštumai kaip u¯, v¯. Taigi lygybę galime parašyti:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Arba parašę šią lygybę koordinatėmis, gauname:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Pateikta lygybė yra plokštumos parametrinė vektorinė lygtis. ATvektorinė erdvė plokštumoje u¯ ir v¯ vadinama generatoriais.

Toliau, sprendžiant uždavinį, bus parodyta, kaip šią lygtį galima redukuoti į bendrą plokštumos formą.

Kampas tarp plokštumų erdvėje

Intuityviai žiūrint, plokštumos 3D erdvėje gali susikirsti arba nesikirsti. Pirmuoju atveju įdomu rasti kampą tarp jų. Apskaičiuoti šį kampą yra sunkiau nei kampą tarp linijų, nes kalbame apie dvikampį geometrinį objektą. Tačiau į pagalbą ateina jau minėtas lėktuvo gido vektorius.

Geometriškai nustatyta, kad dvisienis kampas tarp dviejų susikertančių plokštumų yra tiksliai lygus kampui tarp jų kreipiamųjų vektorių. Pažymėkime šiuos vektorius kaip n¯(a₁; b₁; c_{1) ir n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Kampo tarp jų kosinusas nustatomas pagal skaliarinę sandaugą. Tai yra, patį kampą erdvėje tarp plokštumų galima apskaičiuoti pagal formulę:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Čia vardiklio modulis naudojamas bukojo kampo reikšmei atmesti (tarp susikertančių plokštumų jis visada yra mažesnis arba lygus 90o).

Koordinačių pavidalu šią išraišką galima perrašyti taip:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Plokštumos statmenos ir lygiagrečios

Jei plokštumos susikerta ir jų suformuotas dvikampis kampas yra 90o, tada jos bus statmenos. Tokių plokštumų pavyzdys yra stačiakampė prizmė arba kubas. Šias figūras sudaro šešios plokštumos. Kiekvienoje įvardintų figūrų viršūnėje yra trys viena kitai statmenos plokštumos.

Norint sužinoti, ar nagrinėjamos plokštumos yra statmenos, pakanka apskaičiuoti jų normaliųjų vektorių skaliarinę sandaugą. Pakankama statmenumo plokštumų erdvėje sąlyga yra šios sandaugos nulinė reikšmė.

Lygiagrečios vadinamos nesikertančiomis plokštumomis. Kartais taip pat sakoma, kad lygiagrečios plokštumos susikerta begalybėje. Lygiagretumo sąlyga plokštumų erdvėje sutampa su ta sąlyga krypties vektoriams n₁¯ ir n_{2¯. Galite tai patikrinti dviem būdais:}

Apskaičiuokite dvikampio kampo kosinusą (cos(φ)) naudodami skaliarinę sandaugą. Jei plokštumos lygiagrečios, tada reikšmė bus 1.

Pabandykite pavaizduoti vieną vektorių per kitą, padaugindami iš kokio nors skaičiaus, t. y. n₁¯=kn_{2¯. Jei tai galima padaryti, tada atitinkamos plokštumos yralygiagrečiai.}

Paveikslėlyje pavaizduotos dvi lygiagrečios plokštumos.

Dabar pateikime pavyzdžius, kaip išspręsti dvi įdomias problemas naudojant gautas matematines žinias.

Kaip gauti bendrąją formą iš vektorinės lygties?

Tai parametrinė plokštumos vektorinė išraiška. Kad būtų lengviau suprasti operacijų eigą ir naudojamus matematinius triukus, apsvarstykite konkretų pavyzdį:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Išplėskite šią išraišką ir išreikškite nežinomus parametrus:

x=1 + 2α;

y=2 – α + β;

z=α + 3β

Tada:

α=(x - 1)/2;

β=y – 2 + (x – 1)/2;

z=(x – 1)/2 + 3(y – 2 + (x – 1)/2)

Atverę skliaustus paskutinėje išraiškoje, gauname:

z=2x-2 + 3y - 6 arba

2x + 3y - z - 8=0

Gavome bendrąją lygties formą plokštumai, nurodyta uždavinio teiginyje vektorine forma

Kaip sukurti plokštumą per tris taškus?

Galima nubrėžti vieną plokštumą per tris taškus, jei šie taškai nepriklauso kokiai nors vienai tiesei. Šios problemos sprendimo algoritmas susideda iš šios veiksmų sekos: