Cilindras yra viena iš paprastų trimačių figūrų, kurios mokomasi mokykliniame geometrijos kurse (pjūvio kietoji geometrija). Tokiu atveju dažnai kyla problemų apskaičiuojant cilindro tūrį ir masę, taip pat nustatant jo paviršiaus plotą. Atsakymai į pažymėtus klausimus pateikiami šiame straipsnyje.
Kas yra cilindras?
Prieš atsakant į klausimą, kokia yra cilindro masė ir tūris, verta pagalvoti, kokia yra ši erdvinė figūra. Iš karto reikia pažymėti, kad cilindras yra trimatis objektas. Tai yra, erdvėje galite išmatuoti tris jo parametrus išilgai kiekvienos Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos ašies. Tiesą sakant, norint vienareikšmiškai nustatyti cilindro matmenis, pakanka žinoti tik du jo parametrus.
Cilindras yra trimatė figūra, sudaryta iš dviejų apskritimų ir cilindrinio paviršiaus. Norint aiškiau pavaizduoti šį objektą, pakanka paimti stačiakampį ir pradėti jį sukti aplink bet kurią jo kraštą, kuri bus sukimosi ašis. Šiuo atveju besisukantis stačiakampis apibūdins formąsukimasis – cilindras.
Du apvalūs paviršiai vadinami cilindro pagrindais, jiems būdingas tam tikras spindulys. Atstumas tarp pagrindų vadinamas aukščiu. Abu pagrindai yra tarpusavyje sujungti cilindriniu paviršiumi. Tiesė, einanti per abiejų apskritimų centrus, vadinama cilindro ašimi.
Tūris ir paviršiaus plotas
Kaip matote iš aukščiau, cilindrą apibrėžia du parametrai: aukštis h ir jo pagrindo spindulys r. Žinant šiuos parametrus, galima apskaičiuoti visas kitas nagrinėjamo kūno charakteristikas. Žemiau pateikiami pagrindiniai:
- Pagrindų plotas. Ši reikšmė apskaičiuojama pagal formulę: S1=2pir2, kur pi yra pi lygus 3, 14. 2 skaitmuo. formulėje pasirodo, nes cilindras turi dvi identiškas bazes.
- Cilindrinio paviršiaus plotas. Jį galima apskaičiuoti taip: S2=2pirh. Šią formulę nesunku suprasti: jei cilindrinis paviršius vertikaliai nupjaunamas nuo vieno pagrindo iki kito ir išplečiamas, tada gaunamas stačiakampis, kurio aukštis bus lygus cilindro aukščiui, o plotis atitiks trimatės figūros pagrindo perimetras. Kadangi gauto stačiakampio plotas yra jo kraštinių sandauga, kurios lygios h ir 2pir, gaunama aukščiau pateikta formulė.
- Cilindro paviršiaus plotas. Jis lygus S1 ir S2 plotų sumai, gauname: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Tūris. Šią reikšmę nesunku rasti, tereikia vieno pagrindo plotą padauginti iš figūros aukščio: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Cilindro masės nustatymas
Pagaliau verta pereiti tiesiai prie straipsnio temos. Kaip nustatyti cilindro masę? Norėdami tai padaryti, turite žinoti jo tūrį, apskaičiavimo formulę, kuri buvo pateikta aukščiau. Ir medžiagos, iš kurios ji susideda, tankis. Masė nustatoma pagal paprastą formulę: m=ρV, kur ρ yra medžiagos, sudarančios nagrinėjamą objektą, tankis.
Tankio sąvoka apibūdina medžiagos, esančios erdvės tūrio vienete, masę. Pavyzdžiui. Yra žinoma, kad geležis turi didesnį tankį nei mediena. Tai reiškia, kad esant vienodiems geležies ir medienos tūriams, pirmosios masė bus daug didesnė nei antroji (maždaug 16 kartų).
Varinio cilindro masės apskaičiavimas
Apsvarstykite paprastą problemą. Būtina rasti cilindro, pagaminto iš vario, masę. Kad būtų aišku, kad cilindro skersmuo yra 20 cm, o aukštis - 10 cm.
Prieš pradėdami spręsti problemą, turėtumėte susitvarkyti su š altinio duomenimis. Cilindro spindulys lygus pusei jo skersmens, o tai reiškia r=20/2=10 cm, o aukštis h=10 cm. Kadangi užduotyje nagrinėjamas cilindras pagamintas iš vario, tai, atsižvelgiant į atskaitos duomenis, išrašome šios medžiagos tankio reikšmę: ρ=8, 96 g/cm3 (20 °C temperatūrai).
Dabar galite pradėti spręsti problemą. Pirmiausia apskaičiuokime tūrį: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Tada cilindro masė bus: m=ρV=8,963140=28134 gramai arba maždaug 28 kilogramai.
Naudodami atitinkamose formulėse turėtumėte atkreipti dėmesį į vienetų matmenis. Taigi užduotyje visi parametrai buvo pateikti centimetrais ir gramais.
Homogeniški ir tuščiaviduriai cilindrai
Iš aukščiau gauto rezultato matyti, kad santykinai mažų matmenų (10 cm) varinis cilindras turi didelę masę (28 kg). Taip yra ne tik dėl to, kad jis pagamintas iš sunkios medžiagos, bet ir dėl to, kad jis yra vienalytis. Šį faktą svarbu suprasti, nes aukščiau pateikta masės skaičiavimo formulė gali būti naudojama tik tuo atveju, jei cilindras yra visiškai (išorėje ir viduje) pagamintas iš tos pačios medžiagos, tai yra, jis yra vienalytis.
Praktikoje dažnai naudojami tuščiaviduriai cilindrai (pavyzdžiui, cilindrinės statinės vandeniui). Tai yra, jie pagaminti iš plonų tam tikros medžiagos lakštų, tačiau viduje jie yra tušti. Tuščiavidurio cilindro atveju nurodyta masės apskaičiavimo formulė negali būti naudojama.
Tuščiavidurio cilindro masės apskaičiavimas
Įdomu paskaičiuoti, kokios masės bus varinis cilindras, jei jis viduje tuščias. Pavyzdžiui, leiskite jį pagaminti iš plono vario lakšto, kurio storis tik d=2 mm.
Norėdami išspręsti šią problemą, turite rasti paties vario, iš kurio pagamintas objektas, tūrį. Ne cilindro tūris. Kadangi storislapas yra mažas, palyginti su cilindro matmenimis (d=2 mm ir r=10 cm), tada vario, iš kurio pagamintas daiktas, tūrį galima rasti padauginus visą cilindro paviršiaus plotą iš vario lakšto storį, gauname: V=dS 3=d2pir(r+h). Pakeitę ankstesnio uždavinio duomenis, gauname: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. Tuščiavidurio cilindro masę galima gauti padauginus gautą vario tūrį, kurio reikėjo jo gamybai, iš vario tankio: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g arba 2,3 kg. Tai reiškia, kad nagrinėjamas tuščiaviduris cilindras sveria 12 (28, 1/2, 3) kartų mažiau nei vienalytis.
